Diferenciació de Funcions Trigonomètriques és la derivada de les funcions trigonomètriques com sin, cos, tan, cot, sec i cosec. La diferenciació és una part important del càlcul. Es defineix com la velocitat de canvi d'una magnitud respecte a una altra quantitat. La diferenciació de les funcions trigonomètriques s'utilitza a la vida real en diversos camps com els ordinadors, l'electrònica i les matemàtiques.

En aquest article, coneixerem la diferenciació de funcions trigonomètriques juntament amb les fórmules, les seves demostracions relacionades i les seves aplicacions. A més, resoldrem alguns exemples i obtindrem respostes a algunes preguntes freqüents sobre la diferenciació de funcions trigonomètriques. Comencem el nostre aprenentatge sobre el tema de la diferenciació de funcions trigonomètriques.

Què és la diferenciació?

La diferenciació d'una funció és la taxa de canvi d'una funció respecte a qualsevol variable. El derivat de f(x) es denota com f'(x) o (d /dx)[f(x)].

El procediment de diferenciació del funcions trigonomètriques s'anomena diferenciació de funcions trigonomètriques. En altres paraules, trobar la taxa de canvi de les funcions trigonomètriques respecte als angles s'anomena diferenciació de funcions trigonomètriques.

Les sis funcions trigonomètriques bàsiques són sin, cos, tan, cosec, sec i cot. Trobarem les derivades de totes les funcions trigonomètriques amb les seves fórmules i demostració.

Regla de diferenciació per a funcions trigonomètriques

La diferenciació de sis funcions trigonomètriques bàsiques és la següent:

Podeu comprovar la demostració de la derivada d'aquestes sis funcions trigonomètriques als enllaços que es proporcionen a continuació:

Fórmula de demostració de la diferenciació de funcions trigonomètriques

Com s'ha comentat anteriorment les fórmules per a totes les funcions trigonomètriques, ara demostrarem les fórmules anteriors de la diferenciació de les funcions trigonomètriques utilitzant el primer principi de derivada, la regla del quocient i la regla de la cadena amb l'ajuda de límits.

Diferenciació de sin(x)

Per demostrar la derivada de sin x utilitzarem el primer principi de la diferenciació i algunes fórmules bàsiques d'identitats i límits trigonomètriques. Les identitats trigonomètriques i la fórmula dels límits que s'utilitzen en la demostració es donen a continuació:

1. sense (X + Y) = sense X cos I + sense Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1) / x] = 0

Comencem la demostració de la diferenciació de la funció trigonomètrica sen x

Pel primer principi de diferenciació

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sense (x + h) – sense x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sense x cos h + sense h cos x – sense x} / h]

llista de religions

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sense x} + {(sense h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sense x] + lim_h→0[(sense h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Fent servir 2 i 3]

⇒ (d/dx) sense x = cos x

Per tant, la diferenciació de sin x és cos x.

Diferenciació de cos(x)

Per demostrar la derivada de cos x utilitzarem el primer principi de la diferenciació i algunes fórmules bàsiques d'identitats i límits trigonomètriques. Les identitats trigonomètriques i la fórmula dels límits que s'utilitzen en la demostració es donen a continuació:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sense X sense Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1) / x] = 0

Comencem la demostració de la diferenciació de la funció trigonomètrica cos x

Pel primer principi de diferenciació

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sense h sense x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sense h / h) sense x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(sense h / h) sense x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Fent servir 2 i 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sense x

Per tant, la diferenciació de cos x és -sin x.

Diferenciació de tan(x)

Per demostrar la derivada de tan x utilitzarem la regla del quocient i algunes fórmules bàsiques d'identitats i límits trigonomètriques. Les identitats trigonomètriques i la fórmula dels límits que s'utilitzen en la demostració es donen a continuació:

1. tan x = sense x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. cos²x + sense²x = 1
4. (d/dx) sense x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sense x

Comencem la demostració de la diferenciació de la funció trigonomètrica tan x

Atès que, per (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Utilitzant la regla del quocient

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sense x) sense x] / cos²x [En 4 i 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + sense²x] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [En 3]

⇒ (d/dx) tan x = sec ² x [En 2]

Per tant, la diferenciació de tan x és sec ² x.

