Integració per parts: La integració per parts és una tècnica utilitzada en càlcul per trobar la integral del producte de dues funcions. Es tracta bàsicament d'una inversió de la regla de diferenciació del producte.

Integrar una funció no sempre és fàcil de vegades hem d'integrar una funció que és el múltiple de dues o més funcions en aquest cas si hem de trobar la integració hem d'utilitzar el concepte d'integració per part, que utilitza dos productes de dues funcions i ens explica com trobar la seva integració.

Ara aprenem-ne Integració per parts, la seva fórmula, derivació i altres en detall en aquest article.

Què és la integració per parts?

La integració per part és la tècnica utilitzada per trobar la integració del producte de dues o més funcions on la integració no es pot realitzar mitjançant tècniques normals. Suposem que tenim dues funcions f(x) i g(x) i hem de trobar la integració del seu producte, és a dir, ∫ f(x).g(x) dx on no és possible resoldre més el producte d'aquest producte. f(x).g(x).

Aquesta integració s'aconsegueix mitjançant la fórmula:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

on f'(x) és la primera diferenciació de f(x).

Aquesta fórmula es llegeix així:

runes a powershell

La integració de la primera funció multiplicada per la segona funció és igual a (primera funció) multiplicada per (integració de la segona funció) – Integració de (diferenciació de la primera funció multiplicada per la integració de la segona funció).

A partir de la fórmula anterior, podem observar fàcilment que l'elecció de la primera funció i la segona funció és molt important per a l'èxit d'aquesta fórmula, i com escollim la primera funció i la segona funció s'explica més endavant en aquest article.

Què és la Integració Parcial?

La integració parcial, també coneguda com a integració per parts, és una tècnica utilitzada en càlcul per avaluar la integral d'un producte de dues funcions. La fórmula per a la integració parcial ve donada per:

∫ u dv = uv – ∫ v du

on u i v són funcions diferenciables de x. Aquesta fórmula ens permet simplificar la integral d'un producte dividint-la en dues integrals més simples. La idea és triar u i dv perquè la nova integral del costat dret sigui més fàcil d'avaluar que l'original del costat esquerre. Aquesta tècnica és especialment útil quan es tracta de productes de funcions que no tenen antiderivades simples.

Història de la Integració Parcial

El concepte d'integració per part va ser proposat per primera vegada pel famós Brook Taylor al seu llibre l'any 1715. Va escriure que podem trobar la integració del producte de dues funcions les fórmules de diferenciació de les quals existeixen. Algunes funcions importants no tenen fórmules d'integració i la seva integració s'aconsegueix mitjançant la integració partint-les com a producte de dues funcions. Per exemple, ∫ln x dx no es pot calcular utilitzant tècniques d'integració normals. Però podem integrar-la utilitzant la tècnica d'integració per part i prenent-la com a producte de dues funcions, és a dir, ∫1.ln x dx.

Fórmula d'integració per parts

La fórmula d'integració per parts és la fórmula que ens ajuda a aconseguir la integració del producte de dues o més funcions. Suposem que hem d'integrar el producte de dues funcions com

∫u.v dx

on u i v són les funcions de x, llavors això es pot aconseguir utilitzant,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

L'ordre per triar la primera funció i la segona funció és molt important i el concepte utilitzat en la majoria dels casos per trobar la primera funció i la segona funció és el concepte ILATE.

Utilitzant la fórmula anterior i el concepte ILATE podem trobar fàcilment la integració del producte de dues funcions. La fórmula d'integració per part es mostra a la imatge següent,

Fórmula de derivació d'integració per parts

La fórmula d'integració per parts es deriva mitjançant la regla de diferenciació del producte. Suposem que tenim dues funcions en i en i x llavors la derivada del seu producte s'aconsegueix mitjançant la fórmula,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Ara cal derivar la fórmula d'integració per parts utilitzant la regla de diferenciació del producte.

Reordenació dels termes

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrant els dos costats respecte a x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

simplificant,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Així, es deriva la fórmula d'integració per parts.

Regla ILATE

La regla ILATE ens indica com triar la primera funció i la segona funció mentre resol la integració del producte de dues funcions. Suposem que tenim dues funcions de x u i v i hem de trobar la integració del seu producte, llavors triem la primera funció i la regla per ILATE.

El formulari complet ILATE es discuteix a la imatge següent,

ILATE Regla d'integració parcial

Les regles ILATE ens donen la jerarquia de prendre la primera funció, és a dir, si en el producte donat de la funció, una funció és una funció logarítmica i una altra funció és una funció trigonomètrica. Ara prenem la funció logarítmica com a primera funció, tal com es mostra més amunt a la jerarquia de la regla ILATE de manera similar, triem la primera i la segona funció en conseqüència.

