Desviació estàndar és la mesura de la dispersió de les estadístiques. La fórmula de desviació estàndard s'utilitza per trobar la desviació del valor de les dades respecte al valor mitjà, és a dir, s'utilitza per trobar la dispersió de tots els valors d'un conjunt de dades al valor mitjà. Hi ha diferents fórmules de desviació estàndard per calcular la desviació estàndard d'una variable aleatòria.
En aquest article, aprendrem sobre què és la desviació estàndard, les fórmules de desviació estàndard, com calcular la desviació estàndard i exemples de desviació estàndard en detall.
Taula de contingut
- Què és la desviació estàndard?
- Fórmula de desviació estàndard
- Com calcular la desviació estàndard?
- Què és la Variància
- Fórmula de la variència
- Com calcular la variància?
- Desviació estàndard de dades no agrupades
- Desviació estàndard de dades agrupades discretes
- Desviació estàndard de dades agrupades contínues
- Desviació estàndard de la distribució de probabilitat
- Desviació estàndard de variables aleatòries
- Fórmula de desviació estàndard Excel
- Estadístiques de la fórmula de desviació estàndard
Què és la desviació estàndard?
La desviació estàndard es defineix com el grau de dispersió del punt de dades al valor mitjà del punt de dades. Ens indica com varia el valor dels punts de dades respecte al valor mitjà del punt de dades i ens informa sobre la variació del punt de dades a la mostra de les dades.
La desviació estàndard d'una mostra determinada de conjunt de dades també es defineix com l'arrel quadrada de la desacord del conjunt de dades. Desviació mitjana dels n valors (per exemple, x1, x2, x3, …, xn) es calcula prenent la suma dels quadrats de la diferència de cada valor de la mitjana, és a dir.
Desviació mitjana = 1/n∑ i n (x i – x̄) 2
La desviació mitjana s'utilitza per informar-nos de la dispersió de les dades. El grau de desviació més baix ens indica que les observacions xi són properes al valor mitjà i la depressió és baixa, mentre que el grau de desviació més alt ens indica que les observacions xi estan lluny del valor mitjà i la dispersió és alta.
canviar el nom d'una carpeta linux
Definició de desviació estàndard
La desviació estàndard és una mesura que s'utilitza en les estadístiques per entendre com es distribueixen els punts de dades d'un conjunt a partir del significar valor. Indica l'abast de la variació de les dades i mostra fins a quin punt es desvien els punts de dades individuals de la mitjana.
Comprovar: Com trobar la desviació estàndard a les estadístiques?
Fórmula de desviació estàndard
La desviació estàndard s'utilitza per mesurar la propagació de les dades estadístiques. Ens parla de com es distribueixen les dades estadístiques. Fórmula per calcular la desviació estàndard s'utilitza per trobar la desviació de tots els conjunts de dades de la seva posició mitjana. És possible que tingueu preguntes sobre com calcular la desviació estàndard o com calcular una desviació estàndard . Hi ha dues fórmules de desviació estàndard que s'utilitzen per trobar la desviació estàndard de qualsevol conjunt de dades donat. Ells són,
- Fórmula de desviació estàndard de la població
- Mostra de fórmula de desviació estàndard
on,
- s és la desviació estàndard de la població
- x i és jo th observació
- x̄ és la mitjana mostral
- N és el nombre d'observacions
on,
- σ és la desviació estàndard de la població
- xiés jothObservació
- μ és la mitjana de la població
- N és el nombre d'observacions
És evident tenir en compte que ambdues fórmules semblen iguals i només tenen canvis de diapositiva en el seu denominador. El denominador en cas de la mostra és n-1 però en el cas de la la població és N. Inicialment el denominador en el desviació estàndard de la mostra fórmula té n en el seu denominador però el resultat d'aquesta fórmula no era l'adequat. Així que es va fer una correcció i la n es substitueix per n-1 aquesta correcció s'anomena correcció de Bessel que al seu torn va donar els resultats més adequats.
Llegeix més: Diferència entre variància i desviació estàndard
Fórmula per calcular la desviació estàndard
La fórmula utilitzada per calcular la desviació estàndard es discuteix a la imatge següent,
Com calcular la desviació estàndard?
En general, quan parlem de desviació estàndard en parlem desviació estàndard de la població . Els passos per calcular la desviació estàndard d'un conjunt determinat de valors són els següents:
Pas 1: Calcula la mitjana de l'observació mitjançant la fórmula
(Mitjana = Suma d'observacions/Nombre d'observacions)
Pas 2: Calcula les diferències al quadrat dels valors de les dades a partir de la mitjana.
