MITJANA, VARIÀNCIA I DESVIACIÓ ESTÀNDARD: DEFINICIÓ I FÓRMULA

Mitjana, variància i desviació estàndard són mesures estadístiques vitals. La variància quantifica la desviació del punt de dades de la mitjana, mentre que la desviació estàndard mesura la distribució de dades. La distinció clau rau en que la desviació estàndard està en les mateixes unitats que la mitjana, mentre que la variància es troba en unitats quadrades. Aprofundeix en aquests conceptes amb definicions, fórmules i un exemple il·lustratiu.

Significar

Significar és la mitjana d'un conjunt de dades donat. Considerem l'exemple següent

$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$

Aquests vuit punts de dades tenen la mitjana (mitjana) de 5:

$frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.$

$Fórmula: mu=frac{sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}$

On? és la mitjana i x₁, x₂, x₃…., x_isón elements. Tingueu també en compte que la mitjana de vegades es denota per $egin{matriu}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (- 1)^2 = 1 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7-5)^2 = 2^2 = 4 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9-5)^2 = 4^2 = 16. end{matriu}$

Desacord

Desacord és la suma dels quadrats de les diferències entre tots els nombres i mitjans.
Desviació de l'exemple anterior. Primer, calculeu les desviacions de cada punt de dades respecte a la mitjana i quadrat el resultat de cadascun:

$Fórmula: sigma^{2}= frac { sum_{i=1}^{N} (x_{i}-mu)^{2}}{N}$

variància = $extup{Coeficient de variació } =frac{ extup{Desviació estàndard}}{Mitjana}*100$ = 4.

On? és la mitjana, N és el nombre total d'elements o la freqüència de distribució.

Desviació estàndar

Desviació estàndar és arrel quadrada de variància. És una mesura de fins a quin punt les dades varien de la mitjana.

Desviació estàndard (per a les dades anteriors) = = 2

Per què els matemàtics van triar una arrel quadrada i després una arrel quadrada per trobar la desviació, per què no prendre simplement la diferència de valors?
Una de les raons és que la suma de diferències es converteix en 0 segons la definició de mitjana. La suma de diferències absolutes podria ser una opció, però amb diferències absolutes, era difícil demostrar molts teoremes agradables. [Font: Videoconferència del MIT a les 1:19]

El valor de la desviació estàndard és 0 si totes les entrades d'entrada són iguals.
Si sumem (o restem) un nombre per dir 7 a tots els valors del conjunt d'entrada, la mitjana augmenta (o disminueix) en 7, però la desviació estàndard no canvia.
Si multipliquem tots els valors del conjunt d'entrada per un nombre 7, tant la mitjana com la desviació estàndard es multiplica per 7. Però si multipliquem tots els valors d'entrada amb un nombre negatiu, diguem -7, la mitjana es multiplica per -7, però el la desviació estàndard es multiplica per 7.
La desviació estàndard i la variància és una mesura que indica la distribució dels nombres. Tot i que la variància us dóna una idea aproximada de la dispersió, la desviació estàndard és més concreta i us ofereix distàncies exactes de la mitjana.
La mitjana, la mediana i la moda són la mesura de la tendència central de les dades (agrupades o no agrupades).

Comprovar:

Variància i desviació estàndard
Aplicacions a la vida real de la desviació estàndard
Diferència entre variància i desviació estàndard

Les preguntes següents s'han fet als exàmens GATE de l'any anterior Referències:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm

Mitjana, variància i desviació estàndard: preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre la desviació estàndard i la variància?

La desviació estàndard i la variància mesuren la dispersió dels punts de dades en un conjunt de dades en relació amb la mitjana. La diferència clau és que la variància mesura la mitjana de les desviacions quadrades de la mitjana, mentre que la desviació estàndard és l'arrel quadrada de la variància, proporcionant una mesura de dispersió en les mateixes unitats que les dades.

Com calculeu la mitjana, la variància i la desviació estàndard?

Mitjana: sumeu tots els nombres i divideu-los pel nombre de nombres.
Variància: calcula la mitjana, resta la mitjana de cada nombre, quadrat el resultat, suma aquests resultats al quadrat i divideix pel recompte de nombres menys un.
Desviació estàndard: pren l'arrel quadrada de la variància.

Per què són importants la mitjana, la variància i la desviació estàndard?

Aquestes mesures estadístiques són crucials per entendre la distribució de les dades. La mitjana proporciona un valor central, mentre que la variància i la desviació estàndard donen informació sobre la variabilitat o dispersió de les dades, cosa que indica la consistència o la volatilitat del conjunt de dades.

La variància i la desviació estàndard poden ser negatives?

No, la variància i la desviació estàndard no poden ser negatives. La variància es calcula com la mitjana de les diferències al quadrat de la mitjana, donant com a resultat un valor no negatiu. Com que la desviació estàndard és l'arrel quadrada de la variància, tampoc no pot ser negativa.

Com afecten els valors atípics a la mitjana, la variància i la desviació estàndard?

Els valors atípics poden afectar significativament la mitjana fent-la arribar al valor atípic i, per tant, no reflecteixen amb precisió la tendència central del conjunt de dades. La variància i la desviació estàndard també es veuen afectades, ja que augmentaran, cosa que indica una major dispersió de dades a causa dels valors atípics.