Fórmules de probabilitat Són eines matemàtiques importants utilitzades per calcular la probabilitat. Abans de conèixer les fórmules de probabilitat, hem d'entendre el concepte de probabilitat en resum. La possibilitat que es produeixi un esdeveniment aleatori es defineix per probabilitat. Una probabilitat és una possibilitat de predicció. Les seves aplicacions s'estenen a diversos dominis, com ara les estratègies de joc, la creació de previsions basades en la probabilitat en els negocis i el camp en evolució de la intel·ligència artificial.
En aquest article, aprendrem el significat i la definició de la fórmula de probabilitat i com utilitzar aquestes fórmules per calcular la probabilitat. També veiem diversos termes relacionats amb la Probabilitat i diferents fórmules per resoldre fàcilment problemes matemàtics.
Taula de contingut
- Quina és la fórmula de probabilitat?
- Termes relacionats amb la fórmula de probabilitat
- Esdeveniments en fórmula de probabilitat
- Diferents fórmules de probabilitat
- Exemples sobre la fórmula de probabilitat
Quina és la fórmula de probabilitat?
Les fórmules de probabilitat s'utilitzen per determinar les possibilitats d'un esdeveniment dividint el nombre de resultats favorables pel total de resultats possibles. Mitjançant aquesta fórmula, podem estimar la probabilitat associada a una ocurrència específica.
Matemàticament, podem escriure aquesta fórmula com:
P(A) = Nombre de resultats favorables / Nombre total de resultats possibles
La fórmula de probabilitat calcula la proporció de resultats favorables amb el conjunt complet de resultats possibles. El valor de probabilitat es troba dins d'un rang de 0 a 1, el que significa que els resultats favorables no poden superar els resultats totals, i el valor negatiu dels resultats favorables no és possible.
aprendre,
- Probabilitat en matemàtiques
- Teoria de la probabilitat
Com calcular la probabilitat?
Probabilitat d'un esdeveniment = (Recompte de resultats favorables) / (Nombre total de resultats possibles per a l'esdeveniment)
P(A) = n(E) / n(S)
python __dict__P(A) <1
Aquí, P(A) significa la probabilitat d'un esdeveniment A, on n(E) és el recompte de resultats favorables, i n(S) és el nombre total de resultats possibles per a l'esdeveniment.
Quan es considera l'esdeveniment complementari, representat com P(A'), que denota la no aparició de l'esdeveniment A. aleshores la fórmula serà:
P(A’) = 1- P(A)
P(A’), és el contrari de l’esdeveniment A, indicant que es produeix l’esdeveniment P(A) o el seu complement P(A’).
Per tant, ara podem dir; P(A) + P(A’) = 1
aprendre,
- Esdeveniments en probabilitat
- Tipus d'esdeveniments en probabilitat
Termes relacionats amb la fórmula de probabilitat
Alguns dels termes més comuns relacionats amb la fórmula de probabilitat són:
- Experiment: Un experiment és una acció o procediment dut a terme per generar un resultat determinat.
- Espai de mostra: L'espai de mostra inclou els resultats potencials complets que provenen d'un experiment. Per exemple, en llançar una moneda, l'espai mostral inclou {cap, cua}.
- Resultat favorable: Un resultat favorable és el resultat que s'alinea amb la conclusió prevista o esperada. En el cas de llançar dos daus, exemples de resultats favorables que resulten en una suma de 4 són (1,3), (2,2) i (3,1).
- Prova: Un assaig denota l'execució d'un experiment aleatori.
- Experiment aleatori: A Experiment aleatori es caracteritza per un conjunt ben definit de possibles resultats. L'exemple d'experiment aleatori és llançar una moneda, on el resultat podria ser cap o cua. Això vol dir que el resultat seria incert.
- Esdeveniment: Un esdeveniment indica que els resultats totals provenen d'un experiment aleatori.
- Esdeveniments igualment probables: Els esdeveniments igualment probables són aquells esdeveniments que tenen idèntiques probabilitats d'ocurrència. El resultat d'un esdeveniment no afecta el resultat d'un altre.
- Esdeveniments exhaustius: Un esdeveniment exhaustiu es produeix quan el conjunt de tots els resultats possibles cobreix l'espai mostral complet.
- Esdeveniments mútuament exclusius: Esdeveniments mútuament exclusius són aquells que no es poden produir simultàniament. Per exemple, quan tirem la moneda, el resultat serà cap o cua, però no podem aconseguir tots dos alhora.
Esdeveniments en fórmula de probabilitat
En la teoria de la probabilitat, un esdeveniment representa un conjunt de possibles resultats derivats d'un experiment. Sovint forma un subconjunt de l'espai mostral global. Si representem la probabilitat d'un esdeveniment E com a P(E), s'apliquen els principis següents:
Quan l'esdeveniment E és impossible, aleshores P(E) = 0.
