La derivada de la funció trigonomètrica inversa fa referència a la taxa de canvi de les funcions trigonomètriques inverses. Sabem que la derivada d'una funció és la taxa de canvi d'una funció respecte a la variable independent. Abans d'aprendre això, cal conèixer les fórmules de diferenciació de les Funcions Trigonomètriques. Per trobar la derivada de la funció trigonomètrica inversa, primer equiparem la funció trigonomètrica amb una altra variable per trobar-ne la inversa i després la diferenciarem mitjançant la fórmula de diferenciació implícita.

En aquest article, aprendrem el D derivada de Funcions Trig inverses, Fórmules de diferenciació de Funcions Trig inverses, i Resol alguns exemples basant-s'hi. Però abans d'avançar, repassem el concepte de i Funcions trigonomètriques inverses i diferenciació implícita.

• Funcions trigonomètriques inverses
• Què és la diferenciació implícita?
• Què és la derivada de les funcions trigonomètriques inverses?
• Prova de derivada de les funcions de disparador inverses
• Fórmula de la derivada del trigger invers
• Exemples de derivades de Trig inverses

Funcions trigonomètriques inverses

Funcions trigonomètriques inverses són les funcions inverses de les proporcions trigonomètriques, és a dir, sin, cos, tan, cot, sec i cosec. Aquestes funcions s'utilitzen àmpliament en camps com la física, les matemàtiques, l'enginyeria i altres camps de recerca. De la mateixa manera que la suma i la resta són les inverses entre si, el mateix passa amb la inversa de les funcions trigonomètriques.

sense θ = x

⇒ i = s en ⁻¹ x ​

Representació de Funcions Trigonomètriques Inverses

Es representen sumant arc en prefix o afegint -1 a la potència.

El sinus invers es pot escriure de dues maneres:

• sense^-1x
• arcsin x

El mateix passa amb cos i bronzejat.

Nota: No confongueu el pecat^-1x amb (sin x)^-1. Són diferents. Escriure pecat^-1x és una manera d'escriure sinus invers mentre que (sin x)^-1significa 1/sin x.

Domini de les funcions trigonomètriques inverses

Sabem que una funció només és diferenciable si és contínua en aquest punt i si una funció és contínua en un punt donat, aquest punt és el domini de la funció. Per tant, hauríem d'aprendre el domini de les funcions trigonomètriques inverses per a les mateixes.

Ara aprenem breument la tècnica de la diferenciació implícita.

Què és la diferenciació implícita?

Diferenciació implícita és un mètode que fa ús de la regla de la cadena per diferenciar funcions definides implícitament. Una funció implícita és la funció que conté dues variables en lloc d'una variable. En aquest cas, de vegades podem convertir la funció en una variable explícitament, però aquest no sempre és el cas. Ja que, generalment no és fàcil trobar la funció explícitament i després diferenciar-la. En canvi, podem diferenciar totalment f(x, y), és a dir, ambdues variables i després resoldre la resta de l'equació per trobar el valor de f'(x).

Llegeix amb detall: Càlcul en matemàtiques

Què és la derivada de les funcions trigonomètriques inverses?

La derivada trigonomètrica inversa és la derivada de les funcions trigonomètriques inverses. N'hi ha sis funcions trigonomètriques i existeix una inversa per a cadascuna d'aquestes funcions trigonomètriques. Aquests són el pecat^-1x, cos^-1x, tan^-1x, cosec^-1x, seg^-1x, bressol^-1x. Podem trobar la derivada de les funcions trigonomètriques inverses mitjançant el mètode de diferenciació implícita. Aprenem primer quines són les derivades de les funcions trigonomètriques inverses.

• Derivat del pecat^-1x és d (sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) per a tot x ϵ (-1, 1)
• Derivada de cos^-1x és d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) per a tot x ϵ (-1, 1)
• Derivat del bronzejat^-1x és d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) per a tot x ϵ R
• Derivada de cosec^-1x és d(cosec^-1x)/dx = -1/ per a tot x ϵ R – [-1, 1]
• Derivada de sec^-1x és d (seg^-1x)/dx = 1/x per a tot x ϵ R – [-1, 1]
• Derivat de bressol^-1x és d (cot^-1x)/dx = -1/(1 + x²) per a tot x ϵ R

La imatge de la derivada trigonomètrica inversa s'adjunta a continuació:

Ara hem après quines són les derivades de les sis funcions trigonomètriques inverses, ara aprendrem a trobar la derivada de les sis funcions trigonomètriques inverses.

Prova de derivada de les funcions de disparador inverses

Podem diferenciar les funcions trigonomètriques inverses utilitzant el primer principi i també utilitzant la fórmula de diferenciació implícita que també implica l'ús de la regla de la cadena. Trobar la derivada de les funcions trigonomètriques inverses utilitzant el primer principi és un procés llarg. En aquest article aprenem a diferenciar funcions trigonomètriques inverses mitjançant la diferenciació implícita. Podem trobar la derivada (dy/dx) de les funcions trigonomètriques inverses utilitzant els passos següents

Pas 1: Suposem les funcions trigonomètriques en la forma sin y = x

Pas 2: Trobeu la derivada de la funció anterior mitjançant la diferenciació implícita

Pas 3: Calcula dy/dx

Pas 4: substituïu el valor de la funció trigonomètrica present al pas 3 mitjançant identitats trigonomètriques.

