Els nombres complexos són la continuació natural dels nombres reals. A l'edat moderna, els nombres complexos s'utilitzen en molts camps com el processament de senyals digitals, la criptografia i molts camps relacionats amb l'ordinador.
En aquest article coneixerem els nombres imaginaris, els nombres complexos i el seu tipus, diverses operacions sobre nombres complexos, propietats dels nombres complexos, aplicació de nombres complexos, etc.
Definició de nombres complexos
Nombres complexos són els nombres de la forma (a + i b) on a & b són els nombres reals i i és una unitat imaginària anomenada iota que representa √-1. Per exemple, 2 + 3i, és un nombre complex en què 2 és un nombre real i 3i és un nombre imaginari. Els nombres complexos es poden escriure com a + ib on a i b són nombres racionals que es poden representar en una recta numèrica que s'estén a infinit .
javascript
Mòdul de nombre complex
El mòdul del nombre complex és el valor absolut i representa la distància entre l'origen i el punt donat. També es coneix com a magnitud del nombre complex. Considerem un nombre complex z = a + ib, llavors el mòdul de z es defineix com:
|z| = √(a 2 + b 2 )
on,
- a és la part real del nombre complex z, i
- b és la part imaginària del nombre complex z.
Argument del nombre complex
L'angle entre el vector radi d'un nombre complex i l'eix x positiu s'anomena argument d'un nombre complex. Per a un nombre complex z = a + ib, ve donat matemàticament per:
θ = tan -1 (b/a)
on,
- a és la part real del nombre complex z, i
- b és la part imaginària del nombre complex z.
Potència de i(iota)
La i(iota) es defineix com l'arrel quadrada de -1. Així, qualsevol potència de i es pot expressar com una multiplicació repetida de i per si mateixa, és a dir,
- i = √(-1)
- i2= -1
- i3= – i
- i4= 1
- i5= i
- i6= – 1
- etcètera..
Necessitat de nombres complexos
En l'antiguitat, la gent només coneixia els nombres naturals com aquests nombres són de naturalesa més intuïtiva, ja que el cervell humà ja els entén mitjançant visuals de coses com ara ovelles i aliments. Així, només tenim el conjunt de nombres naturals ( N ) però en els nombres naturals, no hi ha solució per a l'equació x + a = b (a> b) i a, b ∈ N. Així, va néixer una extensió dels nombres naturals, és a dir, enters( jo ).
Ara, de nou, en aquest conjunt de nombres, no hi ha solució a l'equació, ax = b (a ≠ 0) i a, b ∈ I, on a i b tots dos són nombres enters. Així, un conjunt de nombres enters (I) s'estén a un conjunt de nombres racionals ( Q ).
De nou, en aquest conjunt de nombres racionals, no hi ha solució per a l'equació x2= a (a> 0) i a ∈ Q. Així, Q s'estén per incloure nombres tals que, x2= a(per a a> 0), és a dir, nombres irracionals. Aquest conjunt s'anomena Nombres reals i està representat per R .
Ara, durant molt de temps es va pensar que no hem d'ampliar aquest conjunt de nombres reals per formar un altre conjunt més gran, ja que aquesta col·lecció de nombres sembla completa. Però de nou va sorgir un nou problema en aquest conjunt de nombres, és a dir, no hi ha cap nombre real tal que x2= a (a <0) i a ∈ R. Per tant, el conjunt de nombres reals s'amplia encara més per incloure tots aquests valors i anomenats aquest conjunt Nombres complexos i es representa per C .
Classificació de nombres complexos
Com sabem, la forma estàndard d'un nombre complex és z = (a + i b) on a, b ∈ R i i és iota (una unitat imaginària). Així, depenent dels valors de a (anomenada part real) i b (anomenada part imaginària), els nombres complexos es classifiquen en quatre tipus:
- Nombre complex zero
- Nombres purament reals
- Nombres purament imaginaris
- Nombres imaginaris
Coneixem aquests tipus en detall.
Nombre complex zero
Per a qualsevol nombre complex z = a + ib si a = 0 & b = 0, llavors el nombre complex s'anomena nombre complex zero. Per exemple, l'únic exemple d'això és 0.
Nombres purament reals
Per a qualsevol nombre complex z = a + ib si a ≠ 0 & b = 0, llavors el nombre complex s'anomena nombre purament real, és a dir, un nombre sense part imaginària. Tots els nombres reals són exemples d'això, de manera que 2, 3, 5, 7, etc.
Nombres purament imaginaris
Per a qualsevol nombre complex z = a + ib si a = 0 & b ≠ 0, llavors un nombre complex s'anomena nombre purament imaginari, és a dir, un nombre sense part real. Tots els nombres sense parts reals són exemples d'aquest tipus de nombre, és a dir, -7i, -5i, -i, i, 5i, 7i, etc.
Nombres imaginaris
Per a qualsevol nombre complex z = a + ib si a ≠ 0 & b ≠ 0, aleshores un nombre complex s'anomena nombre imaginari . Per exemple, (-1 – i), (1 + i), (1 – i), (2 + 3i), etc.
