el Funció coseus o el cos funció, en resum, és una de les sis Funcions trigonomètriques fonamental per a la trigonometria. El coseus en trigonometria es dóna com la relació entre la base i la hipotenusa d'un triangle rectangle. La funció cosinus es representa com Cos x on x és l'angle per al qual es calcula la relació del coseus. En termes de funció, podem dir que x és l'entrada o el domini de la funció cosinus.
S'utilitza àmpliament en una àmplia gamma de matèries com la física, la geometria i l'enginyeria, entre d'altres, en general aprofitant la seva naturalesa periòdica. Per exemple, s'utilitza per definir la naturalesa ondulatòria de les ones sonores, càlculs de flux elèctric a través d'una superfície plana, etc. En aquest article, aprenem en detall sobre què és la funció cosinus, el domini i rang de la funció cosinus, el període i la gràfica de la funció cosinus.
Taula de contingut
- Què és la funció cosinus?
- Cos al cercle unitari
- Gràfic de funció coseus
- Funció inversa de cosinus
- Funció coseus en càlcul
- Identitats de la funció Cos
Què és la funció cosinus?
La funció coseus és una funció trigonomètrica bàsicament periòdica. La funció cosinus s'expressa com cos x on x és un dels angles aguts d'un triangle rectangle. La funció cosinus troba la relació entre base i hipotenusa per a un valor donat de x. La funció cosinus s'abreuja com a cos (x) o cos (θ) on x és l'angle en radians i theta θ és l'angle en radians. graus en general. La funció cosinus es pot definir mitjançant un cercle unitari, és a dir, un cercle de radi unitari com veurem més endavant en aquest article. És de naturalesa periòdica i repeteix els seus valors després de cada rotació completa d'angles. En un pla cartesià, es pot denominar la component vectorial de la hipotenusa paral·lela a l'eix x.
Definició de la funció cosinus
La funció cosinus es defineix en un triangle rectangle com la relació entre la longitud del costat adjacent a l'angle en qüestió i la longitud de la hipotenusa. Matemàticament la funció cosinus es dóna com
Cos x = Cos θ = Longitud de la base/Longitud de la hipotenusa = b/h = OB/OA
on x és l'angle en radians i θ és l'angle equivalent en graus.
Domini i rang de la funció Cos
Sabem que per a una funció, el domini són els valors d'entrada permesos i l'interval és el valor de sortida d'aquesta entrada o valor de domini en particular. Per tant, podem suposar que la funció actua com un processador que pren entrada, la processa i dóna una sortida particular. El domini i el rang de la funció cos es discuteix a continuació:
- Domini de la funció cosinus: R és a dir, conjunt de tots els nombres reals.
- Interval de la funció cosinus: [-1, 1], és a dir, la sortida varia entre tots els nombres reals entre -1 i 1.
Període d'una funció coseus
El funció és de naturalesa periòdica, és a dir, es repeteix després de 2π o 360°. En altres paraules, es repeteix després de cada rotació completa. Per tant, el període de la funció cosinus és una rotació completa o un angle de 360° (o 2π).
Recíproca d'una funció cosinus
El recíproc d'una funció cosinus es coneix com secant funció o sec per breu. Matemàticament, el recíproc de la funció cosinus es dóna com
fer executable un script sh
sec(θ) = 1/cos(θ)
Segons les normes de Recíprocs , si multipliquem el Cos x per Sec x el producte sempre serà 1.
Gràfic de funció coseus
La gràfica de la funció cosinus s'assembla a la gràfica de la funció sinus amb una diferència bàsica que per a x = 0 la gràfica de la funció sin passa de l'origen mentre que a x = 0, la gràfica de la funció cosinus passa de (0, 1) a y-aixs. A continuació es mostra el gràfic del valor de la funció cosinus, és a dir, y = cos x
Les propietats comentades anteriorment es poden veure al gràfic com la naturalesa periòdica de la funció.
Variació de la funció cosinus en el gràfic
Com que el rang de la funció cosinus és [-1, 1], per tant varia de -1 a 1 al gràfic. Exhibeix la seva naturalesa periòdica a mesura que el gràfic es repeteix després de cada longitud 2π a l'eix x. Això reflecteix que la funció cosinus té un període de 2π (o 360°).
