Fórmules d'integració són les fórmules bàsiques que s'utilitzen per resoldre diversos problemes integrals. S'utilitzen per trobar la integració d'expressions algebraiques, raons trigonomètriques, funcions trigonomètriques inverses i funcions logarítmiques i exponencials. Aquestes fórmules d'integració són molt útils per trobar la integració de diverses funcions.

La integració és el procés invers de la diferenciació, és a dir, si d/dx (y) = z, aleshores ∫zdx = y. La integració de qualsevol corba dóna l'àrea sota la corba. Trobem la integració per dos mètodes Integració Indefinida i Integració Definida. En la integració indefinida, no hi ha límit a la integració, mentre que en la integració definida hi ha un límit sota el qual s'integra la funció.

Aprenguem sobre aquests integral formules, i els seus classificació, amb detall en aquest article.

Taula de contingut

• Integral Calculus
• Què són les fórmules d'integració?
• Fórmules d'integració de funcions trigonomètriques
• Fórmules d'integració de funcions trigonomètriques inverses
• Fórmules d'integració avançada
• Diferents fórmules d'integració
• Aplicació d'integrals
• Fórmula d'integració definitiva
• Fórmula d'integració indefinida

Integral Calculus

Integral calculus és una branca del càlcul que s'ocupa de la teoria i les aplicacions de les integrals. El procés de trobar integrals s'anomena integració. El càlcul integral ajuda a trobar les antiderivades d'una funció. Les antiderivades també s'anomenen integrals d'una funció. Es denota per ∫f(x)dx. El càlcul integral s'ocupa del valor total, com ara longituds, àrees i volums. La integral es pot utilitzar per trobar solucions aproximades a determinades equacions de dades donades. El càlcul integral implica dos tipus d'integració:

• Indefinit Integrals
• Integrals definides

Què són les fórmules d'integració?

Les fórmules d'integració s'han presentat a grans trets com els següents conjunts de fórmules. Les fórmules inclouen fórmules d'integració bàsiques, integració de proporcions trigonomètriques, funcions trigonomètriques inverses, el producte de funcions i alguns conjunts avançats de fórmules d'integració. La integració és una manera d'unir les parts per trobar un tot. És l'operació inversa de la diferenciació. Així, la fórmula bàsica d'integració és

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Fórmules d'integració

Amb això, es deriven les següents fórmules d'integració.

Les diverses fórmules de càlcul integral són

1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
2. ∫ xⁿdx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
3. ∫(1/x) dx = log_És|x| + C
4. ∫e^xdx = e^x+ C
5. ∫a^xdx = (a^x/ registre_Ésa) + C

Més, les fórmules integrals es discuteixen a continuació a l'article,

Nota:

• d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
• ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , on k és constant
• ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Fórmules bàsiques d'integració

A continuació es comenten algunes de les fórmules bàsiques d'integració que s'utilitzen per resoldre problemes d'integració. Es deriven del teorema fonamental de la integració. La llista de fórmules integrals bàsiques es mostra a continuació:

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫ xⁿdx = x^{(n + 1)}/(n + 1)+ C
• ∫ 1/x dx = log |x| + C
• ∫ i^xdx = e^x+ C
• ∫ a^xdx = a^x/log a+ C
• ∫ i^x[f(x) + f'(x)] dx = e^xf(x) + C {on, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Classificació de fórmules integrals

Les fórmules integrals es classifiquen en diverses categories en funció de la funció següent.

• Funcions racionals
• Funcions irracionals
• Funcions hiperbòliques
• Funcions hiperbòliques inverses
• Funcions trigonomètriques
• Funcions trigonomètriques inverses
• Funcions exponencials
• Funcions logarítmiques

Fórmules d'integració de funcions trigonomètriques

Integració Les fórmules de funcions trigonomètriques s'utilitzen per resoldre les equacions integrals que impliquen funcions trigonomètriques. A continuació es mostra una llista de fórmules integrals que impliquen funcions trigonomètriques i trigonomètriques inverses,

• ∫ cos x dx = sense x + C
• ∫ sense x dx = -cos x + C
• ∫ seg²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -cot x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = log |sec x| + C
• ∫ cot x dx = log |sin x| + C
• ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| + C
• ∫ cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C

Fórmules d'integració de funcions trigonomètriques inverses

A continuació es donen diverses fórmules d'integració de funcions trigonomètriques inverses que s'utilitzen per resoldre preguntes integrals,

• ∫1/√(1 – x²) dx = sense^-1x + C
• ∫ -1/√(1 – x²) dx = cos^-1x + C
• ∫1/(1 + x²) dx = tan^-1x + C
• ∫ -1/(1 + x²) dx = bressol^-1x + C
• ∫ 1/x√(x²– 1) dx = seg^-1x + C
• ∫ -1/x√(x²– 1) dx = cosec^-1x + C

Fórmules d'integració avançada

Algunes altres fórmules d'integració avançades que són de gran importància per resoldre integrals es discuteixen a continuació,

