El cercle unitari és un cercle el radi del qual és 1. El centre del cercle unitari es troba a l'origen (0,0) de l'eix. El circumferència del cercle unitari és de 2 π unitats, mentre que l'àrea del cercle unitari és π unitats². Porta totes les propietats de Circle. El cercle unitat té l'equació x²+ i²= 1. Aquest cercle unitat ajuda a definir diversos conceptes trigonomètrics.

Cercle de la unitat

El cercle unitari es denota sovint com S¹la generalització a dimensions superiors és l'esfera unitat. A continuació, entenem més detalladament els exemples de cercle d'unitats, fórmula i solucions.

Què és Unit Circle?

Unitat El cercle és un cercle que té un radi d'una (1) unitat. Utilitzem el pla cartesià per dibuixar un cercle unitari i un cercle unitari és un polinomi de 2 graus amb dues variables. El cercle unitari té diverses aplicacions en trigonometria i àlgebra i s'utilitza principalment per trobar els valors de diferents proporcions trigonomètriques com sin x, cos x, tan x i altres.

Definició del cercle de la unitat

En matemàtiques, definim una circumferència unitat com el lloc geogràfic d'un punt fix que es troba a una distància d'una unitat del centre de la circumferència. Un cercle unitari té un radi d'una unitat i, per tant, el nom de cercle unitari.

Equació del cercle unitari

Sabem que l'equació de qualsevol cercle amb centre (h, k) i radi 'r' és,

(x – h) ² + (i – k) ² = r ²

Per a un cercle unitari sabem que r és 1 unitat i, per tant, l'equació del cercle unitari és,

(x – h) ² + (i – k) ² = 1

Fórmula de la unitat del cercle

Si el centre del cercle unitari és l'origen, és a dir, (h, k) = (0, 0), aleshores l'equació del cercle unitari és,

x ² + i ² = 1

A la imatge afegida a continuació es representa un cercle unitari, amb la coordenada central h, k i quan el cercle és a l'origen el valor de h i k és zero i el radi AP és igual a 1 unitat.

Funcions trigonomètriques utilitzant el cercle unitari

L'aplicació del teorema de Pitàgores en un cercle unitari es pot utilitzar millor per entendre les funcions trigonomètriques. Per a això, considerem que un triangle rectangle està situat dins d'una circumferència unitat en el pla de coordenades cartesianes. Si observem, el radi d'aquesta circumferència denota la hipotenusa del triangle rectangle.

El radi del cercle forma un vector. Això condueix a la formació d'un angle, per exemple θ amb l'eix x positiu. Suposem que x és la longitud de la base i y és la longitud d'altitud del triangle rectangle respectivament. A més, les coordenades dels extrems del vector radi són (x, y) respectivament.

El triangle rectangle té els costats 1, x i y respectivament. La relació trigonomètrica es pot calcular ara de la següent manera:

sense θ = Altitude/Hypotenuse = i/1

cos θ = Base/Hipotenusa = x/1

Ara,

• sense θ = y
• cos θ = x
• tan θ = sense θ /cos θ = y/x

En substituir els valors de θ, podem obtenir els valors principals de totes les funcions trigonomètriques. Es troben valors similars de funcions trigonomètriques a diferents valors.

Cercle unitari amb Sin Cos i Tan

Qualsevol punt de la circumferència unitat amb les coordenades (x, y), es representa mitjançant identitats trigonomètriques com, (cosθ, sinθ). Les coordenades de les cantonades del radi representen el cosinus i el sinus dels valors θ per a un valor particular de θ i la línia del radi. Tenim cos θ = x, i sin θ = y. Hi ha quatre parts d'un cercle cadascuna en un quadrant, formant un angle de 90°, 180°, 270° i 360°. Els valors del radi es troben entre -1 i 1 respectivament. A més, els valors sin θ i cos θ es troben entre 1 i -1 respectivament.