Cos al cercle unitari
La funció cosinus es pot definir mitjançant el cercle unitari. Entendrem com podem definir la funció cosinus en termes de cercle unitari.
Considereu un segment de línia OA que gira al voltant del punt O on O és l'origen del pla cartesià. Així, la rotació d'OA descriu un cercle unitari (cercle de radi unitari) centrat a l'origen O i el punt A sempre es troba en aquest cercle. Si deixem caure una perpendicular de A a l'eix x i anomenem B el punt d'intersecció i θ és l'angle que forma OA amb la direcció positiva de l'eix x, aleshores cos(θ) = projecció de la hipotenusa sobre x -eix = OB/|OA| = OB (ja que |OA| = 1 unitat).
Tingueu en compte que la direcció OB és important tal com es veu a les figures següents. El segment verd denota la longitud/magnitud i la fletxa indica la direcció (+ve o -ve) de cos (θ)
Tingueu en compte que el valor de cos(θ) és positiu per a θ que pertany al primer i quart quadrant mentre que negatiu per a θ que pertany al segon i tercer quadrant.
Funció inversa de coseus
La inversa d'una funció cosinus coneguda com arc-cosinus funció i abreujat com arccos(x) o cos -1 (x) es defineix de la següent manera
cos(x) = y
⇒ cos -1 (y) = x
Domini i rang de la funció del cosinus invers
El domini i el rang de la funció de cosinus invers s'esmenten a continuació:
- Domini de la funció del cosinus invers: Tots els nombres reals de l'interval [-1, 1]
- Interval de la funció del cosinus invers: Tots els nombres reals del rang [0, π]
Funció cosinus hiperbòlica
Les funcions hiperbòliques són l'equivalent analògic de la funció trigonomètrica l'expressió algebraica de la qual està en termes de funció exponencial. La funció cosinus hiperbòlica abreujada com cosh(x) on x és un angle hiperbòlic és un concepte de geometria hiperbòlica. Igual que (cos(x), sin(x)) representa un punt en un cercle unitari, (cosh(x), sinh(x)) representa un punt en una hipèrbola unitària, és a dir, xy = 1 on sinh(x) representa hiperbòlica funció sinusoïdal. L'expansió algebraica de la funció cos hiperbòlica es dóna com
cosh(x) = (e x + i -x )/2
Més detalls de les funcions hiperbòliques estan fora de l'abast d'aquest article, però podeu consultar-ho Aquest article .
Funció coseus en càlcul
La branca del càlcul de les matemàtiques tracta de diferenciació i integració d'una funció determinada. La diferenciació de funció és la taxa de canvi de la funció respecte a la variable independent mentre que la integració és el procés invers de diferenciació que tracta de trobar la integral d'una funció la derivada de la qual existeix.
Derivada de la funció cosinus
El derivat de la funció cosinus és igual al negatiu de la funció sinus. Matemàticament
d(cos(x))/dx = -sense(x)
Integració de la funció cosinus
El indefinit integral de la funció cosinus és igual a la funció sinus. Matemàticament -
∫cos(x)dx = sin(x) + C, on C és la constant d'integració.
Funcions sinus i coseus
El gràfic següent representa la diferència clau entre la funció sinus i cosinus:
Diferència entre les funcions sinus i coseus
La taula següent mostra les diferències entre la funció sinus i cosinus:
Funció sinusoïdal | Funció coseus |
|---|---|
En una circumferència unitat, el sinus d'un angle és la projecció de la hipotenusa sobre l'eix y. | En una circumferència unitat, el cosinus d'un angle és la projecció de la hipotenusa sobre l'eix x. |
sin(θ) = Alçada del triangle rectangle / Longitud de la hipotenusa | cos(θ) = Base del triangle rectangle / Longitud de la hipotenusa |
El seu valor és 0 a 0°, 180° i 360°. | El seu valor és 0 a 90° i 270°. |
El seu valor és màxim, és a dir, 1 a 90°. | El seu valor és màxim, és a dir, 1 a 0° i 360°. |
El seu valor és mínim, és a dir, -1 a 270°. | El seu valor és mínim, és a dir, -1 a 180°. |
Taula de valors de Cos
La taula següent proporciona els valors de la funció cosinus per a alguns angles comuns al primer quadrant del pla cartesià:
Angle en graus (θ) | Angle en radians (x) | Cos (x) |
|---|---|---|
0 | 0 | 1 |
30 | pàg/6 | √3/2 |
45 | p/4 | 1/√2 |
60 | p/3 | 1/2 |
90 | pàg/6 | 0 |
Podem calcular fàcilment els valors d'altres angles comuns com 15°, 75°, 195°, -15°, etc. utilitzant aquests valors utilitzant les fórmules cos (x + y) i cos (x – y) descrites més endavant en aquest article.
