Identitats trigonomètriques inverses: En matemàtiques, les funcions trigonomètriques inverses també es coneixen com a funcions d'arcus o funcions antitrigonomètriques. Les funcions trigonomètriques inverses són les funcions inverses de les funcions trigonomètriques bàsiques, és a dir, sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant i cotangent. S'utilitza per trobar els angles amb qualsevol raó trigonomètrica. Les funcions trigonomètriques inverses s'utilitzen generalment en camps com la geometria, l'enginyeria, etc. La representació de les funcions trigonomètriques inverses són:

Si a = f(b), aleshores la funció inversa és

b = f^-1(a)

canyella vs mate

Exemples de funcions trigonomètriques inverses inverses són sin^-1x, cos^-1x, tan^-1x, etc.

Taula de contingut

• Domini i rang d'identitats trigonomètriques inverses
• Propietats de les funcions trigonomètriques inverses
• Identitats de la funció trigonomètrica inversa
• Exemples de problemes sobre identitats trigonomètriques inverses
• Pràctica de problemes sobre identitats trigonomètriques inverses

Domini i rang d'identitats trigonomètriques inverses

La taula següent mostra algunes funcions trigonomètriques amb el seu domini i rang.

Propietats de les funcions trigonomètriques inverses

Les propietats de les funcions trigonomètriques inverses són les següents:

Propietat 1:

1. sense^-1(1/x) = cosec^-1x, per a x ≥ 1 o x ≤ -1
2. cos^-1(1/x) = seg^-1x, per a x ≥ 1 o x ≤ -1
3. tan^-1(1/x) = bressol^-1x, per a x> 0

Propietat 2:

1. sense^-1(-x) = -sense^-1x, per a x ∈ [-1 , 1]
2. tan^-1(-x) = -tan^-1x, per a x ∈ R
3. cosec^-1(-x) = -cosec^-1x, per |x| ≥ 1

Propietat 3

1. cos^-1(-x) = π – cos^-1x, per a x ∈ [-1 , 1]
2. sec^-1(-x) = π – sec^-1x, per |x| ≥ 1
3. bressol^-1(-x) = π – bressol^-1x, per a x ∈ R

Propietat 4

1. sense^-1x + cos^-1x = π/2, per a x ∈ [-1,1]
2. tan^-1x + bressol^-1x = π/2, per a x ∈ R
3. cosec^-1x + seg^-1x = π/2 , per a |x| ≥ 1

Propietat 5

1. tan^-1x + tan^-1i = tan^-1( x + y )/(1 – xy), per a xy <1
2. tan^-1x – tan^-1i = tan^-1(x – y)/(1 + xy), per a xy> -1
3. tan^-1x + tan^-1y = π + tan^-1(x + y)/(1 – xy), per a xy>1; x, y>0

Propietat 6

1. 2 tan^-1x = sense^-1(2x)/(1 + x²), per |x| ≤ 1
2. 2tan^-1x = cos^-1(1-x²)/(1 + x²), per a x ≥ 0
3. 2tan^-1x = tan^-1(2x)/(1 – x²), per a -1

Identitats de la funció trigonomètrica inversa

A continuació es mostren les identitats de les funcions trigonomètriques inverses:

1. sense^-1(sin x) = x sempre que -π/2 ≤ x ≤ π/2
2. cos^-1(cos x) = x sempre que 0 ≤ x ≤ π
3. tan^-1(tan x) = x sempre que -π/2
4. sense (sense^-1x) = x sempre que -1 ≤ x ≤ 1
5. cos(cos^-1x) = x sempre que -1 ≤ x ≤ 1
6. tan (tan^-1x) = x sempre que x ∈ R
7. cosec(cosec^-1x) = x sempre que -1 ≤ x ≤ ∞ o -∞
8. seg (seg^-1x) = x sempre que 1 ≤ x ≤ ∞ o -∞
9. bressol (bressol^-1x) = x sempre que -∞
10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
13. 2cos^-1x = cos^-1(2x²– 1)
14. 2sin^-1x = sense^-12x√(1 – x²)
15. 3sin^-1x = sense^-1(3x - 4x³)
16. 3cos^-1x = cos^-1(4x³– 3x)
17. 3tan^-1x = tan^-1((3x – x³/1 – 3x²))
18. sense^-1x + sense^-1y = sense^-1{ x√(1 – y²) + y√(1 – x²)}
19. sense^-1x – sense^-1y = sense^-1{ x√(1 – y²) – y√(1 – x²)}
20. cos^-1x + cos^-1i = cos^-1[xy – √{(1 – x²)(1 – i²)}]
21. cos^-1x – cos^-1i = cos^-1[xy + √{(1 – x²)(1 – i²)}
22. tan^-1x + tan^-1i = tan^-1(x + y/1 – xy)
23. tan^-1x – tan^-1i = tan^-1(x – y/1 + xy)
24. tan^-1x + tan^-1i +tan^-1z = tan^-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