• ∫1/(x²– a²) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
• ∫ 1/(a²–x²) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
• ∫1/(x²+ a²) dx = 1/a tan^-1x/a + C
• ∫1/√(x²– a²)dx = log |x +√(x²– a²)| + C
• ∫ √(x²– a²) dx = x/2 √(x²– a²) -a²/2 log |x + √(x²– a²)| + C
• ∫1/√(a²–x²) dx = sense^-1x/a + C
• ∫√(a²–x²) dx = x/2 √(a²–x²) dx + a²/2 sense^-1x/a + C
• ∫1/√(x²+ a²) dx = log |x + √(x²+ a²)| + C
• ∫ √(x²+ a²) dx = x/2 √(x²+ a²)+ a²/2 log |x + √(x²+ a²)| + C

Diferents fórmules d'integració

S'utilitzen diversos tipus de mètodes d'integració per resoldre diferents tipus de preguntes integrals. Cada mètode és un resultat estàndard i es pot considerar una fórmula. Alguns dels mètodes importants es discuteixen a continuació en aquest article. Comprovem els tres mètodes d'integració importants.

• Fórmula d'integració per parts
• Fórmula d'integració per substitució
• Fórmula d'integració per fraccions parcials

Fórmula d'integració per parts

Integració per parts La fórmula s'aplica quan la funció donada es descriu fàcilment com el producte de dues funcions. La fórmula d'integració per parts utilitzada en matemàtiques es mostra a continuació,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Exemple: Calcula ∫ xe ^x dx

Solució:

∫ cotxe^xdx té la forma ∫ f(x) g(x) dx

siguem f(x) = x i g(x) = e^x

sabem que, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ cotxe^xdx = x ∫e^xdx – ∫( 1 ∫e^xdx) dx+ c

= cotxe^x- És^x+ c

Fórmula d'integració per substitució

Fórmula d'integració per substitució s'aplica quan una funció és funció d'una altra funció. és a dir, siguem I = ∫ f(x) dx, on x = g(t) tal que dx/dt = g'(t), aleshores dx = g'(t)dt

Ara, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Exemple: avalueu ∫ (4x +3) ³ dx

Solució:

Sigui u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)³dx

quadre d'alerta de javascript

= 1/4 ∫(u)³de

= 1/4. en⁴/5

= u⁴/20

= 4x ​​+3)⁴/20

Fórmula d'integració per fraccions parcials

Integració per fraccions parcials La fórmula s'utilitza quan es requereix la integral de P(x)/Q(x) i P(x)/Q(x) és una fracció impropia, de manera que el grau de P(x) és menor que (<) el grau de Q(x), aleshores la fracció P(x)/Q(x) s'escriu com

P(x)/Q(x) = R(x) + P ₁ (x)/Q(x)

on

• R(x) és un polinomi en x
• P ₁ (x)/Q(x) és una funció racional adequada

Ara la integració de R(x) + P₁(x)/ Q(x) es calcula fàcilment mitjançant les fórmules comentades anteriorment.

Aplicació d'integrals

Les fórmules integrals són fórmules molt útils en matemàtiques que s'utilitzen per a una varietat de tasques. Diversos aplicacions de les integrals inclou:

• Trobar la longitud de la corba
• Trobar l'àrea sota la corba
• Trobar valors aproximats de la funció
• Determinació del recorregut d'un objecte i d'altres
• Per trobar l'àrea sota la corba
• Per trobar la superfície i el volum de formes irregulars
• Per trobar el centre de massa o el centre de gravetat

Aquestes fórmules es classifiquen bàsicament en dues categories,

• Fórmules d'integració definides
• Fórmules d'integració indefinides

Fórmula d'integració definitiva

S'utilitzen fórmules integrals definides quan es dóna el límit de la integració. En la integració definitiva, la solució a la pregunta és un valor constant. En general, la integració definitiva es resol com,

∫ _a ^b f(x) dx = F(b) – F(a)

Fórmula d'integració indefinida

Les fórmules d'integració indefinida s'utilitzen per resoldre la integració indefinida quan no es dóna el límit d'integració. En la integració indefinida, utilitzem la constant de la integració que es denota generalment per C

∫f(x) = F(x) + C

Articles relacionats amb les fórmules d'integració:

• Integrals indefinides
• Definite Integral Properties
• Integració de Funcions Trigonomètriques

Exemples de fórmules integrals

Exemple 1: avaluar

• ∫ x ⁶ dx
• ∫1/x ⁴ dx
• ∫ ³ √x dx
• ∫3 ^x dx
• ∫4e ^x dx
• ∫(sense x/cos ² x) dx
• ∫(1/sense ² x) dx
• ∫[1/√(4 – x ² )] dx
• ∫[1/3√(x ² – 9)] dx
• ∫(1 /cos x tan x) dx

Solució:

(i)∫x ⁶ dx

= (x⁶⁺¹)/(6 + 1) + C [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x⁷/7) + C

(ii) ∫1/x ⁴ dx

= ∫x^-4dx [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x^-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x^-3/ 3) + C

