A Funció en matemàtiques és una relació especial entre el conjunt de valors d'entrada i el conjunt de valors de sortida. A Funció, cada valor d'entrada dóna un valor de sortida particular. Representem una funció en matemàtiques com, y = f(x) on x és el valor d'entrada i per a cadascun x obtenim un valor de sortida com y.

En aquest article, aprendrem sobre, funcions en matemàtiques, els seus diferents tipus, exemples i altres en detall.

Taula de contingut

• Què és una funció a les matemàtiques?
• Definició de funcions en matemàtiques
• Exemples de funcions
• Condició per a una funció
• Representació de funcions en matemàtiques
• Identificació de la funció
• Tipus de funció
• Què és una funció en àlgebra?
• Domini i rang d'una funció
• Composició de funcions
• Àlgebra de funcions
• Què és una funció en un gràfic?
• Funcions gràfics
• Funcions comunes
• Aplicacions de les funcions
• Exemples sobre la funció
• Practica problemes sobre què és una funció

Què és una funció a les matemàtiques?

Una funció en matemàtiques és a relació entre els valors d'entrada (domini) i els valors de sortida (interval) dels conjunts donats de manera que no hi ha dues variables dels conjunts de dominis enllaçades a la mateixa variable del conjunt d'intervals. Un exemple senzill d'una funció en matemàtiques és f(x) = 2x, que es defineix a R→R, aquí qualsevol variable del domini està relacionada només amb una variable del rang.

Una funció en matemàtiques té un domini, un codomini i un rang. El domini és el conjunt de tots els valors possibles de x i el rang de la funció és el conjunt de tots els valors de sortida de y. L'interval és el subconjunt de codomini d'una funció. També podem dir que una funció en matemàtiques és una relació amb una sortida única i que no hi ha dos valors d'entrada que tinguin una sortida similar en una funció que és el cas de la relació.

Definició de funcions en matemàtiques

La funció és una relació o mètode especial que connecta cada membre del conjunt A amb un membre únic del conjunt B mitjançant una relació definida. El conjunt A s'anomena domini i el conjunt B s'anomena codomini de la funció. Una funció en matemàtiques del conjunt A al conjunt B es defineix com,

f = ∀ a ∈ A, b ∈ B

Tota funció és una relació, però tota relació no és una funció. Els criteris perquè qualsevol relació es consideri una funció ja que en funció cada element del conjunt A només té una imatge al conjunt B, mentre que en relació un element del conjunt A pot tenir més d'una imatge al conjunt B.

Definim una funció en matemàtiques del conjunt no buit A al conjunt no buit B de manera que,

(a, b) ∈ f, aleshores f(a) = b

on vam trucar b com la imatge de a definit sota la relació f .

Cada element 'a' del conjunt A té una imatge única ' b ' al conjunt B és una funció.

subratlla a la reducció

Exemples de funcions

Una funció en matemàtiques f es defineix com, y = f(x) on x és el valor d'entrada i per a cada valor d'entrada de x, obtenim un valor únic de y. Diversos exemples de les funcions en matemàtiques definides a R→R són,

• y = f(x) = 3x + 4
• y = f(x) = sense x + 3
• y = f(x) = -3x²+3, etc

Condició per a una funció

Per a dos conjunts A i B no buits, una funció f: A→B denota això f és una funció de A a B, on A és un domini i B és un codomini.

Per a qualsevol element, a ∈ A, un element únic, b ∈ B hi ha tal que (a,b) ∈ f. L'element únic b que està relacionat amb a es denota amb f(a) i es llegeix com f d'a. Això es pot entendre millor a partir de la imatge següent:

Prova de línia vertical

La prova de línia vertical s'utilitza per determinar si una corba és una funció o no. Si alguna corba talla una línia vertical en més d'un punt, aleshores la corba no és una funció.

