Els símbols de conjunts són un terme col·lectiu utilitzat per a tots els símbols utilitzats en la teoria de conjunts, que és la branca de les matemàtiques que s'ocupa de la col·lecció d'objectes i les seves diverses propietats. Un conjunt és una col·lecció d'objectes ben definida on cada objecte de la col·lecció s'anomena element i cada element del conjunt segueix una regla molt específica. Generalment, les majúscules dels alfabets anglesos s'utilitzen per a designar conjunts i algunes lletres denoten alguns conjunts específics en la teoria de conjunts.
Hi ha molts símbols utilitzats al llarg de l'estudi d'aquesta branca de les matemàtiques, alguns dels símbols comuns són {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø, etc. Tractarem tots aquests símbols en detall a l'article. inclosa la història d'aquests símbols també. Per tant, comencem el nostre viatge per aprendre sobre diversos símbols de conjunts diferents utilitzats a la teoria de conjunts.
Taula de contingut
- Què són els símbols conjunts?
- Història dels símbols conjunts
- Conceptes bàsics dels símbols conjunts
- Establir símbols en matemàtiques
- Símbols de teoria de conjunts
- Exemples resolts sobre símbols de conjunt
- Pregunta de pràctica per a conjunt de símbols
- Preguntes freqüents
Què són els símbols conjunts?
Els símbols conjunts són blocs bàsics de les matemàtiques que s'utilitzen per representar i descriure grups d'objectes, nombres o elements que tenen propietats similars. Aquests símbols ofereixen un enfocament clar i coherent per comunicar idees difícils sobre els conjunts i les seves interaccions. El símbol de conjunt més típic és ∈, que significa pertinença i es pronuncia com a pertany a. ∈ indica que un element forma part d'un conjunt específic.
En canvi, ∉ significa que un element no forma part d'un conjunt. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅, etc. són alguns dels exemples comuns de símbols en la teoria de conjunts. Aquests i altres símbols permeten als matemàtics definir operacions, especificar operacions i formular afirmacions matemàtiques exactes, establint les bases per a una varietat d'especialitats matemàtiques i usos pràctics.
Llegeix més sobre Teoria de conjunts .
Exemple de conjunt de símbols
Utilitzem el símbol, que significa la intersecció de conjunts, com a il·lustració. Siguin E i F dos conjunts tals que el conjunt E = {1, 3, 5, 7} i el conjunt F = {3, 6, 9}. Aleshores, el símbol ∩ representa la intersecció entre tots dos conjunts, és a dir, E ∩ F.
Aquí, E ∩ F conté tots els elements que són comuns als dos conjunts E i F, és a dir, {3}.
En conclusió, el símbol ∩ s'utilitza per identificar els elements que comparteixen dos o més conjunts. La intersecció només produeix conjunts que tenen elements que són compartits per tots els conjunts que s'estan intersecant.
Aprendre mes sobre Intersecció de conjunts .
Història dels símbols conjunts
Entre 1874 i 1897, un matemàtic alemany va trucar Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor va desenvolupar una teoria abstracta anomenada Teoria de Conjunts. Ho va proposar mentre investigava algunes preocupacions de fets relacionades amb formes específiques de conjunts infinits de nombres reals. Un conjunt, segons la noció, és una agrupació de determinats objectes d'observació definits i diferents. Totes aquestes coses s'anomenen membres o components del conjunt. La propietat de les combinacions de nombres algebraics reals és el fonament de la teoria de Cantor.
Conceptes bàsics dels símbols conjunts
En la teoria de conjunts es cobreixen diverses idees a diferents nivells d'escolarització. La representació de conjunts, els tipus de conjunts, les operacions de conjunts (com ara la unió i la intersecció), la cardinalitat i les relacions de conjunts, etc. es troben entre els conceptes essencials. Alguns dels conceptes essencials de la teoria de conjunts són els següents:
Conjunt universal
La lletra majúscula 'U' s'utilitza habitualment per representar un conjunt universal. També es simbolitza ocasionalment per ε (èpsilon). És un conjunt que conté tots els elements d'altres conjunts així com els seus.