Unitat Cercle i Identitats trigonomètriques

Les identitats trigonomètriques del cercle unitari per a cotangent, secant i cosecant es poden calcular utilitzant les identitats per a sin, cos i tan. En conclusió, obtenim un triangle rectangle amb els costats 1, x i y respectivament. El càlcul de les identitats del cercle unitari es pot expressar com,

• sense θ = i/1
• cos θ = x/1
• tan θ = y/x
• sec θ = 1/x
• cosec θ = 1/y
• cot θ = x/y

Quadre de cercle de la unitat

El gràfic de cercles unitaris és un gràfic que conté el valor de la funció trigonomètrica sinus i cosinus per a diversos angles. El gràfic de cercles unitaris per a la mateixa s'afegeix a continuació,

Taula Circular Unitat

Les proporcions trigonomètriques utilitzades a la taula de cercles unitaris s'utilitzen per enumerar les coordenades dels punts del cercle unitari que corresponen a angles comuns.

Unitat Cercle Identitats pitagòriques

Hi ha tres identitats pitagòriques i totes es demostren fàcilment mitjançant el concepte de cercle unitari que són les tres identitats pitagòriques,

• sense²θ + cos²θ = 1
• 1 + tan²θ = seg²i
• 1 + bressol²θ = cosec²i

Unitat Cercle Pla complex

Nombres complexos i Pla complex s'expliquen fàcilment mitjançant el concepte de cercle unitari. L'equació del cercle unitari en forma complexa és,

|z| = 1

O

x ² + i ² = 1

En la forma d'Euler el nombre complex es representa com,

z = e ^això = cos t + i (sin t)

Llegeix més

• Taula trigonomètrica
• Identitats trigonomètriques
• Identitats trigonomètriques inverses

Exemples resolts al cercle de la unitat

Q1: Demostreu que el punt Q es troba en una circumferència unitat, Q = [1/√(6), √4/√6]

Solució:

Donat,

• Q = [1/√(6), √4/√6]

x = 1/√(6), y = √4/√6

L'equació del cercle unitari és,

Rohit Shetty actor

x²+ i²= 1

LHS = (1/√(6))²+ (√4/√6)²

LHS = 1/6 + 4/6 = 5/6 ≠ 1

LHS ≠ RHS

Així, el punt Q[1/√(6), √4/√6] no es troba en el cercle unitari.

Q2: Compute tan 30 ^O utilitzant els valors sin i cos del cercle unitari.

Solució:

tan 30° utilitzant els valors sin i cos,

tan 30° = (sense 30°)/ (cos 30°)

• sense 30° = 1/2
• cos 30° = √(3)/2

tan 30° = 1/2/√(3)/2

tan 30° = 1/√(3)

P3: Valideu si el punt P [1/2, √(3)/2] es troba a la circumferència unitat.

Solució:

Donat,

P = [1/2, √(3)/2]

• x = 1/2
• y = √(3)/2

L'equació del cercle unitari és,

• x²+ i²= 1

LHS

= (1/2)²+ (√(3)/2)²

= 1/4 + 3/4

= (1 + 3)/4 = 4/4

= 1

= RHS

Preguntes pràctiques sobre el cercle de la unitat

Q1. Comproveu si els punts A (1/2, 3/2) es troben en un cercle unitari.

P2. Comproveu si els punts A (2, 1/2) es troben en una circumferència unitat.

P3. Trobeu el valor de cos 240°

P4. Troba el valor de tan 320°

P5. Troba el valor de sin 160°

Cercle de la unitat - Preguntes freqüents

Què és Unit Circle?

Un cercle unitari es defineix com la ubicació d'un punt a una unitat de distància d'un punt fix. Té un centre a (0,0) i el valor del seu radi és 1.

Com comprovar si un punt es troba al cercle de la unitat?

Qualsevol punt situat en un pla 2D que tingui la forma (x, y) es posa a l'equació de circumferència unitat x²+ i²= 1 per verificar si es troba al cercle o no.

Quina és la fórmula del cercle unitari?

La fórmula del cercle unitari és una fórmula que s'utilitza per representar algebraicament un cercle unitari. La fórmula del cercle unitari es dóna com,

x ² + i ² = 1

Per què s'anomena cercle unitari?

Un cercle unitari s'anomena cercle unitari perquè té un radi d'una (1) unitat.