Funció One to One o One-One Function és una de les tipus de funcions definit sobre domini i codomini i descriu el tipus específic de relació entre domini i codomini. La funció un a un també s'anomena funció injectiva. One to One Function és una funció matemàtica on cada element al domini mapeja a un element únic del codomini .

En aquest article s'explora el concepte One to One Function o One-One Function en detall, incloent la seva definició i exemples que us ajuden a entendre el concepte amb facilitat. També parlarem d'alguns problemes de mostra i proporcionarem alguns problemes de pràctica perquè els resolgueu. Així doncs, anem a conèixer aquest concepte important en matemàtiques conegut com a Funció One to One.

Taula de contingut

• Què és la funció One-to-One?
• Exemples de funcions un a un
• Propietats de les funcions uni a una
• Funció One to One i Onto Function
• Exemples resolts en funció un a un

Què és la funció One-to-One?

Una funció un a un, també coneguda com a funció injectiva, és aquella en què diferents elements de A tenen diferents elements relacionats amb B o diferents elements d'A tenen diferents imatges a B.

Si hi ha imatges diferents per a una funció, això significa que només és possible per a un a un si les imatges prèvies eren diferents si el conjunt B té elements diferents, això significa que només és possible quan un conjunt tenia diferents elements per als quals aquests eren imatges prèvies.

10 milions

Definició de la funció un a un

Una funció 'f' d'un conjunt 'A' al conjunt 'B' és un a un si no hi ha dos elements de 'A' assignats al mateix element de 'B'.

Considerem aquests dos diagrames. Per al diagrama A ens adonem que 10 mapes a 1, 20 mapes a 2 i 30 mapes a 3.

Tanmateix, per al diagrama B, és clar que 10 i 30 corresponen a 3 i després 20 mapes a 1.

Com que tenim elements en el domini corresponents a diferents valors en cada domini per al diagrama A, fa que la funció sigui un a un, per tant el nostre diagrama B no és un a un.

Això es pot expressar matemàticament com

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Exemple de funcions un a un

• Funció d'identitat: La funció d'identitat és un exemple senzill de funció un a un. Pren una entrada i retorna el mateix valor que la sortida. Per a qualsevol nombre real x, la funció d'identitat es defineix com:

f(x) = x

Cada entrada diferent x correspon a una sortida diferent f(x), per la qual cosa és una funció un a un.

• Funció lineal: Una funció lineal és aquella on la potència més alta de la variable és 1. Per exemple:

f(x) = 2x + 3

Aquesta és una funció un a un perquè, independentment del valor de x que trieu, obtindreu un valor únic per a f(x).

• Funció de valor absolut: La funció de valor absolut f(x)=∣x∣ també és una funció d'un a un. Per a qualsevol nombre real x, la funció de valor absolut retorna un valor no negatiu i els diferents valors de x donaran com a resultat valors absoluts diferents.

Demostrem un d'aquests exemples per a la funció un a un.

Exemple: Demostreu que la funció f(x) = 1/(x+2), x≠2 és un a un.

Solució:

Segons la funció un a un, ho sabem

f(a) = f(b)

substituïu a per x i x per b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

multiplicar en creu l'equació anterior

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Ara, com que a = b es diu que la funció és una funció un a un.

Propietats Funcions un a un

Considerem que f i g són dues funcions un a una, les propietats són les següents:

• Si f i g són un a un, aleshores f ∘ g segueix la injectivitat.
• Si g ∘ f és un a un, aleshores la funció f és un a un, però la funció g pot no ser-ho.
• f: X → Y és un-un, si i només si, donades qualsevol funció g, h : P → X sempre que f ∘ g = f ∘ h, aleshores g = h. En altres paraules, les funcions un-un són exactament els monomorfismes del conjunt de categories de conjunts.
• Si f: X → Y és un-un i P és un subconjunt de X, aleshores f^-1(f(A)) = P. Així, P es pot recuperar de la seva imatge f(P).
• Si f: X → Y és un-un i P i Q són tots dos subconjunts de X, aleshores f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Si tant X com Y estan limitats amb el mateix nombre d'elements, aleshores f: X → Y és un-un, si i només si f és surjectiu o sobre funció.

Gràfic de la funció un a un

Vegem una de les representacions gràfices de la funció un a un

El gràfic anterior de la funció f(x)= √x mostra la representació gràfica de la funció un a un.

Prova de línia horitzontal

Una funció és d'un a un si cada línia horitzontal no talla la gràfica en més d'un punt.