Representació de funcions en matemàtiques

Representem una funció en matemàtiques com,

y = f(x) = x + 3

Aquí, el conjunt de valors de x és el domini de la funció i el conjunt de valors de sortida de y és el codomini de la funció. Aquí, la funció es defineix per a tots els nombres reals, ja que dóna un valor únic per a cada x, però no sempre és possible obtenir la sortida per a cada valor de x en aquest cas definim la funció en dues parts, això es pot entendre com

• f(x) = 1/(x – 2), on x ≠ 2
• f(x) = x²on x ∈ {R}

Podem definir una funció en matemàtiques com una màquina que pren alguna entrada i dóna una sortida única. La funció f(x) = x²es defineix a continuació com,

Podem representar una funció en matemàtiques pel mètode de tres com,

• Conjunt de parells ordenats
• Formulari de taula
• Forma Gràfica

Per exemple, si representem una funció com, f(x) = x³

Una altra manera de representar la mateixa funció és com el conjunt de parelles ordenades com,

f = {(1,1), (2,8), (3,27)}

En el conjunt esmentat anteriorment, el domini de la funció és D = {1, 2, 3} i el rang de la funció és R = {1, 8, 27}

Identificació de la funció

La funció es classifica com un tipus especial de relació en matemàtiques. Hi ha les regles següents que es poden utilitzar per identificar una funció:

• Una relació en la qual cada entrada assignada a una sortida única és una funció. Això es va anomenar funció un a un.
• Una relació en què dues entrades (preimatge) assignades a una única sortida també és una funció. Aquesta és una funció de moltes a una.
• Una relació en què una entrada es mapeja dues sortides diferents no és una funció.
• Una relació en què moltes entrades s'assignen a moltes sortides seguint cap regla específica no és una funció.

Tipus de funció

Diferent Tipus de Funcions s'utilitzen per resoldre diversos tipus de problemes matemàtics, especialment relacionats amb corbes i equacions. Hi ha tres tipus principals de funcions en matemàtiques que es basen en el mapeig d'elements del conjunt A al conjunt B.

Funció injectiva o Funció One to One

La funció en què cada element del domini té una imatge diferent al codomini s'anomena Injectiu o Funció un a un .

f: A → B es diu que és un a un o injectiva si les imatges dels diferents elements de A sota f són diferents, és a dir,

f (a ₁ ) = b ₁ , f(a ₂ ) = b ₂

on a₁, a₂∈ A i b₁, b₂∈ B

Funcions surjectives o Funció Onto

La funció surjectiva és la funció en què cada element del codomini té una preimatge al domini. També s'anomena A la funció el que significa que cada element del codomini està associat a cada element del domini. Cap element del codomini ha de tenir una relació buida. El nombre d'elements de codomini i rang és el mateix.

f: A → B es diu que és a sobre, si cada element de B és la imatge d'algun element de A sota f, és a dir, per a cada b ϵ B, existeix un element 'a' en A tal que f(a) = b.

Funció Bijectiva

Si una funció té propietats tant d'injectiva (un a un) com de surjectiva (a la funció), la funció s'anomena Funció Bijectiva . A la funció bijectiva, cada element del domini està relacionat amb cada element del codomini i també hi ha una relació un a un. Això implica que el nombre d'elements del codomini i l'interval són els mateixos i que cap element del domini o del codomini té una relació buida.

En funció dels valors de sortida, les funcions es classifiquen com a funcions parelles i imparells. Fem-los una ullada

Funcions estranyes

La funció estranya és un tipus de funció que presenta simetria respecte a l'origen. Concretament, si f(x) és una funció senar, mostra que f(-x) = -f(x)

Funció fins i tot

La funció fins i tot és un tipus de funció que presenta simetria respecte a l'eix y. Concretament, si f(x) és una funció parell, mostra que f(-x) = f(x)

c# datahora

Què és una funció en àlgebra?

Una funció en àlgebra és una equació per a la qual qualsevol x que es pugui posar a l'equació produirà exactament una sortida, com ara y, fora de l'equació. Es representa com y = f(x), on x és una variable independent i y és una variable dependent.

Per exemple:

• y = 2x + 1
• y = 3x – 2
• y = 4y
• y = 5/x

Domini i rang d'una funció

Domini i rang d'una funció són el valor d'entrada i de sortida d'una funció respectivament. Per exemple, suposem que tenim una funció donada com f(x) = x². Aquí, podem prendre tot el nombre real com a valor d'entrada de x i la sortida serà sempre un nombre real positiu. Per tant, el seu domini és conjunt de tots els nombres reals representats com a R mentre que el seu rang és un conjunt de nombres reals positius representats com a R⁺

Composició de funcions

Si f: A → B i g: B→ C són dues funcions. Aleshores, la composició de f i g es denota com f(g) i es defineix com la funció boira = f(g(x)) per a x ∈ A.

