Identitats trigonomètriques són diverses identitats que s'utilitzen per simplificar diverses equacions complexes que impliquen funcions trigonomètriques. La trigonometria és una branca de les matemàtiques que s'ocupa de la relació entre els costats i els angles d'un triangle. Aquestes relacions es defineixen en forma de sis raons que s'anomenen proporcions trigonomètriques – sense, cos, tan, cot, sec, and cosec.

De manera ampliada, l'estudi també és dels angles que formen els elements d'un triangle. Lògicament, una discussió de les propietats d'un triangle; la resolució d'un triangle i problemes físics en l'àrea d'altures i distàncies utilitzant les propietats d'un triangle, formen part de l'estudi. També proporciona un mètode de solució d'equacions trigonomètriques.

Taula de contingut

• Què són les identitats trigonomètriques?
• Llista d'identitats trigonomètriques
• Identitats trigonomètriques recíproques
• Identitats trigonomètriques pitagòriques
• Identitats de raó trigonomètrica
• Identitats trigonomètriques d'angles oposats
• Identitats d'angles complementaris
• Identitats d'angles suplementaris
• Periodicitat de la funció trigonomètrica
• Identitats de suma i diferència
• Identitats de doble angle
• Fórmules de mig angle
• Algunes identitats de mig angle més
• Identitats Producte-Suma
• Identitats de productes
• Fórmules de triple angle
• Prova de les identitats trigonomètriques
• Relació entre angles i costats del triangle
• Preguntes freqüents sobre identitats trigonomètriques

Què són les identitats trigonomètriques?

Una equació que inclou proporcions trigonomètriques d'un angle s'anomena identitat trigonomètrica si és certa per a tots els valors de l'angle. Són útils sempre que les funcions trigonomètriques estan implicades en una expressió o una equació. Les sis raons trigonomètriques bàsiques són sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant i cotangent . Totes aquestes proporcions trigonomètriques es defineixen utilitzant els costats del triangle rectangle, com ara un costat adjacent, un costat oposat i un costat de la hipotenusa.

Identitats trigonomètriques

Llista d'identitats trigonomètriques

Hi ha moltes identitats en l'estudi de la trigonometria, que inclou totes les proporcions trigonomètriques. Aquestes identitats s'utilitzen per resoldre diversos problemes al llarg del panorama acadèmic i de la vida real. Aprenguem totes les identitats trigonomètriques fonamentals i avançades.

Identitats trigonomètriques recíproques

En totes les proporcions trigonomètriques, hi ha una relació recíproca entre un parell de proporcions, que es dóna de la següent manera:

• sin θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/s θ
• sec θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/cot θ
• cot θ = 1/tan θ

Identitats trigonomètriques pitagòriques

Les identitats trigonomètriques pitagòriques es basen en el teorema del triangle rectangle o Teorema de Pitàgores , i són els següents:

• sense²θ + cos²θ = 1
• 1 + tan²θ = seg²i
• cosec²θ = 1 + bressol²i

Llegeix més sobre Identitats trigonomètriques pitagòriques .

Identitats de raó trigonomètrica

As tan i cot es defineixen com la proporció de sin i cos, que ve donada per les identitats següents:

• tan θ = sin θ/cos θ
• cot θ = cos θ/sin θ

Identitats trigonomètriques d'angles oposats

En trigonometria, l'angle mesurat en el sentit de les agulles del rellotge es mesura en paritat negativa i totes les proporcions trigonomètriques definides per a la paritat negativa d'angle es defineixen de la següent manera:

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-θ) = -tan θ
• bressol (-θ) = -cot θ
• sec (-θ) = sec θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Identitats d'angles complementaris

Angles complementaris són el parell d'angles la mesura dels quals sumen 90°. Ara, les identitats trigonomètriques dels angles complementaris són les següents:

• sin (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• tan (90° – θ) = cot θ
• bressol (90° – θ) = tan θ
• sec (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sec θ

Identitats d'angles suplementaris

Els angles suplementaris són el parell d'angles la mesura dels quals sumen 180°. Ara, les identitats trigonomètriques per a angles suplementaris són:

• sin (180°- θ) = sinθ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• s (180°- θ)= -seg θ
• tan (180°- θ) = -tan θ
• bressol (180°- θ) = -cot θ

Periodicitat de la funció trigonomètrica

Funcions trigonomètriques com sin, cos, tan, cot, sec i cosec són de naturalesa periòdica i tenen una periodicitat diferent. Les identitats següents per a la raó trigonomètrica expliquen la seva periodicitat.

