Subconjunts en matemàtiques són un concepte bàsic en l'estudi de la teoria de conjunts, semblant als conjunts. Un grup d'elements, objectes o membres tancats entre claus, com ara {x, y, z} s'anomena a Conjunt , on cada membre del conjunt és únic. Així, per a un conjunt de {x, y, z} els possibles subconjunts són {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} o { x, y, z}. Mentre defineix un conjunt, els seus elements poden ser nombres reals, constants, variables o qualsevol altre objecte també.
Aquest article explora el concepte de subconjunts en detall i fa que sigui fàcil d'entendre per a tots els lectors de l'article sense tenir en compte el seu nivell acadèmic. Tots els subtemes, com ara el seu significat, definició, símbol, exemple i molts més, es tracten a l'article amb molts exemples. Per tant, comencem el nostre viatge cap a la terra de la teoria de conjunts i entenem aquest concepte de subconjunts.
En aquest article, hem proporcionat informació detallada sobre què són els subconjunts en matemàtiques, els superconjunts en matemàtiques, el subconjunt adequat i el subconjunt impropi amb exemples i preguntes freqüents.
Taula de contingut
- Què són els subconjunts en matemàtiques?
- Exemple de subconjunts
- Conjunt de potències d'un conjunt
- Tipus de subconjunts
- Subconjunt adequat
- Subconjunt inadequat
- Subconjunts propis i impropis
- Subconjunts vs Superconjunts
Què són els subconjunts en matemàtiques?
Un conjunt 'A' és un subconjunt del conjunt 'B' si tots els elements del conjunt A estan sota el conjunt B. A més, un subconjunt pot ser igual a un conjunt en un cas particular quan tots els elements d'un subconjunt estan continguts en el conjunt B. conjunt.
Per tal d'entendre millor un subconjunt, considerem que un conjunt A és una col·lecció de nombres senars i que el conjunt B consta de {1,3,5}, de manera que aquí B és un subconjunt de A i A és un superconjunt de B.
Per exemple: Si el conjunt A conté {poma, plàtan} i el conjunt B conté {totes les fruites}, llavors A és el subconjunt de B.
Considerem un exemple més per a una millor comprensió.
Exemple: Determineu quin és el subconjunt i quin és el superconjunt, si A = {a, e, i, o, u} i B = { Tots els alfabets}.
Resposta:
freddie mercury
Aquí A conté tots els elements vocals que formen part dels alfabets. Així, aquí A és el subconjunt de B i B és el superconjunt de A.
Definició de subconjunt
Matemàticament, se suposa que un conjunt A és un subconjunt del conjunt B si tots els components del conjunt A també existeixen al conjunt B. Per tant, el subconjunt és un subgrup de qualsevol conjunt. El conjunt A està, en altres paraules, contingut dins del conjunt B.
Per exemple: Si el conjunt A = {1, 2, 3} i el conjunt B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, podem dir que el conjunt A és un subconjunt del conjunt B ja que tots els elements del conjunt A estan disponibles al conjunt B.
Subconjunt Significat
Un conjunt els elements del qual són tots elements d'un conjunt inclusiu és el significat de subconjunt. Considereu un conjunt X tal que X comprèn els noms de tots els rius d'un país. Un altre conjunt Y inclou els noms dels rius del vostre nord de l'Índia. Aquí y serà un subconjunt de x perquè tots els rius del nord de l'Índia serien també rius del nostre país; per tant, Y és un subconjunt de X. Només hi ha un nombre definit de subconjunts diferents o únics per a qualsevol conjunt, per tant, els restants són irrellevants i repetitius.
Exemple: enumera tots els subconjunts del conjunt Q = {1, 2, 3}.
Resposta:
Els subconjunts de Q són { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} i {1, 2, 3}
Símbol de subconjunt
Un subconjunt s'indica amb el símbol i es llegeix com 'és un subconjunt de' a teoria de conjunts . Un subconjunt es representa amb un símbol donat per ⊆. Els subconjunts es poden expressar amb aquest símbol de la manera següent:
A ⊆ B això significa que el conjunt A és un subconjunt del conjunt B.
declaració bash if
Exemple de subconjunts
L'única necessitat que un conjunt A sigui un subconjunt d'un conjunt B és que tots els elements d'A estiguin presents a B. Aquí hi ha alguns exemples de subconjunts basats en això.
- A = {2, 3, 10} és un subconjunt de B = {1, 2, 3, 4, 10},
- P = El conjunt de tots els nombres primers és un subconjunt de N = Conjunt de tots els nombres naturals, i
- X = {a, e, i, o,u} són una col·lecció de vocals i és un subconjunt de Y = Conjunt de tots els alfabets.