Diferents formes de nombres complexos
Hi ha diverses formes de nombres complexos que són,
- Forma rectangular
- Forma polar
- Forma exponencial
Ara anem a conèixer-los en detall.
Forma rectangular
Forma rectangular és també anomenat Formulari estàndard i està representat per (a + ib), on a i b són els nombres reals.
Per exemple: (5 + 5i), (-7i), (-3 – 4i), etc.
Forma polar
Forma polar és la representació d'un nombre complex on les coordenades polars [on les coordenades es representen com (r, θ), on r és la distància des de l'origen i θ és l'angle entre la línia que uneix el punt i l'origen i l'eix x positiu) s'utilitzen per representar un nombre complex. Qualsevol nombre complex es representa com r [cos θ + i sin θ].
Per exemples: [cos π/2 + i sin π/2], 5[cos π/6 + i sin π/6], etc.
Forma exponencial
Formes exponencials de nombres complexos és la representació de nombres complexos mitjançant la fórmula d'Euler i en aquesta forma el nombre complex es representa amb rei, on r és la distància d'un punt des de l'origen i θ és l'angle entre l'eix x positiu i el vector radi.
Per exemples: ei (0), Ési(π/2), 5.ei(π/6), etc.
Nota: Les tres formes dels nombres complexos comentats anteriorment són interconvertibles, és a dir, es poden convertir d'una forma a una altra molt fàcilment.
Operacions sobre nombres complexos
Les operacions següents es poden realitzar amb nombres complexos:
- Addició
- Resta
- Multiplicació
- Divisió
- Conjugació
Suma de nombres complexos
Podem sumar dos nombres complexos, simplement afegint les seves parts real i imaginària per separat.
Per exemple, (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i.
Resta de nombres complexos
Podem restar dos nombres complexos, simplement restant la seva part real i la seva part imaginària per separat.
Per exemple, (3 + 2i) – (1 + 4i) = 2 – 2i.
Multiplicació de nombres complexos
Podem multiplicar dos nombres complexos utilitzant la propietat distributiva i el fet que i2= -1.
Per exemple, (3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i2= 3 + 14i – 8 = -5 + 14i.
Divisió de nombres complexos
Podem dividir un nombre complex per un altre, simplement multiplicant tant el numerador com el denominador pel conjugat complex del denominador i simplificant encara més l'expressió.
Per exemple, (3 + 2i)/(1 + 4i) = (3 + 2i)(1 – 4i)/(1 + 4i)(1 – 4i) = (11 – 10i)/17.
Conjugació de nombres complexos
Podem trobar fàcilment el conjugat d'un nombre complex, simplement canviant el signe de la seva part imaginària. El conjugat d'un nombre complex sovint es denota amb una barra a sobre del nombre, com ara z̄.
Per exemple, el conjugat de 3 + 2i és 3 – 2i.
Identitats per a nombres complexos
Per a dos nombres complexos z1i z2es poden donar les identitats algebraiques següents:
- (Amb 1 + z 2 ) 2 = (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 + 2 z 1 × z 2
- (Amb 1 - Amb 2 ) 2 = (z 1 ) 2 + (z 2 ) 2 – 2 z 1 × z 2
- (Amb 1 ) 2 - (Amb 2 ) 2 = (z 1 + z 2 )(Amb 1 - Amb 2 )
- (Amb 1 + z 2 ) 3 = (z 1 ) 3 + 3 (z 1 ) 2 Amb 2 +3 (z 2 ) 2 Amb 1 + (z 2 ) 3
- (Amb 1 - Amb 2 ) 3 = (z 1 ) 3 – 3 (z 1 ) 2 Amb 2 +3 (z 2 ) 2 Amb 1 - (Amb 2 ) 3
Fórmules relacionades amb nombres complexos
Hi ha algunes fórmules relacionades amb nombres complexos, algunes de les quals són les següents:
Fórmula d'Euler
La fórmula d'Euler mostra la relació entre la potència imaginària de l'exponent i la raó trigonomètrica sin i cos i ve donada per:
És ix = cos x + i sense x
La fórmula de De Moivre
La fórmula de De Moivre expressa el nthpotència d'un nombre complex en forma polar i ve donada per:
(cos x + i sense x) n = cos (nx) + i sense (nx)
Pla complex
El pla en què els nombres complexos estan representats de manera única s'anomena pla complex o pla d'Argand o pla gaussià.
El pla complex té dos eixos:
convertir cadena en nombre enter
- Eix X o eix real
- Eix Y o Eix Imaginari
Eix X o eix real
- Tots els nombres complexos purament reals es representen de manera única mitjançant un punt.
- La part real Re(z) de tots els nombres complexos es dibuixa respecte a ella.
- Per això també s'anomena eix X Eix real .
Eix Y o Eix Imaginari
- Tots els nombres complexos purament imaginaris estan representats de manera única mitjançant un punt.
- La part imaginària Im(z) de tots els nombres complexos es dibuixa respecte a ella.
- És per això que també s'anomena eix Y Eix imaginari .