Derivada de sin invers x

Suposem que sin y = x

Diferenciant ambdós costats respecte a x

⇒ cos i. di/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Com que sabem que Sin²i + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – sense²i

desinstal·leu angular cli

⇒ cosy = √(1 – sense²y) = √(1 – x²) ja que tenim sin y = x

Posant aquest valor de cos y a l'equació (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) on y = sin^-1x

Derivada del cos invers X

Suposem que cos y = x

Diferenciant ambdós costats respecte a x

⇒ -sense i. di/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Com que sabem que Sin²i + Cos²y = 1

⇒ sense²y = 1 – cos²i

⇒ sense i = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) ja que tenim cos y = x

Posant aquest valor de sin y a l'equació (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) on y = cos^-1x

Derivada de tan invers X

Suposem tan y = x

Diferenciant ambdós costats respecte a x

⇒ seg²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/seg²i →(i)

Com que sabem que sec²i – tan²y = 1

⇒ seg²y = 1 + tan²i

⇒ seg²i = (1 + tan²y) = (1 + x²) ja que tenim tan y = x

Posant aquest valor de sec²y a l'equació (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) on y = tan^-1x

Derivada de cot invers X

Suposem cot y = x

Diferenciant ambdós costats respecte a x

⇒ -cosec²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²i →(i)

Com que sabem que csec²i – cot²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + cot²i

⇒ cosec²y = (1 + cot²y) = (1 + x²) ja que tenim cot y = x

Posant aquest valor de cosec²y a l'equació (i)

scan.next java

dy/dx = -1/(1 + x²) on y = bressol^-1x

Derivada de sec inversa X

Suposem que sec y = x

Diferenciant ambdós costats respecte a x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ di/dx = 1/sec y.tan i →(i)

Com que sabem que sec²i – tan²y = 1

⇒ tan²y = sec²i – 1

⇒ tan i = √(sec²y – 1) = √(x²– 1) ja que tenim sec y = x

Posant aquest valor de tan y a l'equació (i)

dy/dx = 1/x on sec y = x i y = sec^-1x

Derivada de la cosec inversa X

Suposem cosec y = x

Diferenciant ambdós costats respecte a x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Com que sabem que cosec²i – cot²y = 1

⇒ bressol²i = cosec²i – 1

⇒ cot i = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1) ja que tenim cosec y = x

Posant aquest valor de tan y a l'equació (i)

dy/dx = -1/x on cosec y = x i y = cosec^-1x

Fórmula de la derivada del trigger invers

Ara hem après a diferenciar les Funcions Trigonomètriques Inverses, per tant mirarem ara les fórmules per a la derivada de les funcions trigonomètriques inverses que es poden utilitzar directament en els problemes. A continuació es mostra la taula de derivades de la fórmula de la funció trigonomètrica inversa.

Llegeix més,

• Derivada en forma paramètrica
• Fórmules derivades
• Aplicació de la derivada
• Derivada de la funció exponencial

Exemples de derivades de Trig inverses

Exemple 1: Diferenciar el pecat ^-1 (x)?

Solució:

Deixar, i = sense ⁻¹( x )

Prenent el sinus als dos costats de l'equació dóna,

sense i = sense(sense^-1x)

Per la propietat de la trigonometria inversa sabem, sin(sin^-1x) = x

sense y = x

Ara diferenciant els dos costats amb x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos i}.dy/dx = 1

di/dx = 1/ {cos i}

Podem simplificar-ho més utilitzant la següent observació:

sense²i + cos²y = 1

x²+ cos²y = 1 {As sense y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Substituint el valor, obtenim

di/dx = 1/{cos i}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Exemple 2: Diferenciar cos ^-1 (x)?

Solució:

Deixar,

i = cos⁻¹( x )

Prenent cosinus als dos costats de l'equació dóna,

cos i = cos(cos^-1x)

Per la propietat de la trigonometria inversa sabem, cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Ara diferenciant els dos costats amb x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sense y}.dy/dx = 1

di/dx = -1/sense i

Podem simplificar-ho més utilitzant la següent observació:

sense²i + cos²y = 1

sense²i + x²= 1 {As cos y = x}

sense²y = 1-x²

sense y = √(1 – x²)

Substituint el valor, obtenim

di/dx = -1/{sense i}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Exemple 3: Diferenciar el bronzejat ^-1 (x)?

Solució:

Deixar, i = tan⁻¹( x )

Prenent tan als dos costats de l'equació dóna,

tan i = tan(tan^-1x)

Per la propietat de la trigonometria inversa sabem tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Ara diferenciant els dos costats amb x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sec²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/s²x

Podem simplificar-ho més utilitzant la següent observació:

sec²i – tan²y = 1

sec²y – x²= 1

sec²y = 1 + x²

Substituint el valor, obtenim

dy/dx = 1/s²i

dy/dx = 1/(1 + x²)

Example 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Trobeu dy/dx en x = 1/2?

Solució:

Mètode 1 (utilitzant la diferenciació implícita)

Donat, i = cos ⁻¹(−2 x ²)

⇒ cos i = −2 x ²

comparació de cadena c#

Diferenciant ambdós costats amb x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Simplificant

sense²i + cos²y = 1

sense²i + (-2x²)²= 1 {As cos i = -2x²}

sense²y + 4x⁴= 1

sense²y = 1 – 4x⁴

sense y = √(1 – 4x⁴)

Posant el valor obtingut obtenim,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Mètode 2 (Utilitzant la regla de la cadena tal com coneixem la diferenciació del cos invers x)

Donat, i = cos ⁻¹(−2 x ²)

Diferenciant ambdós costats amb x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Exemple 5: Diferenciar egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Solucions:

Deixar,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Diferenciant ambdós costats amb x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Preguntes de derivades trig inverses

Proveu les preguntes següents sobre les qüestions derivades del trigger invers

P1: Diferenciar el pecat ^-1 (3x - 4x ³ ) per a x ϵ -1/2