Fórmules derivades en càlcul són una de les eines importants del càlcul, ja que les fórmules derivades s'utilitzen àmpliament per trobar derivades de diverses funcions amb facilitat i també ens ajuden a explorar diversos camps de les matemàtiques, l'enginyeria, etc.

Aquest article explora tots els fórmules derivades incloent de prop la fórmula derivada general, fórmules derivades per a funcions logarítmiques i exponencials, fórmules derivades per a proporcions trigonomètriques, fórmules derivades per a proporcions trigonomètriques inverses i fórmules derivades per a funcions hiperbòliques. La fórmula derivada és important per als estudiants de classe 12 per als exàmens de la Junta. També resoldrem alguns exemples de derivades utilitzant les diferents fórmules de derivades. Travessem de prop el tema de la fórmula derivada.

Taula de contingut

• Què és la derivada?
• Què són les fórmules derivades?
• Fórmules derivades bàsiques: regles derivades en càlcul
• Llista de fórmules derivades
• Algunes altres fórmules derivades
• Com trobar els derivats?
• Aplicacions de la fórmula derivada

Què és la derivada?

El derivats representen la taxa de funció respecte a qualsevol variable. La derivada d'una funció f(x) es denota com f'(x) o (d/dx) [f(x)]. El procés de trobar derivades s'anomena diferenciació.

La fórmula de derivada més fonamental és la definició d'una derivada, que es defineix com:

f'(x) = lím _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Hi ha diverses fórmules derivades que inclouen fórmules derivades generals, fórmules derivades per a funcions trigonomètriques i fórmules derivades per a funcions trigonomètriques inverses, etc.

Llegeix amb detall: Càlcul en matemàtiques

Què són les fórmules derivades?

Les fórmules derivades són aquelles expressions matemàtiques que ens ajuden a calcular la derivada d'alguna funció específica respecte a la seva variable independent. En paraules simples, les fórmules que ajuden a trobar derivades s'anomenen fórmules derivades. Hi ha diverses fórmules derivades per a diferents funcions.

Exemples de fórmula derivada

Alguns exemples de fórmules per a derivats es mostren a continuació:

• Regla de poder: Si f(x) = xⁿ, on n és una constant, llavors la derivada ve donada per:

f'(x) = nx ^n-1

• Regla constant: Si f(x) = c, on c és una constant, aleshores la derivada és zero:

f'(x) = 0

• Funcions exponencials: Si f(x) = e^x, llavors:

f'(x) = e ^x

Parlem de totes les fórmules relacionades amb la derivada d'una manera estructurada.

Fórmules derivades bàsiques: regles derivades en càlcul

Algunes de les fórmules més bàsiques per trobar derivades són:

• Regla constant
• Regla de poder
• Regla de la diferència de suma
• Regla del producte
• Regla del quocient
• Regla de la cadena

Comentem aquestes regles en detall:

Regla constant per als derivats

La regla constant per a les derivades ve donada per:

(d/dx) constant = 0

Regla de poder per a derivats

La regla de potència per a les derivades ve donada per:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Regla de la diferència de suma per als derivats

La regla de suma i diferència per a les derivades ve donada per:

bash si més

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Regla de producte per a derivats

La regla del producte per als derivats ve donada per:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Regla del quocient per als derivats

La regla del quocient per a les derivades ve donada per:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Regla de cadena per a derivats

La regla de la cadena per a la derivada ve donada per:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Llista de fórmules derivades

Les fórmules derivades per a les diferents funcions s'enumeren a continuació:

Fórmules derivades exponencials i logarítmiques

Les fórmules derivades per a les funcions exponencials i logarítmiques s'enumeren a continuació:

• (d/dx) e^x= i^x
• (d/dx) a^x= a^xln a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) registre_ax= (1/x lna)

Llegeix més,

• Logaritmes
• Derivada de funcions exponencials

Fórmules derivades trigonomètriques

Les fórmules derivades de les funcions trigonomètriques s'enumeren a continuació:

• (d/dx) sense x = cos x
• (d/dx) cos x = -sense x
• (d/dx) tan x = sec²x
• (d/dx) cot x = -cosec²x
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Aprendre mes sobre Derivada de funcions trigonomètriques .

Fórmula derivada per a funcions trigonomètriques inverses

Les fórmules derivades per a les funcions trigonomètriques inverses s'enumeren a continuació:

• (d/dx) sense^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) tan^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) bressol^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) seg^-1x = 1/[|x|√(x²– 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²– 1)]

Llegeix més, Derivada de Funcions Trig inverses .

Derivada de les funcions hiperbòliques

Les fórmules derivades de les funcions trigonomètriques s'enumeren a continuació:

string substitueix tot java

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = si mateix²x
• (d/dx) coth x = -cosech²x
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Algunes altres fórmules derivades

Hi ha algunes altres funcions com ara funcions implícites, funcions paramètriques i derivades d'ordre superior les fórmules derivades de les quals s'enumeren a continuació:

Fórmula de derivada implícita

El mètode per trobar la derivada d'una funció implícita s'anomena diferenciació implícita. Prenguem un exemple per entendre el mètode de trobar derivades implícitament.