Quan l'esdeveniment E és cert, aleshores P(E) = 1.
La probabilitat P(E) està entre 0 i 1.
Considereu dos esdeveniments, A i B. La probabilitat de l'esdeveniment A, denotada com a P(A), que és més gran que la probabilitat de l'esdeveniment B, P(B).
Per a un esdeveniment particular E, la fórmula de probabilitat serà:
P(E)= n(E)/n(S)
Aquí, n (E) representa el nombre de resultats favorables a l'esdeveniment E.
n(S) denota el recompte total de resultats dins de l'espai mostral.
Diferents fórmules de probabilitat
Les diferents fórmules de probabilitat es discuteixen a continuació:
Fórmula de probabilitat clàssica
P(A) = Nombre de resultats favorables/Nombre total de resultats possibles
Fórmula de la regla d'addició
Quan tractem un esdeveniment que és la unió de dos esdeveniments separats, per exemple A i B, la probabilitat de la unió serà:
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Fórmula de probabilitat conjunta
Representa els elements comuns que constitueixen els diferents subconjunts dels dos esdeveniments A i B. La fórmula es pot expressar com:
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
Regla addicional per a esdeveniments mútuament exclusius
Si els esdeveniments A i B s'exclouen mútuament, això vol dir que no poden succeir al mateix temps, la probabilitat que ocorri un esdeveniment és igual a la suma de les seves probabilitats respectives.
P(A o B)=P(A)+P(B)
Fórmula de regla complementària
Si A és un esdeveniment, aleshores la probabilitat de no A s'expressa mitjançant una regla complementària:
P(no A) = 1 – P(A) o P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
Algunes fórmules de probabilitat basades en elles són les següents:
P(A.A’) = 0
P(A.B) + P (A’.B’) = 1
P(A’B) = P(B) – P(A.B)
P(A.B’) = P(A) – P(A.B)
P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)
Fórmula de regla condicional
En el cas en què ja es coneix l'ocurrència de l'esdeveniment A, es produirà la probabilitat de l'esdeveniment B, anomenada probabilitat condicional. Es pot calcular mitjançant la fórmula:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): Probabilitat (condicional) de l'esdeveniment B quan s'ha produït l'esdeveniment A.
P (A/B): Probabilitat (condicional) de l'esdeveniment A quan s'ha produït l'esdeveniment B.
Fórmula de freqüència relativa
La fórmula de la freqüència relativa es basa en les freqüències observades a les dades del món real. Aquesta fórmula es dóna com
P(A) = Nombre de vegades que es produeix l'esdeveniment A/Nombre total d'assaigs o observacions
Fórmula de probabilitat amb la regla de la multiplicació
En situacions en què un esdeveniment representa l'ocurrència simultània de dos altres esdeveniments, denominats esdeveniments A i B, les probabilitats que tots dos esdeveniments succeeixin simultàniament es poden calcular utilitzant aquestes fórmules:
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (en cas d'esdeveniments independents)
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (en cas d'esdeveniments dependents)
Esdeveniment discontinu
Els esdeveniments discontinus són esdeveniments que mai ocorren al mateix temps. Aquests també es coneixen com a esdeveniments mútuament exclusius.
P(A∩B) = 0
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes calcula la probabilitat de l'esdeveniment A donada l'ocurrència de l'esdeveniment B. La fórmula del teorema de Baye es dóna com
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
aprendre, Teorema de Bayes
Fórmula de probabilitat dependent
La probabilitat dependent són esdeveniments que es veuen afectats per l'ocurrència d'altres esdeveniments. La fórmula per a la probabilitat dependent és:
P(B i A) = P(A)×P(B | A)
Fórmula de probabilitat independent
La probabilitat independent són esdeveniments que no es veuen afectats per l'ocurrència d'altres esdeveniments. La fórmula de la probabilitat independent és:
P(A i B) = P(A)×P(B)
Fórmula de probabilitat binominal
La fórmula de probabilitat binomial es dóna com
P(x) = n C x · pàg x (1 − p) n−x o P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p r (1 − p) n−r
On, n = Nombre total d'esdeveniments
r o x = Nombre total d'esdeveniments reeixits.
p = Probabilitat d'èxit en un sol assaig.
nCr= [n!/r!(n−r)]!
1 – p = Probabilitat de fallada.
aprendre, Distribució binomial
Fórmula de probabilitat normal
La fórmula de probabilitat normal ve donada per:
P(x) = (1/√2П) e (-x^2/2)
aprendre, Distribució normal
Fórmula de probabilitat experimental
La fórmula de la probabilitat experimental és;
Probabilitat P(x) = Nombre de vegades que ocorre un esdeveniment / Nombre total de proves.