NOTA: No sempre és adequat utilitzar la regla ILATE, de vegades també s'utilitzen altres regles per trobar la primera funció i la segona funció.

Com trobar la integració per part?

La integració per part s'utilitza per trobar la integració del producte de dues funcions. Ho podem aconseguir mitjançant els passos que es descriuen a continuació,

Suposem que hem de simplificar ∫uv dx

Pas 1: Trieu la primera i la segona funció segons la regla ILATE. Suposem que prenem u com a primera funció i v com a segona funció.

Pas 2: Diferenciau u(x) respecte a x, és a dir, Avaluar du/dx.

Pas 3: Integrar v(x) respecte a x, és a dir, Avalueu ∫v dx.

Utilitzeu els resultats obtinguts al pas 1 i al pas 2 de la fórmula,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Pas 4: Simplifica la fórmula anterior per obtenir la integració necessària.

Integració repetida per parts

La integració repetida per parts és una extensió de la tècnica d'integració per parts en càlcul. S'utilitza quan tens un producte de funcions que requereix integració diverses vegades per trobar l'antiderivada. El procés implica aplicar la fórmula d'integració per parts de manera iterativa fins que s'arriba a un punt en què la integral resultant és fàcil d'avaluar o té una forma coneguda.

Quan apliqueu aquesta fórmula repetidament, començareu amb una integral que inclogui un producte de dues funcions, i després aplicaríeu la integració per parts per descompondre'l en integrals més simples. A continuació, continuareu aquest procés amb les integrals resultants fins que arribeu a un punt on no siguin necessàries més aplicacions o on les integrals siguin manejables.

Aquí teniu un exemple pas a pas de com funciona la integració repetida per parts:

1. Comenceu amb una integral d'un producte de dues funcions: ∫ u dv.
2. Apliqueu la fórmula d'integració per parts per obtenir: uv – ∫ v du.
3. Si la nova integral obtinguda a la dreta encara implica un producte de funcions, torneu a aplicar la integració per parts per desglossar-la encara més.
4. Continueu aquest procés fins que obtingueu una integral més senzilla que es pugui avaluar fàcilment o una que coincideixi amb una forma integral coneguda.

Integració tabular per parts

La integració tabular, també coneguda com a mètode tabular o mètode d'integració tabular, és una tècnica alternativa per avaluar integrals que impliquen l'aplicació repetida d'integració per parts. Aquest mètode és especialment útil quan es tracta d'integrals on el producte de funcions es pot integrar diverses vegades per aconseguir un resultat senzill.

El mètode tabular organitza el procés d'integració repetida per parts en una taula, facilitant el seguiment dels termes i simplificant la integral de manera eficient. Així és com funciona el mètode tabular:

1. Comenceu anotant les funcions que intervenen en la integral en dues columnes: una per a la funció per diferenciar (u) i una altra per a la funció a integrar (dv).
   • Comenceu amb la funció d'integració (dv) a la columna de l'esquerra i la funció de diferenciació (u) a la columna de la dreta.
2. Continueu diferenciant la funció a la columna u fins que arribeu a zero o a una constant. A cada pas, integreu la funció a la columna dv fins que arribeu a un punt on no calgui una integració addicional.
3. Multiplica els termes en diagonal i alterna els signes (+ i -) per a cada terme. Suma aquests productes per trobar el resultat de la integració.

Aquí teniu un exemple per il·lustrar-ho mètode d'integració tabular :

Avaluem la integral ∫x sin(x) dx.

• Pas 1: Creeu una taula amb dues columnes per a u (funció per diferenciar) i dv (funció per integrar):

• Pas 2: Diferencia la funció a la columna u i integra la funció a la columna dv:

• Pas 3: Multiplica els termes en diagonal i alterna els signes:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sense(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sense(x)

Per tant, el resultat de la integral ∫x sin(x) dx és -x cos(x) + sense(x).

El mètode d'integració tabular és especialment útil quan es tracta d'integrals que impliquen funcions que es repeteixen després de la diferenciació o la integració, permetent un enfocament sistemàtic i organitzat per trobar l'antiderivada.

Aplicacions d'integració per parts

La integració per parts té diverses aplicacions en càlcul integral, s'utilitza per trobar la integració de la funció on les tècniques d'integració normals fallen. Podem trobar fàcilment la integració de funcions inverses i logarítmiques utilitzant el concepte d'integració per parts.

Trobarem la integració de la funció logarítmica i la funció arctà mitjançant la integració per regla de part,

Integració de la funció logarítmica (log x)

La integració de la funció logarítmica inversa (log x) s'aconsegueix mitjançant la fórmula d'integració per part. La integració es comenta a continuació,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Prenent log x com a primera funció i 1 com a segona funció.

Utilitzant ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Quina és la integració necessària de la funció logarítmica.

