La regla del quocient és un mètode per trobar la derivada d'una funció que és el quocient d'altres dues funcions. És un mètode utilitzat per diferenciar problemes on una funció es divideix per una altra. Utilitzem la regla del quocient quan hem de trobar la derivada d'una funció de la forma: f(x)/g(x).

Coneixem la regla del quocient en càlcul, la seva fórmula i la seva derivació, amb l'ajuda d'exemples resolts.

Definició de la regla del quocient

La regla del quocient és la regla de diferenciació d'aquelles funcions que es donen en forma de fraccions , on tots dos numerador i denominador són funcions individuals. La regla del quocient és una tècnica fonamental en càlcul per trobar la derivada d'una funció que és el quocient (ració) de dos funcions diferenciables . Proporciona un mètode per diferenciar expressions on una funció es divideix per una altra.

Suposem que se'ns dóna una funció f(x) = g(x)/h(x) i després la diferenciació de f(x), f'(x) es troba com,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Fórmula de la regla del quocient

La fórmula de la regla del quocient és la fórmula utilitzada per trobar la diferenciació de la funció que s'expressa com la funció del quocient. A continuació es mostra la fórmula de la regla del quocient és:

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

On,

• u(x) és la primera funció que és una funció diferenciable,
• u'(x) és la derivada de la funció u(x),
• v(x) és la segona funció que és una funció diferenciable, i
• v'(x) és la derivada de la funció v(x).

Prova de la regla del quocient

Podem derivar la regla del quocient mitjançant els mètodes següents:

• Ús de la regla de la cadena
• Ús de la diferenciació implícita
• Ús de propietats derivades i límit

Ara anem a conèixer-los en detall.

Derivació de la regla del quocient mitjançant la regla de la cadena

Provar: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Donat: H(x) = f(x)/g(x)

Prova:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

patró de disseny java

Utilitzant la regla del producte,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Aplicant la regla del poder,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (x)

Així, es demostra la regla del quocient.

Llegeix més:

• Regla de la cadena

Derivació de la regla de quocient mitjançant la diferenciació implícita

Prenem una funció diferenciable f(x), tal que f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

utilitzant la regla del producte,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Ara resol per a f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

fer el bucle while a java

Substituint el valor de f(x) com, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (x)

Així, es demostra la regla del quocient.

Llegeix més

• Diferenciació implícita

Derivació de la regla de quocient utilitzant propietats derivades i límit

Prenem una funció diferenciable f(x) tal que f(x) = u(x)/v(x),

Ho sabem,

f'(x) = lím_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Substituint el valor de f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lím_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lím_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Distribuint el límit,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/polzada²(x)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/polzada²(x)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (x)

Quina és la regla del quocient requerit.

Llegeix més

• Propietats dels límits
• Regles de derivades

Com utilitzar la regla del quocient en la diferenciació?

Per aplicar la regla del quocient, seguim els passos següents:

Pas 1: Escriu les funcions individuals com u(x) i v(x).

Pas 2: Trobeu la derivada de la funció individual u(x) i v(x), és a dir, trobeu u'(x) i v'(x). Ara apliqueu la fórmula de la regla del quocient,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Pas 3: Simplifica l'equació anterior i dóna la diferenciació de f(x).

Podem entendre aquest concepte amb l'ajuda d'un exemple.

Exemple: Trobeu f'(x) si f(x) = 2x ³ /(x+2)

Donat,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Comparant amb f(x) = u(x)/v(x), obtenim

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Ara diferenciant u(x) i v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Utilitzant la regla del quocient,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​​)/(x + 1)²

Regla del producte i del quocient

La regla de diferenciació del producte s'utilitza per trobar la diferenciació d'una funció quan la funció es dóna com a producte de dues funcions.

Regla de diferenciació del producte afirma que , si P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Mentre que el regla del quocient de diferenciació s'utilitza per diferenciar una funció que es representa com una divisió de dues funcions, és a dir, f(x) = p(x)/q(x).

Aleshores, la derivació de f(x) utilitzant el regla del quocient es calcula com,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (x)

Cal llegir

• Regla del producte en càlcul
• Regla de la cadena
• Fórmula de diferenciació i integració
• Diferenciació logarítmica
• Fonaments de càlcul
• Aplicació de derivats

Exemples de regles de quocient

Anem a resoldre algunes preguntes de mostra sobre la regla del quocient.

java és nul

Exemple 1: Diferenciar old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Solució:

Tant les funcions de numerador com de denominador són diferenciables.

Aplicant la regla del quocient,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Exemple 2: Diferenciar, f(x) = tan x.

Solució:

tan x s'escriu com a sinx/cosx, és a dir.

tan x = (sense x) / (cos x)

Tant les funcions de numerador com de denominador són diferenciables.

Aplicant la regla del quocient,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

clau del període

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Exemple 3: Diferenciar, f(x)= e ^x /x ²

Solució:

Tant les funcions de numerador com de denominador són diferenciables.

Aplicant la regla del quocient,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Exemple 4: diferenciar, y=frac{cosx}{x^2}

Solució:

Tant les funcions de numerador com de denominador són diferenciables.

Aplicant la regla del quocient,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Exemple 5: Diferenciar, f(p) = p+5/p+7

ciutats a Austràlia

Solució:

Tant les funcions de numerador com de denominador són diferenciables.

Aplicant la regla del quocient,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Problemes de pràctica

Aquí teniu uns quants problemes de pràctica sobre la regla del quocient perquè els resolgueu.

P1. Trobeu la derivada de f(x) = (x ² + 3)/(sense x)

P2. Trobeu la derivada de f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Trobeu la derivada de f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Trobeu la derivada de f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Regla del quocient de la derivada - Preguntes freqüents

Què és la regla de diferenciació del quocient?

La regla de diferenciació del quocient és la regla que s'utilitza per trobar la diferenciació de la funció que es dóna en forma de quocient, és a dir, una funció donada com a divisió de dues funcions.

Què és la fórmula de la regla de quocient?

La fórmula de la regla del quocient és,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Aquesta fórmula dóna la diferenciació de la funció que es representa com f(x)/g(x).

Com derivar la fórmula de la regla del quocient?

La regla del quocient es pot derivar mitjançant tres mètodes,

• Per propietats derivades i límit
• Per diferenciació implícita
• Per regla de cadena

Com utilitzar la regla del quocient?

La regla del quocient s'utilitza per trobar la diferenciació de la funció expressada com la divisió de dues funcions que inclou totes les funcions de la forma f(x) i g(x) de manera que existeixi la diferenciació individual de f(x) i g(x). i g(x) mai pot ser zero.

Com es troba la derivada d'una funció de divisió?

La derivada de la funció de divisió es troba fàcilment utilitzant la fórmula de la regla del quocient, és a dir, si hem de trobar la diferenciació de H(x) de manera que H(x) s'expressa com H(x) = f(x)/g(x) aleshores la seva derivada s'expressa com,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Quina és la regla del límit del quocient?

La regla del quocient per als límits estableix que el límit d'una funció de quocient és igual al quocient del límit de cada funció.