Prenem dues funcions f(x) = x + 3 i g(x) = 2x²

boira = f(g(x))

⇒ boira = f(2x²)

⇒ dent = 2x²+ 3

Aprèn més, Composició de la funció

Àlgebra de funcions

L'àlgebra de funcions implica les operacions algebraiques realitzades entre dues funcions. L'operació algebraica de dues funcions f(x) i g(x) definides en el valor real de x s'esmenten a continuació:

• (f + g) (x) = f (x) + g (x)
• (f – g) (x) = f (x) – g (x)
• (f.g) (x) = f(x).g(x)
• (k f(x)) = k (f(x)); {Perquè, k és un nombre real}
• (f/g)(x) = f(x) /g(x); {Per a g(x) ≠ 0}

Què és una funció en un gràfic?

Una funció es pot representar fàcilment en un gràfic. Qualsevol funció del gràfic representa una corba (inclosa la línia recta) en el pla x-y assignat per als seus valors d'entrada i de sortida corresponents.

Per representar una funció en un primer trobeu alguns punts que es troben a la funció i després uniu aquests punts segons el lloc geogràfic de la funció. Per exemple, per representar gràficament la funció (recta) f(x) = y = 5x – 2 necessitem algun punt de la gràfica. Per trobar el punt el punt de la gràfica primer prenem els valors aleatoris de x i després trobem els seus valors corresponents de y, com,

cadena de concatenació en java

f(x) = y = 5x- 2

si x = 0, y = 5(0) – 2 = -2 ⇒ (x, y) = (0, -2)

si x = 1, y = 5(1) – 2 = 3 ⇒ (x, y) = (1, 3)

si x = 2, y = 5(2) – 2 = 8 ⇒ (x, y) = (2, 8)

Ara unint aquests punts podem obtenir la gràfica de la funció y = 5x – 2

Funcions gràfics

Conèixer els valors de x permet representar una funció f(x) en un gràfic. Com que y = f(x), podem trobar el valor associat per a y començant pels valors de x. Com a resultat, podem traçar un gràfic en un pla de coordenades utilitzant valors x i y. Considereu el següent escenari:

Assumeix y = x + 3

Quan x = 0, y = 3

De la mateixa manera,

• x = -2, y = -2 + 3 = 1
• x = -1, y = -1 + 3 = 2
• x = 1, y = 1 + 3 = 4
• x = 2, y = 2 + 3 = 5
• x = 3, y = 3 + 3 = 6

Com a resultat, podem representar el gràfic de la funció x + 3 utilitzant aquests valors.

Funcions comunes

A continuació es comenten algunes funcions comuns que s'utilitzen habitualment en matemàtiques:

Funció real

Funció real en matemàtiques es refereix a una funció el domini i el rang de la qual són subconjunts dels nombres reals (indicats com ℝ). En termes més senzills, una funció real és una regla o relació matemàtica que assigna un valor de nombre real a cada entrada de nombre real.

Funcions reals

Funció polinomial

La funció en què els exponents de les variables algebraiques són nombres enters no negatius s'anomena a Funció polinomial . Si la potència de la variable és 1 s'anomena funció lineal, si la potència és 2 s'anomena funció quadràtica, i si la potència és 3 s'anomena funció cúbica. A continuació s'esmenten alguns exemples de funcions polinomials:

• y = x²
• y = 2x + 3
• y = 3x³

La funció polinòmica es pot classificar en els següents tipus:

Funció lineal : Funció lineal són aquelles en què la potència màxima de la variable és 1. La forma general de Funció lineal és y = mx + c

Funció quadràtica : La funció quadràtica és aquella en què la potència màxima de la variable és 2. Forma general de funció quadràtica és, destral ² + bx + c = 0

Funció cúbica : Funció cúbica és aquells en què la potència màxima de la variable és 3. General Forma de funció cúbica es dóna com destral ³ + bx ² + cx + d = 0