Complement de Set
El complement d'un conjunt comprèn tots els components del conjunt universal excepte els elements del conjunt que s'està examinant. Si A és un conjunt, els seus complements contindran tots els membres del conjunt universal especificat (U) que no estan inclosos en A. El complement d'un conjunt s'indica o s'expressa com A' o Aci es defineix com:
A’= {x ∈ U: x ≠ A}
Llegeix més sobre Complement de Set .
Estableix la notació del constructor
La notació del constructor de conjunts és el mètode per representar conjunts de tal manera que quan no necessitem llistar tots els elements del conjunt, només hem d'especificar la regla que segueixen tots els elements del conjunt. Alguns exemples d'aquestes anotacions són:
Si A és una col·lecció de nombres reals.
A = {x : x ∈ R}
Si A és una col·lecció de nombres naturals.
A = {x : x> 0 i x ∈ Z]
On AMB és un conjunt de nombres enters.
Llegeix més, Representació de conjunts .
Establir símbols en matemàtiques
Per referir-se a diverses coses i quantitats, el símbol de conjunt utilitza sovint una llista predefinida de símbols variables. Per llegir i crear una notació conjunta, primer heu d'entendre com utilitzar símbols en situacions diverses. Vegem tota la notació de la teoria de conjunts i els símbols relatius a operacions, relacions, etc., juntament amb els seus significats i exemples, sota aquesta categoria.
Símbols utilitzats en el sistema numèric
Els símbols utilitzats en els sistemes numèrics s'inclouen a la taula següent:
| Símbol | Nom | Significat/Definició | Exemple |
|---|---|---|---|
| W o 𝕎 | Nombres sencers | Aquests són els nombres naturals. | Sabem que N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈ N |
| N o ℕ | Nombres naturals | Els nombres naturals de vegades s'anomenen nombres de recompte que comencen per 1. | Sabem que W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z o ℤ | Nombres enters | Els nombres enters són comparables als nombres enters, excepte que també inclouen valors negatius. | Sabem que Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .} -6 ∈ Z |
| Q o ℚ | Nombres racionals | Els nombres racionals són els que s'especifiquen com a/b. En aquest cas, a i b són nombres enters amb b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z i b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P o ℙ | Nombres irracionals | Els nombres que no es poden representar en forma de a/b s'anomenen nombre irracional, és a dir, tots els nombres reals que no són racionals. caràcter a int java | P = x π i ∈ P |
| R o ℝ | Nombres reals | Els nombres enters, els nombres racionals i els nombres irracionals formen els nombres reals. | R= x 6,343434 ∈ R |
| C o ℂ | Nombres complexos | Un nombre complex és una combinació d'un nombre real i un nombre imaginari. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 i ∈ C |
Símbols de teoria de conjunts
Els delimitadors són caràcters especials o seqüències de caràcters que indiquen l'inici o el final d'una determinada instrucció o cos de funció d'un conjunt especificat. Els següents són els símbols i significats de la teoria de conjunts de delimitadors:
| Símbol | Nom | Significat/Definició | Exemple |
|---|---|---|---|
| {} | Conjunt | Dins d'aquests claudàtors hi ha un munt d'elements/números/alfabets en un conjunt. | {15, 22, c, d} |
| | | De tal manera que | S'utilitzen per construir un conjunt especificant el que hi ha contingut. | q> 6 La declaració especifica la col·lecció de totes les q de manera que q és més gran que 6. |
| : | De tal manera que | De vegades s'utilitza el símbol : en lloc del | símbol. | La frase anterior es pot escriure alternativament com q . |
Conjunts i símbols relacionals en la teoria de conjunts
Els símbols de la teoria de conjunts s'utilitzen per identificar un conjunt específic així com per determinar/mostrar una relació entre diferents conjunts o relacions dins d'un conjunt, com ara la relació entre un conjunt i el seu constituent. La taula següent mostra aquests símbols de relació, juntament amb els seus significats i exemples:
| Símbol | Nom | Significat/Definició | Exemple |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | És un component de | Això especifica que un element és membre d'un conjunt específic. | Si un conjunt A={12, 17, 18, 27} podem dir que 27 ∈ a. |