• sin (n × 360° + θ) = sin θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sec (n × 360° + θ) = sec θ
• sec (2nπ + θ) = sec θ
  
• bressol (n × 180° + θ) = bressol θ
• bressol (nπ + θ) = bressol θ

On, n ∈ AMB, (Z = conjunt de tots els nombres enters)

Nota: sin, cos, cosec i sec tenen un període de 360° o 2π radians, i per tan i el període cot és de 180° o π radians.

Identitats de suma i diferència

Identitats trigonomètriques per a Suma i Diferència d'angle inclouen fórmules com sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B), etc.

• sense (A+B) = sense A cos B + cos A sense B
• sense (A-B) = sense A cos B – cos A sense B
• cos (A+B) = cos A cos B – sense A sense B
• cos (A-B) = cos A cos B + sense A sense B
• tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
• tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Nota: Les identitats per a sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) i cos (A-B) s'anomenen Identitats de Ptolemeu .

Identitats de doble angle

Utilitzant les identitats trigonomètriques de la suma d'angles, podem trobar una nova identitat que s'anomena Identitat d'angle doble. Per trobar aquestes identitats podem posar A = B en la suma d'identitats d'angle. Per exemple,

a sabem, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Substituïu aquí A = B = θ als dos costats i obtenim:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• sin 2θ = 2 sinθ cosθ

De la mateixa manera,

• cos 2θ = cos ² θ – sin ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – sin ² i
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² i)

Llegeix més sobre Identitats de doble angle .

Fórmules de mig angle

Utilitzant fórmules de doble angle, es poden calcular fórmules de mig angle. Per calcular fórmules de mig angle, substituïu θ per θ/2, llavors,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Llegeix més sobre Identitats de mig angle .

Algunes identitats de mig angle més

A part de les identitats esmentades anteriorment, hi ha algunes identitats més de mig angle que són les següents:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Identitats Producte-Suma

Les identitats següents indiquen la relació entre la suma de dues raons trigonomètriques amb el producte de dues raons trigonomètriques.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Identitats de productes

Les identitats de producte es formen quan sumem dues de la suma i la diferència d'identitats d'angles i són les següents:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Fórmules de triple angle

A part de les fórmules d'angle doble i mig, hi ha identitats per a les proporcions trigonomètriques que es defineixen per a l'angle triple. Aquestes identitats són les següents:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Llegeix més sobre Identitats de triple angle .

Prova de les identitats trigonomètriques

Per a qualsevol angle agut θ, demostreu que

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ . cotθ = 1
4. sense ² θ + cos ² θ = 1
5. 1 + tan ² θ = seg ² i
6. 1 + bressol ² θ = cosec ² i

Prova:

Considereu un △ABC en angle recte en el qual ∠B = 90°

Sigui AB = x unitats, BC = y unitats i AC = r unitats.

Llavors,

(1) tanθ = P/B = y/x = (i/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . cotθ = 1

Aleshores, segons el teorema de Pitàgores, tenim

x²+ i²= r².

Ara,

(4) sense²θ + cos²θ = (y/r)²+ (x/r)²= ( i²/r²+ x²/r²)

= (x²+ i²)/r²= r²/r²= 1 [x²+ i²= r²]

sense ² θ + cos ² θ = 1

(5) 1 + tan²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/x²= (i²+ x²)/x²= r²/x²[x²+ i²= r²]

(r/x)²= seg²i

∴ 1 + tan ² θ = seg ² i.

(6) 1 + bressol²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/i²= (x²+ i²)/i²= r²/i²[x²+ i²= r²]

(r²/i²) = cosec²i

∴ 1 + bressol ² θ = cosec ² i

Relació entre angles i costats del triangle

Tres regles que relacionaven els costats dels triangles amb els angles interiors dels triangles són:

• La seva Regla
• Regla del cosinus
• Regla de la tangent

Si un triangle ABC amb els costats a, b i c que són costats oposats a ∠A, ∠B i ∠C respectivament, aleshores

La seva Regla

Les seves regles estableix la relació entre els costats i els angles del triangle, que és la relació entre el costat i el sinus de l'angle oposat al costat, sempre roman igual per a tots els angles i costats del triangle i es dóna de la següent manera:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Regla del cosinus

Regla del cosinus implica tots els costats, i un angle interior del triangle es dóna de la següent manera:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