(Valor de les dades - Mitjana)2
Pas 3: Calcula la mitjana de les diferències al quadrat.
(Variància = Suma de diferències al quadrat / Nombre d'observacions)
Pas 4: calcula l'arrel quadrada de la variància, això dóna la desviació estàndard.
(Desviació estàndard = √Variància)
Què és la Variància
La variància bàsicament ens indica com està distribuït un conjunt de dades. Si tots els punts de dades són iguals, la variància és zero. Qualsevol variància diferent de zero es considera positiva . La baixa variància significa que els punts de dades estan a prop de la mitjana (o mitjana) i entre si. Una gran variància significa que els punts de dades es distribueixen entre la mitjana i els uns dels altres. En termes simples, la variància és la mitjana de la distància de cada punt de dades de la mitjana, al quadrat.
Diferència entre variància i desviació
| Aspecte | Desacord | Desviació (desviació estàndard) |
|---|---|---|
| Definició | Mesura de la propagació en un conjunt de dades. | Mesura de la distància mitjana a la mitjana. |
| Càlcul | Mitjana de les diferències al quadrat respecte a la mitjana. | Arrel quadrada de la variància. |
| Símbol | σ^2 (sigma al quadrat) | σ (sigma) |
| Interpretació | Indica la desviació quadrada mitjana dels punts de dades respecte a la mitjana. | Indica la distància mitjana dels punts de dades de la mitjana. |
Comprovar:
- Diferència entre variància i desviació estàndard
- Mitjana, variància i desviació estàndard
Fórmula de la variància
La fórmula per calcular la variància d'un conjunt de dades és la següent:
Variància (σ^2) = Σ [(x – μ)^2] / N
On:
- Σ denota suma (sumació)
- x representa cada punt de dades individual
- μ (mu) és la mitjana (mitjana) del conjunt de dades
- N és el nombre total de punts de dades
Com calcular la variància?
Els passos per calcular la variància d'un conjunt de dades:
Pas 1: Calcula la mitjana (mitjana):
Suma tots els valors del conjunt de dades i divideix pel nombre total de valors. Això us dóna la mitjana (μ).
Mitjana (μ) = (Suma de tots els valors) / (Nombre total de valors)
Pas 2: Trobeu les diferències al quadrat de la mitjana:
Per a cada valor del conjunt de dades, resteu la mitjana calculada al primer pas d'aquest valor i, a continuació, quadrat el resultat. Això us dóna la diferència al quadrat per a cada valor.
Diferència quadrada per a cada valor = (Valor – Mitjana)^2
Pas 3: calculeu la mitjana de les diferències al quadrat:
Sumeu totes les diferències al quadrat calculades al pas anterior i després dividiu-les pel nombre total de valors del conjunt de dades. Això us dóna la variància (σ^2).
Variància (σ^2) = (Suma de totes les diferències al quadrat) / (Nombre total de valors)
Comprovar: Variància i desviació estàndard
Desviació estàndard de dades no agrupades
Mètode de la mitjana suposada
Desviació estàndard pel mètode de la mitjana real
La desviació estàndard pel mètode de la mitjana real utilitza la fórmula bàsica de la mitjana per calcular la mitjana de les dades donades i utilitzant aquest valor mitjà descobrim la desviació estàndard dels valors de dades donats. Calculem la mitjana en aquest mètode amb la fórmula,
μ = (Suma d'observacions)/(Nombre d'observacions)
i llavors la desviació estàndard es calcula mitjançant la fórmula de la desviació estàndard.