Comprova, Taula trigonomètrica
Identitats de la funció Cos
Les identitats trigonomètriques bàsiques relacionades amb la funció cosinus s'esmenten a continuació:
- sense2(x) + cos2(x) = 1
- cos(x + y) = cos(x)cos(y) – sense(x)sense(y)
- cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sense(x)sense(y)
- cos(-x) = cos(x)
- cos (x) = 1/s (x)
- cos 2x = cos2x – sense2x = 1 – 2sin2x = 2cos2x – 1 = (1 – tan2x/1 + tan2x)
- cos 3x = 4cos3x – 3cos x
Articles relacionats
- Diferenciació de Funcions Trigonomètriques
- Funcions trigonomètriques inverses
- Derivades Trig inverses
Exemples resolts sobre la funció cosinus
Aquí teniu alguns exemples resolts per ajudar-vos a entendre millor el concepte de funció cosinus.
Exemple 1: Quins són els valors màxim i mínim de la funció cosinus?
Solució:
El valor màxim de la funció cosinus és 1 a 0° i 180° mentre que el valor mínim de la funció és -1 a 180°.
Exemple 2: A quin(s) angle(s) de l'interval [0, 360] és 0 el valor de la funció cosinus?
Solució:
El valor de la funció cosinus és 0 als angles de 90° i 270°.
Exemple 3: Per a quins quadrants el valor de la funció cosinus és negatiu?
Solució:
La funció cosinus és negativa a la IIndi IIIrdquadrants.
Exemple 4: Calcula el valor de cos (45°).
Solució:
corda de llargada
Segons la identitat 4 anterior, cos (-x) = cos (x).
Per tant, cos(-45°) = cos(45°) = 1/√2
Exemple 5: Calcula el valor de cos(15°).
Solució:
Utilitzant la identitat 3 indicada anteriorment:
cos(15degree) = cos(45degree – 30degree) ewline = cos(45degree)cos(30degree) + sin(45degree)sin(45degree) ewline = frac{1}{sqrt2} imesfrac{sqrt3}{2} + frac{1}{sqrt2} imes frac{1}{2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2}
Exemple 6: Què és el cos -1 (1/2) en el rang [0,π]?
Solució:
Deixem cos-1(1/2) = i.
Per tant, cos(y) = 1/2 ⇒ y = π/3 en el rang anterior.
Per tant, la resposta és π/3.
Exemple 7: Quin és el valor de cos(-15°)?
Solució:
Utilitzant la identitat 3 indicada anteriorment -
cos(-15degree) ewline = cos(30degree – 45degree) ewline = cos(30degree)cos(45degree) + sin(30degree)sin(45degree) ewline = frac{sqrt3}{2} imesfrac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{2} imesfrac{1}{sqrt2} ewline = frac{sqrt3 + 1}{2sqrt2} .Alternativament, també podem utilitzar la identitat cos(-x) = cos(x) i utilitzar el valor de cos(15°) calculat a l'exemple 5.
Exemple 8: Calculeu l'àrea sota la gràfica de la funció cosinus per a x = 0 a x = π/2.
Solució:
L'àrea donada es pot calcular resolent la següent integral definida:
int_0^{frac{pi}{2}}cos(x)dx ewline = sin(frac{pi}{2}) – sin(0) ewline = 1 – 0 ewline = 1 Per tant, la resposta és 1 unitat quadrat.
Exemple 9: Si cos(x) = π/3, trobeu el valor de cos(3x) (en forma decimal amb precisió de dos dígits decimals).
Solució:
Utilitzant la identitat – cos(3x) = 4cos3(x) – 3cos(x) –
cos(3x) = 4⨉(π/3)3-3⨉(π/3) ≅ 4,59 – π = 1,45
Exemple 10: Trobeu el valor de cos(120°).
