REGLA TRAPEZOÏDAL: DEFINICIÓ, FÓRMULA, EXEMPLES I PREGUNTES FREQÜENTS

La regla trapezoïdal és una de les regles fonamentals d'integració que s'utilitza per definir la definició bàsica d'integració. És una regla molt utilitzada i la regla trapezoïdal s'anomena així perquè dóna l'àrea sota la corba dividint la corba en petits trapezis en comptes de rectangles.

Generalment, trobem l'àrea sota la corba dividint l'àrea en rectangles més petits i després trobant la suma de tots els rectangles, però en la regla trapezoïdal l'àrea sota la corba es divideix en trapezis, i després es calcula la seva suma. La regla trapezoïdal s'utilitza per trobar el valor de les integrals definides en l'anàlisi numèrica. Aquesta regla també s'anomena regla del trapezi o regla del trapezi. Aprenem més sobre la regla trapezoïdal, la seva fórmula i demostració, exemple i altres en detall en aquest article.

Què és la regla trapezoïdal?

La regla trapezoïdal és una regla que s'utilitza per trobar el valor de la integral definida de la forma^b∫_af(x) dx. Sabem que el valor de la integral definida^b∫_af(x) dx és l'àrea tancada sota la corba y = f(x) i l'eix x a l'interval a i b en l'eix x. Calculem aquesta àrea dividint l'àrea completa en diversos rectangles petits i després trobant la seva suma.

A la regla trapezoïdal, com el seu nom indica, l'àrea sota la corba es divideix en diversos trapezis i després es troba la seva suma per obtenir l'àrea de la corba. La regla trapezoïdal no proporciona la millor aproximació de l'àrea sota la corba que la regla de Simpson, però tot i així, el seu resultat és prou precís i aquesta regla és una regla molt utilitzada en càlcul.

Fórmula de la regla trapezoïdal

La fórmula de la regla trapezoïdal és la fórmula que s'utilitza per trobar l'àrea sota la corba. Ara per trobar l'àrea sota la corba utilitzant la regla trapezoïdal,

Sigui y = f(x) una corba contínua definida en l'interval tancat [a, b]. Ara dividim l'interval tancat [a, b] en n subintervals iguals, cadascun amb l'amplada de,

Δx = (b – a)/n

De tal manera que,

a = x₀ ₁ ₂<⋯ _n= b

Ara utilitzant la fórmula de la regla trapezoïdal podem trobar l'àrea sota la corba com,

∫^b_af(x) dx = Àrea sota la corba = (Δx/2) [y₀+ 2 (i₁+ i₂+ i₃+ ….. + i_n-1) + i_n]

on, y₀, i₁, i₂, …. i_nsón els valors de la funció a x = 1, 2, 3, ….., n respectivament.

Derivació de la fórmula de la regla trapezoïdal

La fórmula de la regla trapezoïdal per calcular l'àrea sota la corba s'obté dividint l'àrea sota la corba en diversos trapezis i després trobant la seva suma.

Declaració:

Sigui f(x) una funció contínua definida en l'interval (a, b). Ara dividim els intervals (a, b) en n subintervals iguals on l'amplada de cada interval és,

Δx = (b – a)/n

tal que a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_n= b

Aleshores la fórmula de la regla trapezoïdal és:

∫^b_af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_n)]

on, x_i= a + i△x

Si n → ∞, el R.H.S de l'expressió dóna la integral definida $int_{a}^{b}f(x) dx$

Prova:

Aquesta fórmula es demostra dividint l'àrea sota la corba donada tal com es mostra a la figura anterior en diversos trapezis. El primer trapezi té una alçada Δx i la longitud de les bases paral·leles és f(x₀) i f(x₁)

L'àrea del primer trapezi = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

De la mateixa manera, l'àrea dels trapezis restants és (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], etcètera.

Ara podem dir que,

∫^b_af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_n) )

Després de simplificar, obtenim,

∫^b_af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_n))

Així, es demostra la regla trapezoïdal.

Com aplicar la regla trapezoïdal?

La regla del trapezi troba l'àrea sota la corba dividint l'àrea sota la corba en diversos trapezis i després troba la suma de tots els trapezis. La regla trapezoïdal no és l'aproximació perfecta del valor de la integral definida, ja que utilitza l'aproximació quadràtica.

Hem de trobar el valor de la integral definida, ∫^b_af(x) dx. El valor de la integral definida es pot calcular utilitzant la regla del trapezoidal seguint els passos següents:

Pas 1: Marqueu el valor dels subintervals, n i dels intervals a i b.

Pas 2: Trobeu l'amplada del subinterval (△x) mitjançant la fórmula △x = (b – a)/n

Pas 3: Posa tots els valors a la fórmula de la regla trapezoïdal i troba l'àrea aproximada de la corba donada que representa la integral definida ∫^b_af(x) dx

∫ ^b _a f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

on, x _i = a + i△x

Notació de suma de la regla trapezoïdal

Sabem que l'àrea d'un trapezi és bàsicament la mitjana de les longituds dels costats paral·lels multiplicada per l'alçada. Per tant, en aquest cas, considereu un trapezi per a la i^thinterval,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Com que l'àrea total és la suma de totes les àrees,

A = A₁+ A₂+ ….+ A_n

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Això s'anomena notació sigma o notació de suma de les sumes trapezoïdals.

Sumes de Riemann

El Riemann resumeix el treball sobre la idea de submergir l'àrea sota la corba en diferents parts rectangulars. A mesura que augmenta el nombre de rectangles, l'àrea s'acosta cada cop més a l'àrea actual. A la figura que es mostra a continuació, hi ha una funció f(x). L'àrea sota aquesta funció es divideix en molts rectangles. L'àrea total sota la corba és la suma de les àrees de tots els rectangles.