σ = √(∑ i n (x i – x̄) 2 /n)
Exemple: Trobeu la desviació estàndard del conjunt de dades. X = {2, 3, 4, 5, 6}
Solució:
Donat,
- n = 5
- xi= {2, 3, 4, 5, 6}
Sabem,
Mitjana (μ) = (Suma d'observacions)/(Nombre d'observacions)
⇒ μ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/ 5
⇒ μ = 4
pàg2= ∑in(xi– x̄)2/n
⇒ pàg2= 1/n[(2 – 4)2+ (3 – 4)2+ (4 – 4)2+ (5 – 4)2+ (6 – 4)2]
⇒ pàg2= 10/5 = 2
Així, σ = √(2) = 1,414
Desviació estàndard pel mètode de la mitjana suposada
Per a valors molt grans de x trobar la mitjana de les dades agrupades és una tasca tediosa, de manera que vam assumir un valor arbitrari (A) com a valor mitjà i després vam calcular la desviació estàndard mitjançant el mètode normal. Suposem que per al grup de n valors de dades ( x1, x2, x3, …, xn), la mitjana suposada és A, llavors la desviació és,
d i = x i – A
Ara, La fórmula mitjana suposada és,
σ = √(∑ i n (d i ) 2 /n)
Mètode de desviació estàndard per pas
També podem calcular la desviació estàndard de les dades agrupades mitjançant el mètode de desviació de pas. Com en el mètode anterior, també en aquest mètode, també escollim un valor de dades arbitrari com a mitjana suposada (per exemple, A). A continuació, calculem les desviacions de tots els valors de les dades (x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ), d i = x i – A
En el següent pas, calculem les desviacions de pas (d’) utilitzant
d’ = d/i
on ' i ' és un factor comú de tots els valors 'd'
Llavors, La fórmula de la desviació estàndard és,
σ = √[(∑(d’) 2 /n) – (∑d’n) 2 ] × i
on ' n ' és el nombre total de valors de dades
Desviació estàndard de dades agrupades discretes
En les dades agrupades primer, vam fer una taula de freqüències i després es va fer qualsevol càlcul posterior. Per a dades agrupades discretes, la desviació estàndard també es pot calcular mitjançant tres mètodes que són:
- Mètode de la mitjana real
- Mètode de la mitjana suposada
- Mètode de desviació de pas
Fórmula de desviació estàndard basada en la distribució de freqüències discretes
Per a un conjunt de dades donat si té n valors (x1, x2, x3, …, xn) i la freqüència que els correspon és (f1, f2, f3,…, fn) llavors la seva desviació estàndard es calcula mitjançant la fórmula,
σ = √(∑ i n f i (x i – x̄) 2 /n)
on,
- n és la freqüència total (n = f1+ f2+ f3+…+ fn)
- x és la mitjana de dades
Exemple: calculeu la desviació estàndard de les dades donades
xi | fi |
|---|---|
| 10 | 1 |
| 4 | 3 |
| 6 | 5 |
| 8 | 1 |
Solució:
Mitjana (x̄) = ∑(fixi)/∑(fi)
⇒ Mitjana (μ) = (10×1 + 4×3 + 6×5 + 8×1)/(1+3+5+1)
⇒ Mitjana (μ) = 60/10 = 6
n = ∑(fi) = 1+3+5+1 = 10
| xi | fi | fixi | (xi– x̄) | (xi– x̄)2 | fi(xi– x̄)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 | 4 | 16 | 16 |
| 4 | 3 | 12 | -2 | 4 | 12 |
| 6 | 5 | 30 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 1 | 8 | 2 | 4 | 8 |
Ara,
σ = √(∑ i n f i (x i – x̄) 2 /n)
⇒ σ = √[(16 + 12 + 0 +8)/10]
⇒ σ = √(3,6) = 1,897
Derivació estàndard (σ) = 1,897
d i = x i – A
Ara la fórmula per a la desviació estàndard pel mètode de la mitjana suposada és:
σ = √[(∑(f i d i ) 2 /n) – (∑f i d i /n) 2 ]
on,
- ‘ f ' és la freqüència del valor de les dades x
- ‘ n ' és la freqüència total [n = ∑(f i )]
En el següent pas, calculem les desviacions de pas (d’) utilitzant
d’ = d/i
on ' i 'és un factor comú de tots' d 'valors
Llavors, La fórmula de la desviació estàndard és,
σ = √[(∑(fd’) 2 /n) – (�’/n) 2 ] × i
on ' n ' és el nombre total de valors de dades
Desviació estàndard de dades agrupades contínues
Per a les dades agrupades contínues, podem calcular fàcilment la desviació estàndard utilitzant les fórmules de dades discretes substituint cada classe pel seu punt mitjà (com xi) i després calculant normalment les fórmules.
El punt mitjà de cada classe es calcula mitjançant la fórmula,
x i (Punt mitjà) = (Límit superior + Límit inferior)/2
Per exemple, Calcula la desviació estàndard de les dades agrupades contínues tal com es mostra a la taula,
| Classe | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 |
|---|---|---|---|---|
Freqüència (fi) | 2 | 4 | 2 | 2 |
Mètode de la mitjana real
- Mètode de la mitjana suposada
- Mètode de desviació de pas
Podem utilitzar qualsevol dels mètodes anteriors per trobar la desviació estàndard. Aquí trobem la desviació estàndard utilitzant el mètode de la mitjana real.