| b ∉ B | No és un component de | Això indica que un element no pertany a un conjunt determinat. | Si un conjunt B={c, d, g, h, 32, 54, 59} aleshores qualsevol element que no sigui el del conjunt no pertany a aquest conjunt. Com a exemple, 18 ∉ B. |
| A = B | Relació d'Igualtat | Els conjunts proporcionats són equivalents en el sentit que tenen els mateixos components. | Si poseu P={16, 22, a} i Q={16, 22, a} aleshores P=Q. |
| A ⊆ B | Subconjunt | Quan tots els elements d'A estan presents a B, A és un subconjunt de B. | A= {31, b} i B={a, b, 31, 54} {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Subconjunt adequat | Es diu que P és un subconjunt propi de B quan és un subconjunt de B i no és igual a B. | A= {24, c} i B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | No és un subconjunt | Com a resultat, el conjunt A no és un subconjunt del conjunt B. | A = {67,52} i B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | Superconjunt | A és un superconjunt de B si el conjunt B és un subconjunt de A. El conjunt A pot ser igual o més gran que el conjunt B. | A = {14, 18, 26} i B = {14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Superconjunt adequat | El conjunt A té més elements que el conjunt B ja que és un superconjunt de B. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | No és un superconjunt | Quan tots els elements de B no estan presents a A, A no és un veritable superconjunt de B. | A = {11, 12, 16} i B = {11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Conjunt buit | Un conjunt buit o nul és aquell que no inclou cap element. | {22, i} ∩ {33, a} = Ø |
| EN | Conjunt universal | Un conjunt que conté elements de tots els conjunts rellevants, inclòs el propi. | Si, A = {a,b,c} i B = {1,2,3,b,c}, aleshores U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| o n{A} | Cardinalitat d'un conjunt | La cardinalitat fa referència al nombre d'elements d'una col·lecció concreta. | Si A= {17, 31, 45, 59, 62}, aleshores |A|=5. |
| P(X) | Conjunt de potència | Un conjunt de potències és el conjunt de tots els subconjunts del conjunt X, inclòs el propi conjunt i el conjunt nul. | Si, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Símbols basats en operadors en la teoria de conjunts
Amb exemples, estudiarem els símbols i els significats de la teoria de conjunts per a nombroses operacions com ara la unió, el complement, la intersecció, la diferència i altres.
| Símbol | Nom | Significat/Definició | Exemple |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Unió de Conjunts | La unió de conjunts crea un conjunt completament nou combinant tots els components dels conjunts proporcionats. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (A unió B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Intersecció de conjunts | El component comú d'ambdós conjunts s'inclou a la intersecció. | A = {4, 8, a, b} i B = {3, 8, c, b}, aleshores A ∩ B = {8, b} |
| XcOX’ | Complement d'un conjunt | El complement d'un conjunt comprèn totes les coses que no pertanyen al conjunt proporcionat. | Si A és un conjunt universal i A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} i B = {13, 15, 17, 18, 19} aleshores X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A - B | Estableix la diferència | El conjunt de diferències és un conjunt que conté elements d'un conjunt que no es troben en un altre. | A = {12, 13, 15, 19} i B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Producte cartesià de conjunts | Un producte cartesià és el producte dels components ordenats dels conjunts. | A = {4, 5, 6} i B = {r} Ara, A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Diferència simètrica de conjunts | A Δ B = (A – B) U (B – A) denota la diferència simètrica. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Llegeix més
- Tipus de conjunts
- Funcionament en platós
Exemples resolts sobre símbols de conjunt
Exemple 1: Donats dos conjunts amb P={21, 32, 43, 54, 65, 75} i Q={21, 43, 65, 75, 87, 98} quin és el valor de P∪Q?
Resposta:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} i Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Exemple 2: Quin és el valor de |Y| si Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Resposta:
|Y| = Cardinalitat del conjunt=nombre d'elements del conjunt és la solució.
declaració de cas java|Y| = n(Y)=6, ja que el conjunt Y té 6 elements.
Exemple 3: Donats dos conjunts amb valors P={a,c,e} i Q={4,3}, determineu el seu producte cartesià.