= -(1/3x³) + C

(iii) ∫ ³ √x dx

= ∫x^1/3dx [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x^(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x^4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x^4/3) + C

(iv) ∫3 ^x dx

= (3^x/ registre_És3) + C [ ∫a ^x dx = (a ^x / registre _És a) + C]

(v) ∫4e ^x dx

= 4∫e^xdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , on k és constant]

= 4 i^x+ C [∫e ^x dx = e ^x + C]

(vi) ∫(sense x/cos ² x) dx

= ∫[(sense x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sec x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= seg x + C

(vii) ∫(1/sin ² x) dx

= ∫cosec²x dx [∫cosec ² x dx = -cot x + C ]

= -cot x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x ² )] dx

= ∫[1/√(2²–x²)] dx [ho sabem, dx = sin ^-1 (x/a) + C]

= sense^-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x ² – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x²– 3²)}] dx [ho sabem,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)seg^-1(x/a) + C]

= (1/3) seg^-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sense x)] dx

= ∫(1/ sense x) dx

= ∫cosec x dx [sabem que, ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – bressol x| + C

Exemple 2: avalueu ∫{e ^{9 registre} _És ^x + i ^{8 registre} _És ^x }/{És ^{6 registre} _És ^x + i ^{5 registre} _És ^x } dx

Solució:

Des que, És ^sacsejant _És ^x = x ^a

∫{e ^{9 registre} _És ^x + i ^{8 registre} _És ^x }/{És ^{6 registre} _És ^x + i ^{5 registre} _És ^x } dx

= ∫{x⁹+ x⁸}/{x⁶+ x⁵} dx

= ∫[x⁸(x + 1)]/[x⁵(x + 1)] dx

=∫ x⁸/x⁵dx

= ∫x³dx [sabem que, ∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x⁴/4) + C

Exemple 3: Avalueu ∫ sin x + cos x dx

Solució:

∫(sense x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [sabem que, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sense x + C [sabem que, ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Exemple 4: avalueu ∫4 ^x+2 dx

Solució:

∫4 ^x+2 dx = ∫4^x. 4²dx

= ∫16. 4^xdx [ sabem que∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , on k és constant]

= 16∫ 4^xdx [∫a ^x dx = (a ^x / registre _És a) + C]

= 16 (4^x/log 4) + C

Exemple 5: avalueu ∫(x ² + 3x + 1) dx

Solució:

∫(x ² + 3x + 1) dx

= ∫x²dx+ 3∫x dx + 1∫ x⁰dx [Sabem que, ∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x²⁺¹/2+1] + 3[[x¹⁺¹/1+1]] + [x⁰⁺¹/0+1] + C

= [x³/3] + 3[x²/2] + x + C

Exemple 6: avalueu ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Solució:

1 + cos 2x = 2cos ² x

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos²x)] dx

= ∫(2/cos²x) dx

= ∫2 seg²xdx

= 2∫sec²x dx [Sabem que, ∫sec ² x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Exemple 7: avalueu ∫(3cos x – 4sin x + 5 seg ² x) dx

Solució:

∫(3cos x – 4sin x + 5 seg ² x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sec²x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, on k és constant]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫s²x dx

= 3sense x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sense x + 4cos x + 5 tan x + C

Pràctica de problemes sobre fórmules d'integració

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Preguntes freqüents sobre fórmules d'integració

Què són totes les fórmules d'integració?

Les fórmules d'integració són les fórmules que s'utilitzen per resoldre diversos problemes d'integració,

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫ xⁿdx = x^{(n + 1)}/(n + 1)+ C
• ∫ 1/x dx = log |x| + C
• ∫ i^xdx = e^x+ C
• ∫ a^xdx = a^x/log a+ C
• ∫ i^x[f(x) + f'(x)] dx = e^xf(x) + C {on, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Quines són les fórmules d'integració d'uv?

La fórmula d'integració de UV és,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Què vol dir la integració a les matemàtiques?

Si la derivada de la funció g(x) és f(x), la integració de f(x) és g(x), és a dir, ∫f(x)dx = g(x). La integració es representa amb el símbol ∫

Com integrem mitjançant fórmules d'integració?

La integració es pot aconseguir mitjançant les fórmules,

• Defineix una petita part d'un objecte en determinades dimensions que sumant infinites vegades fa l'objecte complet.
• Utilitzant fórmules d'integració sobre aquesta petita part al llarg de les diferents dimensions ens obtenim l'objecte complet.

Què és la fórmula integral per part?

La fórmula integral per part s'utilitza per resoldre la integral on es dóna la fracció impropia.

Quin és l'ús de les fórmules d'integració?

Les fórmules d'integració s'utilitzen per resoldre diversos problemes integrals. Diversos problemes que ens trobem a la nostra vida diària es poden resoldre fàcilment amb l'ajuda de la integració, com ara trobar el centre de massa de qualsevol objecte, trobar la trajectòria de míssils, coets, avions i altres.