La solució a la pregunta anterior és,
| Classe | 5-15 | 15-25 | 25-35 | 35-45 |
|---|---|---|---|---|
| xi | 10 | 20 | 30 | 40 |
Freqüència (fi) | 2 | 4 | 2 | 2 |
Mitjana (x̄) = ∑(fixi)/∑(fi)
⇒ Mitjana (μ) = (10×2 + 20×4 + 30×2 + 40×2)/(2+4+2+2)
⇒ Mitjana (μ) = 240/10 = 24
n = ∑(fi) = 2+4+2+2 = 10
| xi | fi | fixi | (xi– x̄) | (xi– x̄)2 | fi(xi– x̄)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 | 20 | 14 | 196 | 392 |
| 20 | 4 | 80 | -4 | 16 | 64 |
| 30 | 2 | 60 | 6 | 36 | 72 |
| 40 | 2 | 80 | 16 | 256 | 512 |
Ara,
σ = √(∑ i n f i (x i – x̄) 2 /n)
⇒ σ = √[(392 + 64 + 72 +512)/10]
⇒ σ = √(104) = 10.198
Derivació estàndard (σ) = 10.198
De la mateixa manera, també es poden utilitzar altres mètodes per trobar la desviació estàndard de les dades agrupades contínues.
Comprovar: Desviació estàndard en sèries individuals
Desviació estàndard de la distribució de probabilitat
La probabilitat de tots els resultats possibles és generalment igual i fem moltes proves per trobar la probabilitat experimental de l'experiment donat.
- Per a una distribució normal, la mitjana esperada és zero i la desviació estàndard és 1.
- Per a una distribució binomial, la desviació estàndard ve donada per la fórmula,
σ = √(npq)
on,
- n és el nombre de proves
- pàg és la probabilitat d'èxit de l'assaig
- q és la probabilitat de fracàs de l'assaig (q = 1 – p)
- Per a una distribució de Poisson, la desviació estàndard ve donada per
σ = √λt
on,
- l és el nombre mitjà d'èxits
- t és un interval de temps donat
Desviació estàndard de variables aleatòries
Variables aleatòries són els valors numèrics que denoten el possible resultat de l'experiment aleatori a l'espai mostral. El càlcul de la desviació estàndard de la variable aleatòria ens informa sobre la distribució de probabilitat de la variable aleatòria i el grau de diferència respecte al valor esperat.
Fem servir X, Y i Z com a funció per representar les variables aleatòries. La probabilitat de la variable aleatòria es denota com a P(X) i el valor esperat es denota amb el símbol μ.
Llavors es dóna la desviació estàndard de la distribució de probabilitat mitjançant la fórmula,
σ = √(∑ (x i – m) 2 × P(X)/n)
si per resum de rudyard kipling
Llegeix més,
- Significar
- Mode
- Desviació mitjana
Exemple de fórmula de desviació estàndard
Exemple 1: Trobeu la desviació estàndard de les dades següents,
xi | 5 | 12 | 15 |
|---|---|---|---|
fi | 2 | 4 | 3 |
Solució:
Primer feu la taula de la següent manera, de manera que puguem calcular els valors addicionals fàcilment.
Xi | fi | Xi×fi | Xi- m | (Xi-μ)2 | f×(Xi-m)2 |
|---|---|---|---|---|---|
5 | 2 | 10 | -6.375 | 40.64 | 81.28 |
12 | 3 | 36 | 0.625 | 0,39 | 1.17 |
15 | 3 | 45 | 3.625 | 13.14 | 39.42 |
Total | 8 | 91 |
|
| 121.87 |
Mitjana (μ) = ∑(f i x i )/∑(f i )
⇒ Mitjana (μ) = 91/8 = 11,375
σ = √(∑ i n f i (x i – m) 2 /n)
⇒ σ = √[(121,87)/(8)]
⇒ σ = √(15,234)
⇒ σ = 3,90
Derivació estàndard (σ) = 3,90
Solució:
Classe | Xi | fi | f×Xi | Xi – μ | (Xi – μ)2 pandes i numpy | f×(Xi– m)2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
0-10 | 5 | 3 | 15 | -15 | 225 | 675 |
10-20 | 15 | 6 | 90 | -5 | 25 | 150 |
20-30 | 25 | 4 | 100 | 5 | 25 algorismes d'ordenació d'inserció | 100 |
30-40 | 35 | 2 | 70 | 15 | 225 | 450 |
40-50 | 45 | 1 | 45 | 25 | 625 | 625 |
Total |
| 16 | 320 |
|
| 2000 |
Mitjana (μ) = ∑(fi xi)/∑(fi)
⇒ Mitjana (μ) = 320/16 = 20
σ = √(∑ i n f i (x i – m) 2 /n)
⇒ σ = √[(2000)/(16)]
⇒ σ = √(125)
⇒ σ = 11,18
Derivació estàndard (σ) = 11,18
Comprovar: Mètodes de càlcul de la desviació estàndard en sèries discretes
Per a una col·lecció completa de fórmules matemàtiques a través de diferents nivells de grau i conceptes, seguiu techcodeview.com.