Val la pena assenyalar que cada conjunt és un subconjunt de si mateix, igual que el conjunt buit ().
Exemple: El conjunt nul pot ser un subconjunt de qualsevol conjunt?
Resposta:
Null és un subconjunt de cada conjunt. Per defecte considerem aquest fet que tots els conjunts contenen un element anomenat conjunt nul.
Subconjunts de nombre real
Els nombres reals que es poden expressar com a nombres decimals es divideixen en diverses categories. Des de la teva existència diària, sens dubte ja estàs familiaritzat amb les fraccions, els decimals i els nombres de recompte. Els nombres següents es consideren com a subconjunt de nombres reals:
- Nombres racionals : Qualsevol nombre que es pugui expressar com a fracció, p/q, on p i q són tots dos nombres enters positius. Aquests són decimals no terminants, repetitius i decimals finals en forma decimal. Ex: -5/9, 1/8
- Nombres irracionals : Aquests nombres no acaben ni es repeteixen quan s'expressen en forma decimal. Ex: e.
- Nombres enters : Tots els nombres de recompte, inclòs el zero i els seus oposats. Ex: -2,-1,0,3
- Nombres sencers : zero i tots els nombres de recompte positius. Ex- 0, 2, 500
- Nombres naturals : Tots els números de recompte positius. Ex- 1,2,40
Exemple: a quins subconjunts dels nombres reals pertany -5?
Resposta:
-5 és un nombre racional i un nombre enter.
Conjunt de potències d'un conjunt
Un conjunt conjunt de potència consta de cada subconjunt, així com el conjunt original i el conjunt buit. P(A) representa el conjunt de potències d'un conjunt determinat A. Per exemple, si A = {1, 2}, aleshores P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Aquí podem veure clarament que tots els subconjunts de A estan continguts en el P(A), és a dir, el conjunt de potències de A.
Nombre de subconjunts d'un conjunt
Per a qualsevol conjunt A, el nombre de seusets es dóna mitjançant la fórmula següent
Nombre de subconjunts = 2 n
On n és el nombre d'elements del conjunt.
Com que el conjunt de potències conté tots els subconjunts de qualsevol conjunt, per tant, per a un conjunt A que té 'n' elements, P(A) té 2nelements.
Exemple: Quants elements d'un conjunt de potències es poden formar si hi ha quatre elements en un conjunt?
Resposta:
El nombre d'elements de poder conjunt amb tres elements és 24= 16.
Tipus de subconjunts
Hi ha dos tipus de subconjunts que són:
- Subconjunt adequat
- Subconjunt inadequat
Parlem d'aquests tipus en detall de la següent manera:
Subconjunt adequat
A subconjunt adequat només inclou uns quants membres del conjunt original. El subconjunt adequat mai pot ser igual al conjunt original. En el subconjunt propi, s'exclou el subconjunt que forma el conjunt original.
Símbol de subconjunt adequat
Un subconjunt propi es denota amb ⊂,
el meu cricket viu
Podem expressar un subconjunt propi per al conjunt A i el conjunt B com;
A ⊂ B
Exemple de subconjunts propis
Sigui el conjunt A = {1, 3, 5}, aleshores els subconjunts propis de A són {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. A més, {1, 3, 5} és un subconjunt d'A però no és un subconjunt propi d'A.
Fórmula de subconjunt adequada
El nombre de subconjunts propis d'un conjunt amb 'n' elements és 2n– 1.
Exemple: un conjunt conté 3 elements, quin serà el nombre de subconjunts propis?
Resposta:
Nombre de subconjunts propis = 2n– 1
Aquí, n = 3
N = 23– 1 = 7
Subconjunt inadequat
An subconjunt inadequat conté inclou tant el conjunt nul com cada membre del conjunt inicial. El subconjunt inadequat pot ser igual al conjunt original. En el subconjunt impropi s'inclou el subconjunt que forma el conjunt original. Això es representa amb el símbol ⊆ .
Exemple: Quin serà el subconjunt impropi del conjunt A = {1, 3, 5}?
Resposta:
Subconjunt incorrecte: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} i {1,3,5}
Fórmula de subconjunt inadequada
Per a una col·lecció de ‘n’ elements, el nombre de subconjunts impropis és sempre 1. És a dir, el nombre de subconjunts impropis d’un conjunt és independent del nombre dels seus elements.