Diferenciació de cosec(x)

Per demostrar la derivada de cosec x utilitzarem la regla de la cadena i algunes fórmules bàsiques d'identitats i límits trigonomètriques. Les identitats trigonomètriques i la fórmula dels límits que s'utilitzen en la demostració es donen a continuació:

1. cot x = cos x / sense x
2. cosec x = 1 / sense x
3. (d/dx) sense x = cos x

Comencem la demostració de la diferenciació de la funció trigonomètrica cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [Per 2]

Ús de la regla de la cadena

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sense x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

comanda push git

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [Per 1 i 2]

Per tant, la diferenciació de cosec x és – cosec x cot x.

Diferenciació de sec(x)

Per demostrar la derivada de sec x utilitzarem la regla del quocient i algunes de bàsiques identitats trigonomètriques i fórmula de límits . Les identitats trigonomètriques i la fórmula dels límits que s'utilitzen en la demostració es donen a continuació:

1. tan x = sense x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sense x

Comencem la demostració de la diferenciació de la funció trigonomètrica sec x

(d/dx) sec x = (d/dx) [1 / cos x] [Per 2]

Ús de la regla de la cadena

(d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (-sense x)

⇒ (d/dx) sec x = [1 / cos x] [sense x / cos x]

⇒ (d/dx) sec x = sec x tan x [Per 1 i 2]

Per tant, la diferenciació de sec x és sec x tan x.

Diferenciació de bressol(x)

Per demostrar la derivada de cot x utilitzarem la regla del quocient i algunes fórmules bàsiques d'identitats i límits trigonomètriques. Les identitats trigonomètriques i la fórmula dels límits que s'utilitzen en la demostració es donen a continuació:

1. cot x = cos x / sense x
2. cosec x = 1 / sense x
3. cos²x + sense²x = 1
4. (d/dx) sense x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sense x

Comencem la demostració de la diferenciació de la funció trigonomètrica cot x

Atès que, per (1)

cot x = cos x / sense x

(d/dx) cot x = (d/dx)[cosx / sin x]

Utilitzant la regla del quocient

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²x

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sense x – (cosx) cos x] / sense²x [En 4 i 5]

⇒ (d/dx) cot x = [ -sin²x – cos²x] / sense²x

⇒ (d/dx) cot x = -[ sin²x + cos²x] / sense²x

⇒ (d/dx) cot x = -1 / sin²x [En 3]

⇒ (d/dx) cot x = -cosec ² x [En 2]

Per tant, la diferenciació de cot x és -cosec ² x.

Algunes altres derivades de la funció Trig

La diferenciació de les funcions trigonomètriques es pot fer fàcilment mitjançant la regla de la cadena. Les funcions trigonomètriques complexes i les funcions trigonomètriques compostes es poden resoldre aplicant regla de la cadena de diferenciació. En els següents encapçalaments estudiarem més detalladament la regla de la cadena i la diferenciació de funcions trigonomètriques compostes.

• Diferenciació mitjançant la regla de la cadena
• Diferenciació de la funció Trig composta

Comentem aquests temes amb detall.

Regla de cadena i funció trigonomètrica

La regla de la cadena estableix que si p(q(x)) és una funció aleshores, la derivada d'aquesta funció ve donada pel producte de la derivada de p(q(x)) i la derivada de q(x). La regla de la cadena s'utilitza per diferenciar funcions compostes . La regla de la cadena s'utilitza principalment per diferenciar fàcilment les funcions trigonomètriques compostes.

Exemple: Trobeu la derivada de f(x) = tan 4x

Solució:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Aplicant la regla de la cadena

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (seg²4x) (4)

Diferenciació de la funció Trig composta

Per avaluar la diferenciació de les funcions trigonomètriques compostes apliquem la regla de diferenciació de la cadena. Les funcions trigonomètriques compostes són les funcions en les quals l'angle de la funció trigonomètrica és en si mateixa una funció. La diferenciació de funcions trigonomètriques compostes es pot avaluar fàcilment aplicant la regla de la cadena i les fórmules de diferenciació per a les funcions trigonomètriques.

Exemple: Trobeu la derivada de f(x) = cos(x ² +4)

Solució:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Aplicant la regla de la cadena

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sense(x²+4)

Què són les funcions trigonomètriques inverses?

El funcions trigonomètriques inverses són les funcions inverses de les funcions trigonomètriques. Hi ha sis funcions trigonomètriques inverses: sin^-1, cos^-1, tan^-1, cosec^-1, sec^-1, bressol^-1. Les funcions trigonomètriques inverses també s'anomenen funcions d'arc.