Funció inversa

Funció inversa és la funció que conté la inversa d'una altra funció. Suposem que tenim una funció y = f(x), llavors la seva funció inversa serà x = f^-1(y). En y = f(x), el domini és x i el rang és y mentre que en el cas de x = f^-1(y), el domini és y i l'interval és x. Així, podem dir que el domini de la funció original és el rang de la seva funció inversa i el rang de la funció original és el domini de la funció original. Alguns exemples de funcions inverses són:

• i = tan^-1(x)
• y = x^-1

Funció d'àrea

La funció d'àrea normalment es refereix a una funció matemàtica que calcula l'àrea d'una forma geomètrica o regió. La funció d'àrea pren un o més paràmetres com a entrada i retorna l'àrea de la forma corresponent. A continuació es comenten algunes de les funcions de l'àrea:

Funció d'àrea de cercle : Àrea del cercle (A) és una funció del seu radi (r) tal que,

A = πr ²

Funció de l'àrea del triangle : Àrea del triangle (A) és una funció de la seva base (b) i alçada (h) de manera que,

A = (bh)/2

Funció exponencial

Funció exponencial és el que es representa com f(x) = e^x. Sovint s'utilitza per mostrar un creixement o descomposició ràpid.

Funció logarítmica

Funció logarítmica és una funció matemàtica que representa l'operació inversa d'exponenciació. Es representa com f(x) = log x.

Funció de sostre

Funció de sostre , denotada com ⌈x⌉, arrodoneix un nombre real x fins a l'enter més proper que és major o igual a x. En altres paraules, troba el valor enter més petit que és major o igual que x.

Funció de pis

La funció de planta, denotada com ⌊x⌋, arrodoneix un nombre real x a l'enter més proper que és menor o igual que x. En altres paraules, troba el valor enter més gran que és menor o igual que x.

Funció mòdul

Funció mòdul , també coneguda com a funció de valor absolut, retorna la magnitud o la mida d'un nombre real sense tenir en compte el seu signe. La funció mòdul es denota com ∣x∣, on x és el valor d'entrada.

Funció Signum

Funció Signum , també coneguda com a funció de signe o funció de signe, és una funció matemàtica que retorna el signe d'un nombre real. Indica si el nombre és positiu, negatiu o zero.

Funcions trigonomètriques

Funcions trigonomètriques Són funcions matemàtiques que relacionen els angles d'un triangle rectangle amb la longitud dels seus costats. Les sis funcions trigonomètriques primàries són sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecant (cosec), secant (sec) i cotangent (cot).

Funcions complexes

Qualsevol funció en què les variables d'entrada siguin funcions complexes s'anomena funció complexa. Un nombre complex és un nombre que es pot representar en el pla complex. En a nombre complex tenim nombre real i nombre imaginari. Un nombre complex (z) es representa com, z= x + iy i una funció complexa es representa com, f(z) = P(x, y) + iQ(x, y)

Aplicacions de les funcions

Quan diem que una magnitud variable y és funció d'una magnitud variable x, indiquem que y depèn de x i que el valor de y està determinat pel valor de x. Aquesta dependència es pot expressar de la següent manera: f = y (x).

• El radi d'un cercle es pot utilitzar per calcular l'àrea d'un cercle. El radi r afecta l'àrea A. Declarem que A és funció de r en el llenguatge matemàtic de les funcions. Podem escriure A = f(r) =π×r²
• El volum V d'una esfera és funció del seu radi. V = f(r) = 4/3×r³denota la dependència de V de r.
• La força és funció de l'acceleració d'un cos de massa fixa m. F = g(a) = m×a.