Representació geomètrica de nombres complexos
Com sabem que cada nombre complex (z = a + i b) està representat per un punt únic p(a, b) en el pla complex i cada punt en el pla complex representa un nombre complex únic.
Per representar qualsevol nombre complex z = (a + i b) en el pla complex seguiu aquestes convencions:
- La part real de z (Re(z) = a) es converteix en la coordenada X del punt p
- La part imaginària de z (Im(z) = b) es converteix en la coordenada Y del punt p
I finalment z (a + i b) ⇒ p (a, b) que és un punt del pla complex.
Propietats dels nombres complexos
Hi ha diverses propietats dels nombres complexos, algunes de les quals són les següents:
- Per a qualsevol nombre complex z = a + ib, si z = 0 llavors a = 0 així com b = 0.
- Per a 4 nombres reals a, b, c i d de tal manera que z1= a + ib i z2= c + id. Si z1= z2aleshores a = c i b = d.
- La suma d'un nombre complex amb el seu conjugat dóna com a resultat un nombre purament real, és a dir, z + z̄ = nombre real.
Sigui z = a + ib,
z + z̄ = a + un + a – un
⇒ z + z̄ = 2a (que és purament real)
- El producte d'un nombre complex amb els seus resultats conjugats també és un nombre purament real, és a dir, z × z̄ = nombre real
Sigui z = a + ib, doncs
z × z̄ = (a + un) × (a – un)
⇒ z × z̄= a2– i2b2
⇒ z × z̄ = a2+ b2(que és purament real)
- Els nombres complexos són commutatiu sota l'operació de la suma i la multiplicació. Considerem dos nombres complexos z1i z2, i llavors
Amb 1 +z 2 = z 2 +z 1
Amb 1 × z 2 = z 2 × z 1
- Els nombres complexos són associatiu amb l'operació de suma i multiplicació. Considerem tres nombres complexos z1, Amb2, i z3aleshores
(Amb 1 +z 2 ) +z 3 = z 1 + (z 2 +z 3 )
(Amb 1 ×z 2 )×z 3 = z 1 ×(z 2 ×z 3 )
- Els nombres complexos contenen el propietat distributiva també de la multiplicació sobre la suma. Considerem tres nombres complexos z1, Amb2, i z3aleshores
Amb 1 ×(z 2 +z 3 ) = z 1 ×z 2 + z 1 ×z 3
Llegeix més,
- Divisió de nombres complexos
- Barra Z en nombres complexos
Exemples de nombres complexos
Exemple 1: Traceu aquests nombres complexos z = 3 + 2i en el pla Complex.
Solució:
Donat:
Amb = 3 + 2 i
Per tant, el punt és z(3, 2). Ara tracem aquest punt al gràfic següent, aquí en aquest gràfic l'eix x representa la part real i l'eix y representa la part imaginària.
Exemple 2: Traceu aquests nombres complexos z 1 = (2 + 2 i), z 2 = (-2 + 3 i), z 3 = (-1 – 3 i), z 4 = (1 – i) en el pla Complex.
Solució:
Donat:
Amb1= (2 + 2 i)
Amb2= (-2 + 3 i)
Amb3= (-1 – 3 i)
Amb4= (1 – i)
Per tant, els punts són z1(2, 2), z2(-2, 3), z3(-1, -3) i z4(1, -1). Ara tracem aquests punts al gràfic següent, aquí en aquest gràfic l'eix x representa la part real i l'eix y representa la part imaginària.
Preguntes freqüents sobre nombres complexos
Definir nombres complexos.
Els nombres de la forma a+ib s'anomenen nombre complex, on a i b són el nombre real i i és la unitat imaginària que representa l'arrel quadrada de -1.
Quina diferència hi ha entre un nombre real i un nombre complex?
La diferència entre nombres reals i complexos és que només necessitem un nombre per representar qualsevol nombre real, però necessitem dos nombres reals per representar qualsevol nombre complex.
Quina és la part real i la part imaginària d'un nombre complex?
En un nombre complex a + ib, a és la part real del nombre complex, i b s'anomena part imaginària del nombre complex.
Quin és el conjugat complex d'un nombre complex?
Per a un nombre complex a + ib, a – ib s'anomena el seu conjugat complex. Els conjugats complexos es poden trobar simplement canviant el signe de la part imaginària.
Quin és el mòdul d'un nombre complex?
La distància entre l'origen i el punt representat per un nombre complex en el pla d'argand s'anomena mòdul d'aquest nombre complet i per a z = a + ib, ve donada matemàticament per:
|z| = √(a 2 + b 2 )
Quin és l'argument d'un nombre complex?
L'angle entre el vector radi d'un nombre complex i l'eix x positiu s'anomena argument d'un nombre complex i per a z = a + ib, ve donat matemàticament per:
θ = tan -1 (b/a)
Quina és la forma polar d'un nombre complex?
Per a qualsevol nombre complex, z = a + ib, la forma polar d'aquest ve donada per:
r [cos θ + i sin θ]
Quina és la fórmula d'Euler?
La fórmula d'Euler mostra la relació entre la potència imaginària de l'exponent i la raó trigonomètrica sin i cos i ve donada per:
És ix = cos x + i sense x