Exemple: Trobeu la derivada de xy = 2

Solució:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

A partir de l'equació donada y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Aprendre mes sobre Diferenciació implícita .

Fórmula derivada paramètrica

Si la funció y(x) s'expressa en els termes de la tercera variable t i x i es pot representar en la x = f(t) i y = g(t) aleshores, aquest tipus de funció s'anomena funció paramètrica.

Si y és funció de x i x = f(t) i y = g(t) són dues funcions diferenciables del paràmetre t, la derivada de la funció paramètrica ve donada per:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), de manera que (dx/dt) ≠ 0

Llegeix més sobre Diferenciació paramètrica .

Fórmula derivada d'ordre superior

Trobar la derivada d'una funció durant més d'una vegada dóna la derivada d'ordre superior d'una funció.

n ^th Derivada = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Llegeix més sobre Derivada d'ordre superior .

Com trobar els derivats?

Per trobar les derivades d'una funció seguim els passos següents:

• Primer comproveu el tipus de funció ja sigui algebraica, trigonomètrica, etc.
• Després de trobar el tipus, apliqueu les fórmules derivades corresponents a la funció.
• El valor resultant dóna la derivada de la funció utilitzant la fórmula de derivades.

Aplicacions de la fórmula derivada

Hi ha moltes aplicacions de les fórmules derivades. Algunes d'aquestes aplicacions s'enumeren a continuació:

• Les derivades s'utilitzen per trobar la taxa de canvi en qualsevol quantitat.
• Es pot utilitzar per trobar màxims i mínims.
• S'utilitza en funcions creixents i decreixents.

La gent també veu:

• Fórmules de diferenciació
• Fórmula de diferenciació i integració
• Diferenciació logarítmica

Exemples resolts sobre fórmula derivada

Exemple 1: Trobeu la derivada de x ⁵ .

Solució:

Deixar i = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y’ = 5x⁴

Exemple 2: Trobeu la derivada de log ₂ x.

Solució:

Deixar i = log₂x

⇒ y’ = (d/dx) [log₂x]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Exemple 3: Trobeu la derivada de la funció f(x) = 8 . 6 ^x

Solució:

f(x) = 8 . 6^x

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^x]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^x]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Exemple 4: Trobeu la derivada de la funció f(x) = 3sinx + 2x

Solució:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

longitud de la cadena bash

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Exemple 5: Trobeu la derivada de la funció f(x) = 5cos ^-1 x + e ^x

Solució:

f(x) = 5cos^-1x + e^x

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + i^x

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + i^x

Pràctica de problemes sobre la fórmula derivada

Problema 1: Avaluar: (d/dx) [x⁴].

Problema 2: Trobeu la derivada de y = 5cos x.

Problema 3: Trobeu la derivada de y = cosec x + cot x.

Problema 4: Trobeu la derivada de f(x) = 4^x+ registre₃x + tan^-1x.

Problema 5: Avaluar: (d/dx) [40].

Problema 6: Trobeu la derivada de f(x) = x⁵+ 5x³+ 1 .

Preguntes freqüents sobre la fórmula derivada

Què és la derivada?

El valor que representa la taxa de canvi de la funció respecte a qualsevol variable s'anomena derivada.

Com es representen els derivats?

Les derivades es representen com (d/dx) o si f(x) és una funció, la derivada de f(x) es representa com f'(x).

Com es calcula la derivada d'una constant?

La derivada d'una constant és sempre zero. En notació matemàtica, si 'C' és una constant, aleshores dC/dx = 0.

Escriu la fórmula general de la derivada de xⁿ.

La fórmula general de la derivada de xⁿ= nx^n-1.

Com calcular les derivades de la funció?

Per calcular les derivades d'una funció, podem aplicar la fórmula de derivades segons la funció donada.

Quina és la fórmula per a la derivada de la funció logarítmica?

La derivada de la funció de logaritme natural, ln(x), és 1/x. En notació matemàtica, si y = ln(x), aleshores dy/dx = 1/x.

Quina fórmula s'utilitza per trobar la derivada de les funcions exponencials?

La derivada d'una funció exponencial, y = a^x(on ‘a’ és una constant), es troba mitjançant la fórmula dy/dx = a^x× ln(a).

Què són els derivats d'ordre superior?

Les derivades d'ordre superior són derivades d'una funció presa més d'una vegada. La segona derivada és la derivada de la primera, la tercera és la derivada de la segona, i així successivament.

Què és la fórmula derivada per a e^x?

La derivada de la funció f(x) = e^x(on 'e' és el nombre d'Euler, aproximadament 2,71828) és simplement f'(x) = e^x.

Escriu la fórmula derivada per a u/v.

La derivada del quocient de dues funcions u(x) i v(x) ve donada per la regla del quocient:

java dormir

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Què és la fórmula derivada per a 1/x?

La derivada de la funció f(x) = 1/x ve donada per:

f'(x) = -1/x ²