La gent també llegeix:

• Relació i funció
  
• Domini i rang de funcions trigonomètriques
• Interval d'una funció
• Funció hiperbòlica

Exemples sobre la funció

Exemple 1: Per a dues funcions f i g es defineixen com, f(x) = x ² i g(x) = ln(2x). Trobeu la funció composta (gof )( x )

Solució:

Donat:

• f(x) = x²
• g(x) = ln(2x)

(gof )( x ) = g (f (x))

[g (f (x)] = ln(2f(x))

= ln(2x²)

= 2 ln(√2x)

Així, (gof)(x) = 2 ln(√2x)

Exemple 2: Trobeu la sortida de la funció g(t)= 6t ² + 5 a les

• (i) t = 0
• (ii) t = 2

Solució:

char + int en java

funció donada,

g(t)= 6t²+ 5t

• (i) t = 0

g(0) = 6(0)²+5(0) = 0 + 0

mètodes de llista de matrius java

g(0) = 0

• (ii) t = 2

g(2) = 6(2)²+5(2)

g(2) = 24 + 10

g(2) = 34

Exemple 3: La longitud d'un rectangle és cinc vegades la seva amplada, expresseu l'àrea del rectangle en funció de la seva longitud.

Solució:

Sigui la longitud del rectangle l i l'amplada del rectangle és b

Ara,

• b = l/5

Àrea del rectangle (A) = l × l/5 = l²/5

Així, l'àrea del rectangle com a funció de la seva longitud és,

A(l) = l ² /5

Practica problemes sobre què és una funció

1. Donada la funció f(x)=3x+5

• Troba f(2)
• Troba f(−1)
• Determineu el domini i l'abast de la funció.

2. Donada la funció g(x)=x ² – 4x + 3

• Troba les arrels de la funció.
• Trobeu g(3) i g(0).
• Determineu el vèrtex de la funció.

3. Donades dues funcions f(x)=x + 2 i h(x)=2x – 3

• Trobeu la funció composta (f ∘ h) (x)
• Avalueu (f ∘ h)(2)

Resum - Què és una funció

Una funció en matemàtiques és una relació especial entre els valors d'entrada (domini) i els valors de sortida (interval) on cada entrada està associada a una sortida única. Representades com y = f(x), les funcions tenen característiques específiques i es poden visualitzar mitjançant parells ordenats, taules o gràfics. Són essencials en diversos problemes matemàtics i n'hi ha de diferents tipus, inclosos els injectius (un a un), surjectius (ambdós) i bijectius (ambdós). Les funcions es poden provar mitjançant la prova de línia vertical i es classifiquen en funcions polinomials, inverses, exponencials, logarítmiques i trigonomètriques. Entendre les funcions implica reconèixer el seu domini, l'abast i les regles que les defineixen. Els exemples inclouen funcions lineals simples com y = 2x + 1 i composicions complexes de funcions. Les funcions tenen un paper crucial en l'àlgebra, la geometria i el càlcul, ajudant en la representació i anàlisi de relacions matemàtiques i fenòmens del món real.

Preguntes freqüents sobre què és una funció

Quina és la definició d'una funció?

Una relació f definida en un conjunt A amb un altre conjunt B s'anomena funció en matemàtiques si cada valor de A té un valor únic al conjunt B.

Com escriure una funció en matemàtiques?

La funció f en matemàtiques es representa com f: A → B i es defineix com, f(x) = x + 2. Aquí, per a cada valor únic de x, tenim un valor únic de y.

Com transformar una funció?

Podem transformar fàcilment una funció en altres funcions simplement realitzant operacions algebraiques bàsiques sobre la funció. Les diferents transformacions de la funció són, reflex, translació, rotació, etc.

Què és una funció racional?

Una funció de fracció on el numerador i el denominador són funcions polinomials s'anomena funció racional. Alguns exemples de la funció racional són:

• f(x) = x ² /(2x + 3)
• g(x) = (6x + 3)/(x – 1), etc.

Què és una funció lineal?

Una funció algebraica en la qual cada terme de la funció és constant o té una potència d'un s'anomena funció lineal. Alguns exemples de la funció lineal són:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = x – 5, etc.

Què són el domini i el codomini d'una funció?

Si definim la funció com, y = f(x). Aleshores, el domini de la x són tots els valors de x per als quals y dóna com a resultat un valor únic. I el codomini de y és el conjunt de tots els valors de y per a cada valor de x.

Com identifiqueu una funció en matemàtiques?

Si qualsevol valor d'entrada (x) del domini en una relació té més d'una imatge (y), aquesta relació no pot ser mai una funció. Per tant, si el valor de x es repeteix en el parell ordenat, mai és una funció.