Resposta:
Producte cartesià = P × Q
Si P={b, d, f} i Q={5, 6}
Aleshores P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Exemple 4: Suposem que P = {x: x és un nombre enter natural i múltiple de 24, i Q = {x: x és un nombre natural menor que 8}. Determineu P ∪ Q.
Resposta:
Donat que
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
cadena json javaQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Com a resultat, P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Exemple 5: Suposem que P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Trobeu (P ∩ Q)’.
Resposta:
Donat, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Per tant,
(P ∩ Q)’ = {3, 5, 6, 7, 8}
Exemple 6: si P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} i Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, determineu
(i) P-Q i (ii) P-Q.
Resposta:
Donat,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} i Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Pràctica de preguntes per a conjunt de símbols
Pregunta 1: Donats els conjunts:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Determineu els elements de la unió dels conjunts A i B.
Pregunta 2: Considerem els conjunts:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- I = {3, 4, 5, 6, 7}
Trobeu la intersecció dels conjunts X i Y.
Pregunta 3: Suposem que tens els conjunts:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Calcula els elements del conjunt P – Q així com Q – P.
Pregunta 4: Suposem que tens els conjunts:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Esbrineu si el conjunt V és un subconjunt del conjunt U.
Pregunta 5: Considereu els conjunts:
- S = {poma, plàtan, taronja, pera}
- T = {pera, mango, cirera}
Trobeu el producte cartesià dels conjunts S i T.
Pregunta 6: Suposem que tens el conjunt universal:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
I els conjunts:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Calcula el complement del conjunt E i F respecte al conjunt universal U.
Preguntes freqüents sobre els símbols de conjunt
1. Definiu Conjunt Símbol.
El símbol de conjunt és una branca que estudia agrupacions d'entitats/nombres/objectes, les seves relacions amb altres conjunts, diferents operacions (unió, intersecció, complement i diferència) i les característiques associades.
2. Què representa aquest símbol ⊆?
El símbol ⊆ significa que és un subconjunt de. Un subconjunt és un conjunt els elements del qual s'han afegit com si tots fossin elements d'un altre conjunt.
3. Què vol dir ∪ en conjunts?
'∪' és el signe de la unió conjunta. A ∪ B és un conjunt que conté tots els elements dels conjunts A i B.
4. Què representa P = Q?
Si el conjunt P és igual al conjunt Q, aleshores els membres de P i Q són els mateixos. Per exemple:
P = {4,5,6} i Q = {6,5,4}
Com a resultat, P = Q.
5. En matemàtiques, què vol dir ∩?
‘∩’ significa la unió de dos conjunts. A ∩ B és un conjunt que conté elements compartits per A i B.
6. Què és ∈ en conjunts?
∈ és un signe que significa 'pertany a'. Si b ∈ B, indica que b és un element de B.
7. Quin és el conjunt N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} conegut com?
El conjunt de nombres naturals es defineix com N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Conté tots els nombres positius, que van des de l'1 fins a un nombre infinit. Aquesta col·lecció és crucial per a les matemàtiques i proporciona un marc tant per ordenar com per comptar.
8. Què és A × B en conjunts?
El producte cartesià dels conjunts A i B es mostra com A x B al símbol del conjunt. És el conjunt que inclou tots els possibles aparellaments ordenats en què el primer element es dibuixa del conjunt A i el segon del conjunt B.
9. Com llegiràs A ∩ B?
A∩B es pronuncia A intersecció B. Significa el conjunt que conté elements que són comuns en ambdós conjunts.
10. Què significa el Ø en teoria de conjunts?
En la teoria de conjunts, la idea d'un conjunt buit, que no té elements, es denota amb el símbol Ø (pronunciat conjunt buit).
11. Què és l'AUB?
AUB en matemàtiques significa la unió dels conjunts A i B. Es refereix al conjunt que inclou tots els elements dels dos conjunts A i B.
12. És el mateix ∅ que {}?
Sí, ∅ i {} representen el conjunt buit en matemàtiques. Per tant, tots dos són la notació diferent de la mateixa cosa.