Utilitzem una funció lineal com a exemple. Diguem-ne f(x), de manera que f(x) té una funció inversa. Per determinar si f(x) té una funció inversa, heu de demostrar que és una funció un a un, heu de demostrar que passa la prova de la línia horitzontal. Així, si dibuixem una línia horitzontal i si f(x) toca la línia horitzontal més d'una vegada, això vol dir que f(x) no és una funció uni-a-un i que no té una funció inversa.

A l'exemple anterior només talla la línia horitzontal només en un punt. Per tant, f(x) és una funció un a un, el que significa que té una funció inversa.

Inversa de la funció un a un

Sigui f una funció un a un amb un domini A i un rang B. Aleshores, la inversa de f és una funció amb un domini B i un rang A definit per f^-1(y) =x si i només si f(x)=y per a qualsevol y de B. Recordeu sempre que una funció té una inversa si i només si és d'un a un. Una funció és d'un a un si l'exponent més alt és un nombre senar. Però si el nombre més alt és un nombre parell o un valor absolut, aquesta no és una funció un a un.

Exemple: f(x)=3x+2 troba la inversa de la funció

Solució:

Escriu la funció en forma y=f(x).

⇒ y=3x+2

permet intercanviar variables y i x

⇒ x=3y+2

resoldre y en termes de x

⇒ x-2=3y

divideix l'equació per 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

Funció One to One i Onto Function

Les diferències clau entre les funcions One to One i Onto es mostren a la taula següent:

La il·lustració següent mostra la diferència clara entre una funció i una:

Llegeix més,

• Funcions
• Tipus de Funcions
• Relació i funció

Problemes resolts en funció un a un

Anem a resoldre alguns problemes per il·lustrar funcions un a un:

Problema 1: Determineu si la funció següent és un a un: f(x) = 3x – 1

Solució:

Solució 1: per comprovar si és un a un, hem de demostrar que no hi ha dos valors x diferents que s'assignen al mateix valor y.

Suposem que f(a) = f(b), on a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Com que l'única manera per a f(a) = f(b) és quan a = b, aquesta funció és efectivament un a un.

Problema 2: Determineu si la funció següent és un a un: g(x) = x ²

Solució:

Solució 2: utilitzarem la prova de la línia horitzontal dibuixant gràficament la funció. Si alguna línia horitzontal talla el gràfic més d'una vegada, no és un a un.

La gràfica de g(x) = x^2 és una paràbola que s'obre cap amunt. Qualsevol línia horitzontal només talla el gràfic una vegada, de manera que aquesta funció no és un a un.

Practica problemes amb funcions un a un

Problema 1: Determineu si la funció següent és un a un:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²– 1
• h(x) =³√x

Problema 2: Trobeu una funció que sigui un a un del conjunt de nombres reals al conjunt de nombres reals.

Problema 3: Donada la funció g(x) = x²+ 1, determineu si és un a un en tot el seu domini.

Problema 4: Considereu la funció h(x) = e^x. És una funció un a un?

Problema 5: Troba la funció inversa de f(x) = 4x – 7 i determina el seu domini.

Problema 6: Determineu si la funció p(x) = √x és un a un.

Problema 7: Donat q(x) = x/2, trobeu el domini i el rang de la funció.

Problema 8: Comproveu si la funció r(x) = sin (x) és un a un durant l'interval [0, π].

Problema 9: Considereu la funció s(x) = |x|. És una funció un a un?

Problema 10: Determineu si la funció t(x) = 1/x és un a un i troba el seu domini.

Funcions One to One - Preguntes freqüents

1. Què és una funció un a un?

Una funció un a un és una funció matemàtica que mapeja cada element del seu domini amb un element únic del seu codomini. En altres paraules, no mapeja dos elements diferents del domini amb el mateix element del codomini.

2. Com puc determinar si una funció és un a un?

Podeu utilitzar la prova de línia horitzontal. Si cap línia horitzontal talla la gràfica de la funció més d'una vegada, és una funció un a un.

3. Quina diferència hi ha entre una funció un a un i una funció on?

Una funció d'un a un assegura que no hi ha dos elements diferents del domini mapejats amb el mateix element del codomini, mentre que una funció on, també coneguda com a funció surjectiva, assegura que cada element del codomini estigui assignat almenys per un element del domini.

4. Totes les funcions lineals són una a una?

No, no totes les funcions lineals són una a una. Per exemple, f(x) = 2x és un a un, però g(x) = 2x + 1 no ho és perquè mapeja dos valors x diferents al mateix valor y (p. ex., g(1) = 3 i g(2) = 5).