La gent també veu:

• Trigonometria en matemàtiques | Taula, Fórmules, Identitats
• Llista de totes les identitats trigonomètriques
• Funcions trigonomètriques inverses
• Gràfics de Funcions Trigonomètriques Inverses

Exemples de problemes sobre identitats trigonomètriques inverses

Question 1: Proveu sense ^-1 x = seg ^-1 1/√(1-x ² )

Solució:

Deixar-ho sense^-1x = y

⇒ sense y = x , (since sense y = perpendicular/hypotenuse ⇒ cos y = √(1- perpendicular)²)/hipotenusa)

⇒ cos y = √(1 – x²), aquí hipotenusa = 1

⇒ sec y = 1/cos i

⇒ sec y = 1/√(1 – x²)

⇒ i = sec^-11/√(1 – x²)

⇒ sense^-1x = seg^-11/√(1 – x²)

Per tant, demostrat.

Question 2: Proveu tan ^-1 x = cosec ^-1 √(1 + x ² )/x

Solució:

Deixeu-ho tan^-1x = y

⇒ tan y = x , perpendicular = x and base = 1

⇒ sense y = x/√(x²+ 1) , (ja que la hipotenusa = √(perpendicular²+ base²) )

⇒ cosec i = 1/sense i

⇒ cosec y = √(x²+ 1)/x

⇒ i = cosec^-1√(x²+ 1)/x

⇒ tan^-1x = cosec^-1√(x²+ 1)/x

Per tant, demostrat.

Question 3: Avaluate tan(cos ^-1 x)

Solució:

Deixem cos^-1x = y

⇒ cos y = x , base = x i hipotenusa = 1 per tant sin y = √(1 – x²)/1

⇒ tan y = sense i/ cos i

⇒ tan y = √(1 – x²)/x

⇒ i = tan^-1√(1 – x²)/x

⇒ cos^-1x = tan^-1√(1 – x²)/x

Per tant, tan(cos^-1x) = tan(tan^-1√(1 – x²)/x ) = √(1 – x²)/x.

Question 4: tan ^-1 √(sense x) + cot ^-1 √(sense x) = y. Find cos i.

Solució:

Coneixem aquest bronzejat^-1x + bressol^-1x = /2, per tant, comparant aquesta identitat amb l'equació donada a la pregunta, obtenim y = π/2

Thus, cos i = cos π/2 = 0.

Question 5: tan ^-1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan ^-1 x, x> 0. Resol per a x.

Solució:

tan^-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan^-1x

⇒ 2tan^-1(1 – x)/(1 + x) = tan^-1x…(1)

Ho sabem, 2tan^-1x = tan^-12x/(1 – x²).

Per tant, LHS de l'equació (1) es pot escriure com

tan^-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]²}]

= tan^-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)²– (1 – x)²}]

= tan^-1[ 2(1 – x²)/(4x)]

= tan^-1(1-x²)/(2x)

Ja que, LHS = RHS per tant

tan^-1(1-x²)/(2x) = tan^-1x

⇒ (1 – x²)/2x = x

⇒ 1 – x²= 2x²

⇒ 3x²= 1

⇒ x = ± 1/√3

Com que x ha de ser més gran que 0, x = 1/√3 és la resposta acceptable.

Question 6: Proveu tan ^-1 √x = (1/2)cos ^-1 (1 – x)/(1 + x)

Solució:

Deixeu-ho tan^-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ tan²y = x

Per tant,

RHS = (1/2)cos^-1( 1- tan²i)/(1 + tan²i)

= (1/2)cos^-1(cos²i – sense²i)/(cos²i + sense²i)

= (1/2)cos^-1(cos²i – sense²i)

= (1/2)cos^-1(cos 2 anys)

= (1/2)(2 anys)

= i

= tan^-1√x

= LHS

Per tant, demostrat.

Question 7: tan ^-1 (2x)/(1 – x ² ) + bressol ^-1 (1-x ² )/(2x) = π/2, -1