Fórmula de probabilitat teòrica
La fórmula de probabilitat teòrica és,
P(x) = Nombre de resultats favorables/ Nombre de resultats possibles.
Fórmula de probabilitat de desviació estàndard
La fórmula de probabilitat de desviació estàndard es dóna com
P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}
Fórmula de probabilitat de Bernoulli
Una variable aleatòria X tindrà una distribució de Bernoulli amb probabilitat p, la fórmula és:
P(X = x) = p x (1 – p) 1−x , per a x = 0, 1 i P(X = x) = 0 per a altres valors de x
Aquí, 0 és el fracàs i 1 és l'èxit.
aprendre, Distribució Bernoulli
Fórmula de probabilitat Classe 10
A la classe 10, hem d'estudiar probabilitats bàsiques com ara la probabilitat de llançar una moneda, llançar 2 monedes, llançar 3 monedes, llançar un dau, llançar dos daus, la probabilitat de treure una carta d'una baralla ben barrejada. Totes aquestes preguntes es poden resoldre amb una sola fórmula. La Fórmula de Probabilitat Classe 10 es dóna com
P(E) = n(E)/n(s)
On,
P(E) és la probabilitat d'un esdeveniment
n(E) és el nombre de proves en què s'ha produït l'esdeveniment
n(S) és el nombre d'espai mostral
Fórmula de probabilitat per a la classe 12
Les diverses fórmules utilitzades a la classe de probabilitat 12 es mostren a continuació:
Diverses fórmules de probabilitat | |
|---|---|
Nom de la fórmula | Fórmula |
Fórmula de probabilitat experimental o empírica | Nombre de vegades que es produeix un esdeveniment / Nombre total de proves. |
Fórmula de probabilitat clàssica o teòrica | Nombre de resultats favorables/Nombre total de resultats possibles |
Fórmula de probabilitat d'addició | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) |
Fórmula de probabilitat conjunta | P (A ∩ B) = P (A).P (B) |
Regla addicional per a esdeveniments mútuament exclusius | P(A o B)=P(A)+P(B) |
Fórmula de regla complementària | P(no A) = 1 – P(A) o P(A’) = 1 – P(A). P(A) + P(A′) = 1 |
Fórmula de regla condicional | P(B∣A) = P(A∩B)/P(A) |
Fórmula de freqüència relativa | P(A)= Nombre de vegades que es produeix l'esdeveniment A/Nombre total d'assaigs o observacions |
Esdeveniment discontinu | P(A∩B) = 0 |
Teorema de Bayes | P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B) |
Fórmula de probabilitat dependent | P(B i A) = P(A)×P(B | A) |
Fórmula de probabilitat independent | P(A i B) = P(A)×P(B) |
Fórmula de probabilitat binominal | P(x) =nCx· pàgx(1 − p)n−xo P(r) = [n!/r!(n−r)!]· pr(1 − p)n−r |
Fórmula de probabilitat normal | P(x) = (1/√2П) e(-x2/2) |
Fórmula de probabilitat de desviació estàndard | P(x) = (1/σ√2П) e-(x-m)^2/2s^2 |
Fórmula de probabilitat de Bernoulli | P(X = x) = px(1 – p)1-x, per a x = 0, 1 i P(X = x) = 0 per a altres valors de x. |
També, comproveu
- Probabilitat de llançament de monedes
- Probabilitat de la targeta
- Fórmules estadístiques
Exemples sobre la fórmula de probabilitat
Exemple 1: seleccioneu una carta a l'atzar d'una baralla estàndard. Quina és la probabilitat de treure una carta amb cara femenina?
Solució:
En una baralla estàndard que conté 52 cartes: Total de resultats possibles = 52
El nombre d'esdeveniments favorables (considerant només les reines com a cares femenines) = 4
Per tant, la probabilitat P(A) es calcula mitjançant la fórmula:
P(A) = Nombre de resultats favorables ÷ Nombre total de resultats
= 4/52
= 1/13.
Exemple 2: Si la probabilitat de l'esdeveniment E, denotada com a P(E)=0,35, quina és la probabilitat que l'esdeveniment complement 'no E'?
Solució:
Tenint en compte que P(E)=0,35, podem utilitzar la fórmula de probabilitat complementària:
P(E) + P(no E) = 1
Substituint el valor conegut:
P(no E) = 1 – P(E)
P (no E) = 1 – 0,35
Per tant, P (no E) = 0,65
Exemple 3: els incendis perillosos són molt rars al voltant de l'1%, però el fum és bastant comú al voltant del 20% a causa de les barbacoes. Trobeu el foc perillós quan el 80% dels incendis perillosos produeixen fum.