Integració de la funció trigonomètrica inversa (tan^-1x)

Integració de la funció trigonomètrica inversa (tan^-1x) s'aconsegueix mitjançant la fórmula d'integració per part. La integració es comenta a continuació,

∫ tan^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Prenent bronzejat^-1x com a primera funció i 1 com a segona funció.

Utilitzant ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. tan^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. tan^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Quina és la integració necessària de la funció trigonomètrica inversa.

Aplicacions reals d'integració parcial

Algunes de les aplicacions comunes a la vida real de la integració parcial són:

• Trobar antiderivades
  • En enginyeria i física, la integració parcial s'utilitza per trobar antiderivades de funcions que representen magnituds físiques. Per exemple, en mecànica, s'utilitza per derivar equacions de moviment a partir de les equacions de força i acceleració.
• Producte Wallis
  • El producte de Wallis, una representació infinita del producte de pi, es pot derivar mitjançant tècniques d'integració parcial. Aquest producte té aplicacions en camps com la teoria dels nombres, la teoria de la probabilitat i el processament del senyal.
• Identitat de la funció gamma
  • La funció gamma, que amplia la funció factorial als nombres complexos, té diverses aplicacions en matemàtiques, física i enginyeria. La integració parcial s'utilitza per demostrar identitats que impliquen la funció gamma, que són crucials en àrees com la teoria de la probabilitat, la mecànica estadística i la mecànica quàntica.
• Ús en l'anàlisi harmònic
  • La integració parcial té un paper important en l'anàlisi harmònic, especialment en l'anàlisi de Fourier. S'utilitza per derivar propietats de les transformades de Fourier, com ara el teorema de convolució i propietats de les sèries de Fourier. Aquests resultats s'apliquen en camps com el processament del senyal, l'anàlisi d'imatges i les telecomunicacions.

Fórmules d'integració per parts

Podem derivar la integració de diverses funcions utilitzant el concepte d'integració per parts. Algunes de les fórmules importants derivades amb aquesta tècnica són

• ∫ i^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²– a²).dx =½ . x.√(x²– a²) - a²/2. log|x +√(x²– a²) | C
• ∫√(a²–x²).dx = ½ . x.√(a²–x²) + a²/2. sense^-1x/a + C

Exemples d'integració per parts

Exemple 1: Trobeu ∫ e ^x x dx.

Solució:

Sigui I = ∫ e^xx dx

Escollint u i v mitjançant la regla ILATE

u = x
v = e^x

Diferenciant u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Utilitzant la fórmula d'integració per part,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ e^xdx) dx

⇒ I = xe^x− i^x+ C

⇒ I = e^x(x − 1) + C

Exemple 2: Calcula ∫ x sin x dx.

Solució:

Sigui I = ∫ x sin x dx

Escollint u i v mitjançant la regla ILATE

u = x
v = sense x

Diferenciant u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Utilitzant la fórmula d'integració per part,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sense x + C

Exemple 3: Trobeu ∫ sin ⁻¹ x dx.

Solució:

Sigui I= ∫ sin⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

Escollint u i v mitjançant la regla ILATE

u = sense⁻¹x
v = 1

Diferenciant u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sense⁻¹x)/dx

nginx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Utilitzant la fórmula d'integració per part,

⇒ I = ∫ sense⁻¹x dx

⇒ I = sense⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sense⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Sigui t = 1 − x²

Diferenciant ambdues parts

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ sense⁻¹x dx = x sense⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sense⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sense⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sense⁻¹x + √(1 − x²) + C

Pràctica de problemes d'integració per parts

1. Integrate xe ^x

2. Integrate x sin(x)

3. Integra x ² ln(x)

4. Integrar e ^x cos(x)

5. Integra ln(x)

Preguntes freqüents sobre la integració per parts

Què és la integració per parts?

La integració per parts és la tècnica per trobar la integració del producte de les dues funcions on fallen les tècniques normals d'integració. La integració per la fórmula de la part és,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Què és la fórmula d'integració per parts?

Per a dues funcions f(x) i g(x), la fórmula d'integració per part és:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

on f'(x) és la diferenciació de f(x).

Com derivar la fórmula d'integració per parts?

La fórmula d'integració per part es deriva mitjançant la regla de diferenciació del producte.

Per què utilitzem la fórmula d'integració per parts?

La fórmula d'integració per part s'utilitza per trobar la integració de la funció quan fallen les tècniques de diferenciació normals. Podem trobar la integració de funcions trigonomètriques inverses i funcions logarítmiques mitjançant la fórmula d'integració per part

Quina és l'aplicació de la integració per parts?

La integració per part té diverses aplicacions i l'aplicació bàsica d'aquesta és que s'utilitza per trobar la integració de la funció quan la funció es dóna com el producte de les funcions que no es pot simplificar més. Per exemple ∫ f(x).g(x) dx s'aconsegueix utilitzant Integració per parts.