Aprèn més, Fórmules de teoria de conjunts
Subconjunts propis i impropis
Les diferències clau entre els subconjunts adequats i els subconjunts impropis es mostren a la taula següent:
convertir una cadena en enter
| Subconjunt adequat | Subconjunt inadequat |
|---|---|
| Conté alguns dels elements d'un conjunt. | Conté tots els elements d'un conjunt. |
| Mai serà igual a un conjunt de regals. | Sempre és igual a un conjunt donat. |
| El nombre de subconjunts propis d'un conjunt amb 'n' elements és 2n– 1. | Per a una col·lecció de 'n' elements, el nombre de subconjunts impropis és sempre 1. |
| El símbol ⊂ només s'utilitza per als subconjunts propis. | El símbol ⊆ s'utilitza per a subconjunts impropis. |
Exemple: per a un conjunt P = {1,2} trobeu el subconjunt propi i impropi.
Solució:
canviar el nom de la carpeta de Linux
El conjunt adequat ve donat per { }, {1} i {2}
El conjunt inadequat ve donat per { }, {1}, {2} i {1,2}
Subconjunts vs Superconjunts
Les diferències clau entre tots dos subconjunts i superconjunts s'enumeren a la taula següent:
| Aspecte | Subconjunt | Superconjunt |
|---|---|---|
| Definició | Un subconjunt és un conjunt que conté menys o els mateixos elements que un altre conjunt. | Un superconjunt és un conjunt que conté tots o més elements que un altre conjunt. |
| Relació | La relació de subconjunt es denota com A ⊆ B, on A és un subconjunt de B. | La relació de superconjunt es denota com A ⊇ B, on A és un superconjunt de B. |
| Exemple | {1, 2} és un subconjunt de {1, 2, 3}. | {1, 2, 3} és un superconjunt de {1, 2}. |
| Mida | La mida del subconjunt és menor o igual a la mida del superconjunt. | La mida del superconjunt és superior o igual a la mida del subconjunt. |
| Inclusió | Tots els elements d'un subconjunt són també elements del superconjunt. | Un superconjunt inclou tots els elements del subconjunt i possiblement més. |
| Relacions | Un conjunt pot tenir diversos subconjunts. | Un conjunt pot tenir diversos superconjunts. |
| Conjunt buit | El conjunt buit (∅) és un subconjunt de cada conjunt. | El conjunt buit (∅) és un superconjunt de cada conjunt. |
Fórmula del subconjunt
Totes les fórmules relacionades amb subconjunts es donen a continuació.
- El nombre de subconjunts d'un conjunt amb n elements és 2n. Això inclou subconjunts tant propis com impropis.
- El nombre de subconjunts propis d'un conjunt amb n elements és 2n– 1.
- El nombre de subconjunts impropis de qualsevol conjunt és sempre 1.
També, Llegir
- Representació de Set
- Tipus de conjunts
- Conjunts universals
Problemes resolts sobre subconjunts
Problema 1: Quants subconjunts en un conjunt amb 4 elements?
Solució:
Un conjunt que contingui 4 elements en tindrà 24elements en ell = 16.
Problema 2: Quants subconjunts en un conjunt amb 5 elements?
Solució:
Un conjunt que contingui 5 elements en tindrà 25elements en ell = 32.
Preguntes freqüents sobre subconjunts
Què són els subconjunts en matemàtiques?
Si tots els components del conjunt A també estan presents al conjunt B, es diu que el conjunt A és un subconjunt del conjunt B. Per dir-ho d'una altra manera, el conjunt B conté el conjunt A.
Què són els subconjunts adequats?
Un subconjunt d'un conjunt A que no és igual a A és un subconjunt propi de A. En altres paraules, si B és un subconjunt propi d'A, aleshores A té almenys un element que no és a B però tots els elements de B són en A.
Què són els subconjunts impropis?
Un subconjunt que inclou tots els components del conjunt original es considera un subconjunt inadequat.
Pot un subconjunt ser igual a si mateix?
Cada conjunt es pensa com un subconjunt de si mateix. El subconjunt propi de cap conjunt és ell mateix. Cada conjunt té el conjunt buit com a subconjunt.
Un subconjunt pot ser un conjunt universal?
Podem dir que el conjunt A és el subconjunt del conjunt B si cada element del conjunt A també és un element del conjunt B. Aleshores, qualsevol conjunt universal donat es pot utilitzar per produir els subconjunts. També és important tenir en compte que cada conjunt universal és en realitat un subconjunt de si mateix.
Un subconjunt pot ser nul?
Sí, un conjunt nul és per defecte un subconjunt de qualsevol conjunt.
Quines són les dues classificacions de subconjunt?
Les classificacions dels subconjunts són:
- Subconjunt adequat
- Subconjunt inadequat