A més, comproveu:
- Mitjana, Mitjana, Mode
- Tendència central
Fórmula de desviació estàndard Excel
- Càlcul fàcil: utilitzeu les funcions integrades d'Excel
STDEV.P>per a tota la població oSTDEV.S>per a una mostra. - Guia pas a pas: introduïu el vostre conjunt de dades en una sola columna i, a continuació, escriviu
=STDEV.S(A1:A10)>(substituïu A1:A10 pel vostre rang de dades) en una cel·la nova per obtenir la desviació estàndard d'una mostra. - Ajudes visuals: utilitzeu les eines gràfics d'Excel per representar visualment la variabilitat de les dades juntament amb la desviació estàndard.
Comprovar: Mètodes de càlcul de la desviació estàndard en sèries de distribució de freqüències
Estadístiques de la fórmula de desviació estàndard
- Concepte bàsic: la desviació estàndard mesura la quantitat de variació o dispersió d'un conjunt de valors.
- Informació clau: una desviació estàndard baixa indica que els valors tendeixen a estar a prop de la mitjana, mentre que una desviació estàndard alta indica que els valors s'estenen en un rang més ampli.
- Importància estadística: s'utilitza per determinar si les diferències entre grups es deuen a l'atzar, especialment en la prova d'hipòtesis i l'anàlisi de dades experimentals.
Conclusió - Desviació estàndard
La desviació estàndard proporciona informació valuosa sobre la variabilitat o consistència dins d'un conjunt de dades. S'utilitza àmpliament en diversos camps, incloses les estadístiques, les finances i la ciència, per entendre la distribució de dades i prendre decisions informades en funció del nivell de variabilitat present.
Preguntes freqüents sobre la desviació estàndard
Què és la desviació estàndard a les estadístiques?
La desviació estàndard defineix la volatilitat dels valors de les dades respecte al valor mitjà del conjunt de dades donat. Es defineix com l'arrel quadrada del quadrat de la mitjana de desviació.
Com calcular la desviació estàndard?
La desviació estàndard es calcula mitjançant la fórmula,
σ =
Per què s'utilitza la desviació estàndard? La desviació estàndard s'utilitza per a diversos propòsits, alguns dels seus usos importants són,
- S'utilitza per trobar la volatilitat dels valors de les dades respecte al valor mitjà.
- S'utilitza per trobar el rang de desviació de les dades.
- Prediu la màxima volatilitat en el valor donat del conjunt de dades.
Quina diferència hi ha entre la desviació estàndard i la variància?
La variància es calcula prenent la mitjana de la desviació quadrada de la mitjana, mentre que la desviació estàndard és l'arrel quadrada de la variància. L'altra diferència entre ells està en la seva unitat. La desviació estàndard s'expressa en les mateixes unitats que els valors originals mentre que la Variància s'expressa en unitats2.
Mètode de la mitjana real
Mètode de la mitjana suposada Mètode de desviació de pas La desviació estàndard pot ser negativa?
No, la desviació estàndard mai pot ser negativa, ja que podem veure a la fórmula que tots els termes que poden ser negatius estan al quadrat.
Què és la desviació estàndard? Explica amb exemples?
La desviació estàndard és la mesura de la variació o dispersió dels valors donats del conjunt de dades.
Exemple: Per trobar la mitjana d'1, 2, 3 i 4
Mitjana de dades = 13/4 = 3,25
Desviació estàndard = √[(3,25-1)2 + (3-3,25)2 + (4-3,25)2 + (5-3,25)2]/4 = √2,06 = 1,43
Què és la fórmula per a la desviació estàndard?
La fórmula de la desviació estàndard és,
Desviació estàndard (σ) = √[ Σ(x – μ) 2 / N]
Quan la desviació estàndard és 1?
La desviació estàndard amb 1 i mitjana 0 s'anomena distribució normal estàndard.
Què és la desviació estàndard dels 10 primers nombres naturals?
La desviació estàndard dels 10 primers nombres naturals és 2,87
Què és la desviació estàndard de 40, 42 i 48?
La desviació estàndard de 40, 42 i 48 és 3.399
Què et diu la desviació estàndard?
La desviació estàndard és una mesura de dispersió per a la distribució normal. La desviació estàndard ens indica la dispersió del conjunt de dades al voltant del valor mitjà del conjunt de dades.