Observeu que a la figura anterior, l'extrem dret dels rectangles toca la corba. Això s'anomena sumes de Riemann a la dreta.

En un altre cas, quan l'extrem esquerre dels rectangles toca la corba com es mostra a la imatge següent, s'anomenen sumes de Riemann esquerres.

Suposem que Δx és l'amplada de l'interval, n és el nombre d'intervals tal com s'ha dit anteriorment. Aleshores l'àrea de la corba representada per la suma ve donada per,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Sumes del punt mitjà

En les sumes de Riemann, l'extrem esquerre o l'extrem dret del rectangle toquen la corba. En aquest cas, el punt mitjà del rectangle toca la corba. Tota la resta és el mateix que les sumes de Riemann. La figura següent mostra la funció f(x) i diferents rectangles en les sumes del punt mitjà.

Diguem A_idenota l'àrea de la i^threctangle. L'àrea d'aquest rectangle en aquest cas serà,

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Ara, l'àrea total de la notació de suma vindrà donada per,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

Llegeix més,

Fórmules d'integració
Integració per parts
Fórmula de diferenciació i integració

Exemple resolt sobre regla trapezoïdal

Exemple 1: Trobeu l'àrea tancada per la funció f(x) entre x = 0 i x = 4 amb 4 intervals.

f(x) = 4

Solució:

Aquí a = 0, b = 4 i n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

La regla del trapezoidal per a n = 4 és,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Substituint els valors d'aquesta equació,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

Exemple 2: Trobeu l'àrea tancada per la funció f(x) entre x = 0 i x = 3 amb 3 intervals.

f(x) = x

Solució:

Aquí a = 0, b = 3 i n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

La regla del trapezoidal per a n = 3 és,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Substituint els valors d'aquesta equació,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

Exemple 3: Trobeu l'àrea tancada per la funció f(x) entre x = 0 i x = 2 amb 2 intervals.

f(x) = 2x

Solució:

Aquí a = 0, b = 2 i n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

La regla del trapezoidal per a n = 2 és,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Substituint els valors d'aquesta equació,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

Exemple 4: Trobeu l'àrea tancada per la funció f(x) entre x = 0 i x = 3 amb 3 intervals.

f(x) = x ²

Solució:

Aquí a = 0, b = 3 i n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

La regla del trapezoidal per a n = 3 és,
exportar gimp com a jpg

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Substituint els valors d'aquesta equació,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

Exemple 5: Trobeu l'àrea tancada per la funció f(x) entre x = 0 i x = 4 amb 4 intervals.

f(x) = x ³ + 1

Solució:

Aquí a = 0, b = 4 i n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

La regla del trapezoidal per a n = 4 és,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Substituint els valors d'aquesta equació,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Fletxa dreta T_n= 72$

Exemple 6: Trobeu l'àrea tancada per la funció f(x) entre x = 0 i x = 4 amb 4 intervals.

f(x) = e ^x

Solució:

Aquí a = 0, b = 4 i n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

La regla del trapezoidal per a n = 4 és,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Substituint els valors d'aquesta equació,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Fletxa dreta T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Aplicacions de la regla del trapezi

Integració numèrica:

L'aplicació principal de la regla del trapezoïdal és aproximar integrals definides. S'utilitza quan la integració d'una funció és difícil i un enfocament numèric és més factible. La regla trapezoïdal sovint forma part de tècniques d'integració numèrica més avançades.

Física i Enginyeria:

En física i enginyeria, la regla trapezoïdal es pot aplicar per calcular magnituds com ara el desplaçament, la velocitat i l'acceleració. Per exemple, quan es recullen dades experimentals a intervals de temps discrets, la regla trapezoïdal es pot utilitzar per estimar l'àrea sota la corba, proporcionant una aproximació de la integral.

Economia i finances:

La regla trapezoïdal es pot aplicar en la modelització financera per estimar el valor actual dels fluxos d'efectiu futurs. Això és especialment útil en l'anàlisi del flux d'efectiu descomptat (DCF), on l'objectiu és calcular el valor actual net d'una inversió.

Estadístiques:

En estadística, la regla trapezoïdal es pot utilitzar per estimar l'àrea sota funcions de densitat de probabilitat o funcions de distribució acumulada. Això és especialment útil en els casos en què la forma exacta de la distribució és desconeguda o complexa.

Preguntes freqüents sobre la regla trapezoïdal

P1: Què és la regla trapezoïdal?

Resposta:

La regla trapezoïdal és la regla que s'utilitza per trobar la integral definida, divideix l'àrea sota la corba en diversos trapezis i després es troba la seva àrea individual i després es calcula la suma per obtenir el valor de la integral definida.

P2: Quina és la fórmula de la regla trapezoïdal?

Resposta:

La fórmula de la regla trapezoïdal és,

∫ ^b _a f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

P3: Per què s'anomena fórmula de regla trapezoïdal?

Resposta:

Regla trapezoïdal La fórmula s'anomena regla trapezoïdal perquè divideix l'àrea sota la corba en diversos trapezis i després es calcula la seva àrea trobant la suma dels trapezis.

P4: Quina diferència hi ha entre la regla trapezoïdal i la regla de les sumes de Riemann?

Resposta:

La diferència principal entre la regla del trapezoidal i la regla de les Sumes de Riemann és, ja que la regla del trapezi divideix l'àrea sota la corba com els trapezis i després troba l'àrea prenent la seva suma, mentre que les Sumes de Riemann divideixen l'àrea sota la corba com a trapezi i llavors troba l'àrea fent la seva suma.