O

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

O

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Regla de la tangent

• La regla tangent també estableix la relació entre els costats i l'angle interior d'un triangle, utilitzant la relació trigonomètrica tan, que és la següent:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

També, Llegir

• Trigonometria Altura i Distància
• Taula trigonomètrica

Exemple resolt sobre identitats trigonomètriques

Exemple 1: Demostreu que (1 – sin ² θ) seg ² θ = 1

Solució:

Tenim:

LHS = (1 – sin²θ) seg²i

= cos²θ. sec²i

= cos²θ. (1/cos²i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Per tant provat]

Exemple 2: Demostreu que (1 + tan ² θ) cos ² θ = 1

Solució:

Tenim:

LHS = (1 + tan²θ)cos²i

⇒ LHS = seg²θ. cos²i

⇒ LHS = (1/cos²θ). cos²i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Per tant provat]

Exemple 3: Demostreu que (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Solució:

Tenim:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = (1 + bressol²θ – 1) tan²i

⇒ LHS = bressol²θ. tan²i

⇒ LHS = (1/tan²θ) . tan²i

llegir des de csv java

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Per tant provat]

Exemple 4: Demostreu que (seg ⁴ θ – sec ² θ) = (tan ² θ + tan ⁴ i)

Solució:

Tenim:

LHS = (seg⁴θ – sec²i)

⇒ LHS = seg²θ (seg²i - 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) (1 + tan²i - 1)

⇒ LHS = (1 + tan²θ) tan²i

⇒ LHS = (tan²θ + tan⁴θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Per tant provat]

Exemple 5: Demostreu que √(seg ² θ + cosec ² θ) = (tanθ + cotθ)

Solució:

Tenim:

LHS = √(s²θ + cosec²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + bressol²i))

⇒ LHS = √(tan²θ + bressol²i + 2)

⇒ LHS = √(tan²θ + bressol²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)²

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [Per tant, demostrat]

Preguntes pràctiques sobre identitats trigonomètriques

Q1: Simplifica l'expressiófrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

P2: Demostreu la identitat tan (x) . cot(x) = 1.

P3: Mostra-hofrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

P4: Simplificarsin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

P5: Demostrar la identitatcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

P6: Simplificarfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

P7: Demostrar la identitatsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Preguntes freqüents sobre identitats trigonomètriques

Què és la identitat trigonomètrica?

La identitat trigonomètrica és una equació que relaciona diferents funcions trigonomètriques com ara sin, cos, tan, cot, sec i cosec.

Com demostrar identitats trigonomètriques?

Hi ha diversos mètodes per demostrar identitats trigonomètriques, un d'aquests mètodes és utilitzar les 6 identitats trigonomètriques principals conegudes per reescriure una expressió d'una forma diferent. Com qualsevol altra prova, treballem amb un costat per arribar a una expressió idèntica a l'altre costat de l'equació.

Quantes identitats trigonomètriques hi ha?

Hi ha moltes identitats trigonomètriques, ja que qualsevol identitat pot ser amb alguna variació també és identitat. Per tant, no podem dir exactament quantes identitats hi ha.

Com recordar totes les identitats trigonomètriques?

El mètode més fàcil per recordar totes les identitats és practicar problemes relacionats amb la identitat. Cada vegada que resoleu un problema amb alguna identitat, reviseu aquesta identitat i, finalment, es convertirà en una segona naturalesa per a vosaltres.

Escriu les tres funcions trigonomètriques principals.

Les tres funcions principals utilitzades en trigonometria són el sinus, el cosinus i la tangent.
sense θ = Perpendicular/ Hypotenuse
cos θ = Base/Hipotenusa
tan θ = Perpendicular/Base

Què és el teorema de Pitàgores?

El teorema de Pitàgores afirma en un triangle rectangle amb costats com a hipotenusa (H), perpendicular (P) i base (B) la relació entre ells ve donada per,

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Escriu els usos de les identitats trigonomètriques.

Les identitats trigonomètriques s'utilitzen per resoldre diversos problemes que impliquen funcions trigonomètriques complexes. S'utilitzen per calcular equacions d'ona, equacions d'oscil·lador harmònic, resoldre qüestions geomètriques i altres problemes.

Escriu vuit identitats trigonomètriques fonamentals.

Vuit identitats fonamentals en trigonometria són:

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/cot θ
• sense²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ tan²θ = seg²i
• cot θ = cosθ/sinθ
• 1+ bressol²θ = cosec²i