Solució:
Utilitzant la identitat per a cos(2x)
cos(120°) = cos(2⨉60°) = 1 – 2 sense2(60°) = 1- 2⨉(√3/2)2= 1 – 3/2 = -1/2
Preguntes pràctiques: Funcions Cos
Q1. Quina és la fórmula per calcular el cos d'un angle en un triangle rectangle?
P2. Quina és la interpretació geomètrica de cos en el pla cartesià?
P3. Calcula el valor de cos (120°).
P4. Trobeu el valor de cos -1 (√3/2) en el rang [π, 2π].
P5. Si un pal projecta una ombra de la mateixa longitud a terra, troba l'angle del sol respecte al terra si el sol està en direcció est.
Resum - Funció coseus
La funció cosinus, denotada com a cos(x), és una funció trigonomètrica fonamental definida com la relació entre la base i la hipotenusa en un triangle rectangle i és essencial en diversos camps com la física, l'enginyeria i la geometria a causa de la seva naturalesa periòdica. , que és fonamental per modelar el comportament de les ones. Té un domini de tots els nombres reals i un rang de -1 a 1, repetint el seu cicle cada 2 Pi radians o 360 graus, evident pel seu gràfic ondulat que comença a (0,1). En termes de càlcul, la derivada de cos(x) és − sin( x ), i la seva integral produeix sin( x )+ C , amb C com a constant d'integració. Aquesta funció també s'estén a les formes hiperbòliques, com ara cosh(x), millorant la seva aplicació en diversos contextos i solucions matemàtiques, incloent càlculs d'ones i oscil·lacions en sistemes físics.
Funció coseno: preguntes freqüents
1. Què és la funció cosinus?
La funció cosinus és una de les funcions trigonomètriques fonamentals. Es defineix en un triangle rectangle com la relació entre la longitud del costat adjacent a l'angle en qüestió i la longitud de la hipotenusa.
2. El cos i el cosinus són iguals en trigonometria?
Sí. cos és una abreviatura/forma curta de la funció cosinus.
3. Quina és la funció de rang de cos?
El rang de la funció cos o cosinus són tots els nombres reals que van de -1 a 1, és a dir, [-1,1].
4. Què és el domini de la funció Cos?
El domini de la funció cos o cosinus és el ser de tots els nombres reals, és a dir, R .
5. Quin és el valor màxim de la funció cosinus?
El valor màxim de la funció cosinus és 1 per a tots els angles equivalents a 0° o 360°.
6. Quin és el valor mínim de la funció cosinus?
El valor mínim de la funció cosinus és -1 per a tots els angles equivalents a 180°.
7. Com trobar el valor de Cos(-x)?
El valor de cos(-x) es pot calcular calculant el valor de cos(x) a causa de l'existència de la identitat següent: cos(-x) = cos(x).
8. Com representar gràficament la funció cosinus?
Per dibuixar la gràfica de la funció cosinus en un pla cartesià, fes referència a l'eix x com a que representa angles en radians (o graus) i a l'eix y com a representació dels valors de la funció cosinus per a l'angle corresponent a l'eix x. Ara,
- Pas 1: Agafeu un subconjunt de l'eix x per al qual us agradaria dibuixar el gràfic.
- Pas 2: Dividiu l'eix x d'aquest rang en punts equidistants (és a dir, hi ha un espai igual entre tots els subpunts). Tingueu en compte que com més gran sigui el nombre de divisions, major serà la precisió del gràfic resultant.
- Pas 3: Per a cadascun d'aquests subpunts x, marqueu el punt (x, cos(x)) a la gràfica.
- Pas 4: Uniu tots els punts marcats per obtenir el gràfic de la funció cosinus (per al subconjunt de l'eix x que heu seleccionat).
9. Com trobar el període d'una funció coseus?
El període d'una funció cosinus fa referència al rang mínim de valors després del qual la funció comença a repetir-se. Sabem que la funció cosinus es repeteix després de cada rotació completa, el que significa 2π radians. Per tant, el període de la funció cosinus és de 2π radians o 360°.
10. Què és l'amplitud d'una funció cosinus?
L'amplitud d'una funció cosinus es refereix al màxim desplaçament del valor de la funció des de la posició mitjana, és a dir, l'eix x. L'amplitud de la funció cosinus és 1 ja que el desplaçament màxim és 1 (per als valors -1 i 1 a 180 i 0 graus respectivament. Tingueu en compte que el rang de la funció cosinus és [-amplitud, amplitud].