Diferenciació de Funcions Trigonomètriques Inverses

Les derivades de sis funcions trigonomètriques inverses són les següents:

Exemple: Trobeu la derivada de f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 x

ankita lokhande edat

Solució:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3- 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Aplicacions a la Diferenciació de Funcions Trigonomètriques

Hi ha moltes aplicacions diferents de la diferenciació de les funcions trigonomètriques a la vida real. A continuació es mostren les aplicacions de la diferenciació de les funcions trigonomètriques.

• El pendent de la tangent i la recta normal a la corba trigonomètrica es poden determinar mitjançant la diferenciació de les funcions trigonomètriques.
• També es pot utilitzar per determinar els màxims i mínims de la funció.
• També s'utilitza en el camp de la informàtica i l'electrònica.

També, comproveu

• Derivada Trig inversa
• Antiderivada
• Fórmules de diferenciació

Exemples de problemes sobre la diferenciació de les funcions de disparador

Problema 1: Trobeu la derivada de f(x) = tan 2x.

Solució:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Aplicant la regla de la cadena

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (seg²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2s²2x

Problema 2: Trobeu la derivada de y = cos x / (4x ² )

Solució:

y = cos x / (4x²)

Aplicació de la regla del quocient

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Problema 3: Avalueu la derivada f(x) = cosec x + x tan x

Solució:

f(x) = cosec x + x tan x

Aplicant la fórmula i la regla del producte

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²x

Problema 4: Trobeu la derivada de la funció f(x) = 6x ⁴ cos x

Solució:

f(x) = 6x⁴cos x

Aplicant la regla del producte

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-sense x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴sense x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sense x]

Problema 5: Avalueu la derivada: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Solució:

f(x) = (x + cos x) (1 – sense x)

Aplicant la regla del producte

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sense x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sense x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sense x) (1 – sense x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sense x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sense²x – 2 sinx – x cosx – cos²x

Pràctica de problemes de diferenciació de funcions trigonomètriques

Problema 1: Trobeu la derivada de y = sin(x) + cos(x).

Problema 2: Calcula la derivada de y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problema 3: Trobeu la derivada de y = 2sin(3x).

Problema 4: Determineu la derivada de y = tan(5x).

java parseint

Problema 5: Trobeu la derivada de y = sin(x) cos(x).

Problema 6: Calcula la derivada de y = cos²(x).

Problema 7: Determineu la derivada de y = tan²(x).

Problema 8: Determineu la derivada de y = tan(x) sec(x).

Preguntes freqüents sobre la diferenciació de funcions trigonomètriques

Què és la diferenciació?

La diferenciació és una operació matemàtica que calcula la velocitat a la qual canvia una funció respecte a la seva variable independent.

Què és la funció trigonomètrica?

Les funcions trigonomètriques són funcions matemàtiques que relacionen els angles d'un triangle rectangle amb les proporcions dels seus costats.

Què són les funcions trigonomètriques comunes?

Les funcions trigonomètriques comunes inclouen sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecant (cosec), secant (sec) i cotangent (cot).

Definir la diferenciació de funcions trigonomètriques.

El mètode per diferenciar les funcions trigonomètriques s'anomena diferenciació de funcions trigonomètriques.

Com es diferencia la funció sinusoïdal, és a dir, sin (x)?

La derivada de sin (x) és cos (x). En notació matemàtica, d/dx(sin(x)) = cos(x).

Què obtenim després de la diferenciació de la funció cosinus, és a dir, cos (x)?

La derivada de cos (x) és -sin (x). En notació matemàtica, d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Com es diferencia la funció tangent, és a dir, tan (x)?

La derivada de tan(x) és sec²(x), on sec(x) és la funció secant. En notació matemàtica, d/dx(tan(x)) = sec²(x).

Quines són les fórmules per a la diferenciació de funcions trigonomètriques?

La fórmula per a la diferenciació de funcions trigonomètriques és:

• (d/dx) sense x = cos x
• (d/dx) cos x = -sense x
• (d/dx) tan x = sec²x
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) cot x = -cosec²x

Doneu un exemple de diferenciació d'una funció trigonomètrica.

Considerem una funció f(x) = 2sin(3x).

Utilitzant la regla de la cadena,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Quins mètodes s'utilitzen per derivar la diferenciació de funcions trigonomètriques?

Les diferents maneres en què es pot derivar la fórmula de la diferenciació de funcions trigonomètriques són:

• Utilitzant el primer principi de les derivades
• Mitjançant l'ús de Regla del quocient
• Utilitzant la regla de la cadena

Què és l'antidiferenciació de les funcions trigonomètriques?

L'antidiferenciació de les funcions trigonomètriques significa trobar la integració de les funcions trigonomètriques.