La substitució trigonomètrica és un dels mètodes de substitució d'integració on una funció o expressió de la integral donada es substitueix per funcions trigonomètriques com sin, cos, tan, etc. La integració per substitució és un mètode de substitució més fàcil.

S'utilitza quan fem una substitució d'una funció, la derivada de la qual ja està inclosa en la funció integral donada. Amb això, la funció es simplifica i s'obté una funció d'integrals simples que podem integrar fàcilment. També es coneix com a substitució u o regla de la cadena inversa. O dit d'una altra manera, utilitzant aquest mètode, podem avaluar fàcilment integrals i antiderivades.

Substitució trigonomètrica

Què és la substitució trigonomètrica?

La substitució trigonomètrica és un procés en el qual té lloc la substitució d'una funció trigonomètrica per una altra expressió. S'utilitza per avaluar integrals o és un mètode per trobar antiderivades de funcions que contenen arrels quadrades d'expressions quadràtiques o potències racionals de la formafrac{p}{2} (on p és un nombre enter) d'expressions quadràtiques. Exemples d'aquestes expressions són

({x^2+4})^frac{3}{2} osqrt{25-x^2} o etc.

El mètode de substitució trigonomètrica es pot utilitzar quan altres mètodes d'integració més comuns i més fàcils d'utilitzar han fallat. La substitució trigonomètrica suposa que esteu familiaritzat amb les identitats trigonomètriques estàndard, l'ús de la notació diferencial, la integració mitjançant la substitució u i la integració de funcions trigonomètriques.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Aquí, parlarem d'algunes fórmules importants en funció de la funció que necessitem integrar, substituïm una de les expressions trigonomètriques següents per simplificar la integració:

∫cosx dx = sinx + C

clau primària i clau composta en sql

∫sinx dx = −cosx + C

∫sec²x dx = tanx + C

∫cosec²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Llegeix amb detall: Càlcul en matemàtiques

Quan utilitzar la substitució trigonomètrica?

Utilitzem la substitució trigonomètrica en els casos següents:

Com aplicar el mètode de substitució trigonomètrica?

Podem aplicar el mètode de substitució trigonomètrica tal com s'explica a continuació,

Integral amb a²–x²

Considerem un exemple de la integral que implica a²–x².

Exemple: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Posem, x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Així, I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Com, x = a sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

.tostring java

⇒ I =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral amb x ² + a ²

Considerem un exemple de la integral que implica x²+ a².

Exemple: Trobeu la integral old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Solució:

Posem x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, obtenim

Així, I =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I =frac{1}{a} heta + c

Com, x = a tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral amb a ² + x ² .

Considerem un exemple de la integral que implica a²+ x².

Exemple: Trobeu la integral de old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Solució:

Posem, x = a tanθ

⇒ dx = un segon²θ dθ

Així, I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integral amb x ² – a ² .

Considerem un exemple de la integral que implica x²– a².

Exemple: Trobeu la integral de old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Posem, x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Així, I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

Com obtenir emojis d'Apple a Android

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Llegeix més,

• Fórmules d'integració
• Integració per substitució
• Integració per parts

Exemples de problemes de substitució trigonomètrica

Problema 1: Trobeu la integral de old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Solució:

Prenent 5 comuns en denominador,

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Segons el teorema 1, a =frac{3}{5}

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Problema 2: Trobeu la integral de old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Solució:

Prenent √2 comú al denominador,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Segons el teorema 1, a = 2

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Problema 3: Trobeu la integral de old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Solució:

En reordenar, aconseguim

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

conversió de cadena java a nombre enter

Aquí prenent, a = 3 i x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Substituint aquests valors,

jo =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Prenem,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Substituint aquests valors, obtenim

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Com, u = cos θ i x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ en =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ en =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Per tant, I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Problema 4: Trobeu la integral de old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Solució:

Prenent 9 comú en denominador,

jo =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Segons el teorema 2, a =frac{2}{3}

⇒ I =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Problema 5: Trobeu la integral de old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Solució:

Prenent 4 comuns en denominador,

jo =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Segons el teorema 3, a =frac{5}{4}

⇒ I =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Problema 6: Trobeu la integral de old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Solució:

Prenent 2 comuns en denominador,

jo =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

jo =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Segons el teorema 4, a =frac{3}{2}

jo =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

com bloquejar els anuncis de youtube a Android

jo =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

jo =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

jo =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

jo =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Problema 7: Trobeu la integral de old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Solució:

Després de reordenar, aconseguim

jo =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

jo =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

jo =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

jo =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Segons el teorema 2, tenim

x = x-frac{1}{2} i a =frac{sqrt{3}}{2}

jo =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

jo =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Substitució trigonomètrica - Preguntes freqüents

Què és la substitució trigonomètrica?

La substitució trigonomètrica és una tècnica d'integració utilitzada per resoldre les integrals que impliquen expressions amb radicals i arrels quadrades com ara √(x²+ a²), √(a²+ x²), i √(x²– a²).

Quan he d'utilitzar la substitució trigonomètrica?

La substitució trigonomètrica és útil quan teniu una integral que implica una expressió radical, especialment quan l'expressió radical conté un terme quadràtic.

Quines són les tres substitucions trigonomètriques que s'utilitzen habitualment en integrals?

Les tres substitucions trigonomètriques que s'utilitzen habitualment són:

• Substituïu x = a sin θ quan l'expressió radical conté un terme de la forma a²–x².
• Substituïu x = a tan θ quan l'expressió radical conté un terme de la forma x²– a².
• Substituïu x = a sec θ quan l'expressió radical conté un terme de la forma x²+ a².

Com tria algú quina substitució trigonomètrica utilitzar?

Heu de triar la substitució trigonomètrica en funció de la forma de l'expressió radical. Si l'expressió radical conté un terme de la forma a^2 – x^2, utilitzeu x = a sin θ. Si l'expressió radical conté un terme de la forma x^2 – a^2, utilitzeu x = a tan θ. Si l'expressió radical conté un terme de la forma x^2 + a^2, utilitzeu x = a sec θ.