Solució:
Probabilitat d'incendi perillós quan hi ha fum utilitzant el teorema de Bayes:
P(Foc|Fum) = {P(Foc)P(Foc de Fum)}/P(Fum)
P(Foc)=0,01(1%) i P(Fum|Foc)=0,80 (80%), podem substituir aquests valors:
P(Foc | Fum)=( 0,02×0,90)/ 0,30
(Foc | Fum)=0,018/0,30
(Foc | Fum)= 0,06 = 6%.
Exemple 4: Dins d'una bossa, hi ha 2 bombetes verdes, 4 bombetes taronges i 6 bombetes blanques. Quan s'escull una bombeta de la bossa a l'atzar, quina és la probabilitat de triar una bombeta verda o una blanca?
Solució:
El nombre total de bombetes a la bossa és de 2 verdes + 4 taronges + 6 blanques = 12 bombetes
Nombre de bombetes verdes = 2 i el nombre de bombetes blanques = 6
Probabilitat = (Nombre de bombetes verdes + Nombre de bombetes blanques) / Nombre total de bombetes
Probabilitat = (2+6)/12
Probabilitat = 8/12
Probabilitat = 2/3.
Pràctica de preguntes sobre la fórmula de probabilitat
Q1. D'una col·lecció de bales en una bossa (8 vermelles, 9 blaves i 6 verdes), es trien dos marbres a l'atzar sense substituir-los. Quina és la probabilitat que les dues boles seleccionades siguin blaves?
P2. En un calaix que conté 6 bolígrafs negres, 4 bolígrafs blaus i 7 bolígrafs vermells, es dibuixa un bolígraf a l'atzar. Quina és la probabilitat que el bolígraf sigui negre o blau?
P3. Traient una carta d'una baralla de 52 cartes ben barrejada, determineu la probabilitat que la carta:
- Ser un rei.
- No ser un rei.
P4. Segons una enquesta, el 70% de les persones gaudeixen de la xocolata, i entre aquests entusiastes de la xocolata, el 60% també té gust per la vainilla. Quina és la probabilitat que a un individu li agradi la vainilla, donada la seva afició per la xocolata?
P5. Determineu la probabilitat de tirar un nombre senar quan es tira un dau de sis cares.
Fórmula de probabilitat - Preguntes freqüents
1. Què és el significat de probabilitat?
La possibilitat d'ocurrència d'un esdeveniment aleatori es defineix per probabilitat. Una probabilitat és una possibilitat de predicció.
2. Quin és el significat de la fórmula de probabilitat?
Les fórmules de probabilitat s'utilitzen per determinar les possibilitats d'un esdeveniment dividint el nombre de resultats favorables pel total de resultats possibles. El valor de probabilitat es troba dins d'un rang de 0 a 1, el que significa que els resultats favorables no poden superar els resultats totals, i el valor negatiu dels resultats favorables no és possible.
3. Quin és el significat de la notació U i ∩ en Probabilitat?
El símbol U en probabilitat denota una distribució uniforme. D'altra banda, el símbol ∩ significa la intersecció de conjunts. En termes més senzills, la intersecció de dos conjunts és el conjunt més extens que inclou tots els elements compartits per tots dos conjunts.
4. Quina és la fórmula convencional per calcular la probabilitat?
La probabilitat d'un esdeveniment = (nombre de resultats favorables) / (nombre total de resultats possibles per a l'esdeveniment)
P(A) = n(E) / n(S)
P(A) <1
Aquí, P(A) significa la probabilitat d'un esdeveniment A, on n(E) és el recompte de resultats favorables i n(S) és el nombre total de resultats possibles per a l'esdeveniment.
5. Què és la fórmula complementària?
Si A és un esdeveniment, aleshores la probabilitat de no A s'expressa mitjançant una regla complementària:
P(no A) = 1 – P(A) o P(A’) = 1 – P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
6. Què és l'esdeveniment disjunt?
Els esdeveniments discontinus són esdeveniments que mai ocorren al mateix temps. Aquests també es coneixen com a esdeveniments mútuament exclusius.
P(A∩B) = 0.
7. Què és el teorema de Bayes?
P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)
El teorema de Bayes calcula la probabilitat de l'esdeveniment A donada l'ocurrència de l'esdeveniment B.
8. Què és la fórmula condicional?
En el cas en què ja es coneix l'ocurrència de l'esdeveniment A, es produirà la probabilitat de l'esdeveniment B, anomenada probabilitat condicional. Es pot calcular mitjançant la fórmula:
P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)
P (B/A): Probabilitat (condicional) de l'esdeveniment B quan s'ha produït l'esdeveniment A.
P (A/B): Probabilitat (condicional) de l'esdeveniment A quan s'ha produït l'esdeveniment B.
9. Quins són alguns exemples reals de probabilitat?
La predicció del temps, els jocs de cartes, la votació política, els jocs de daus i tirar una moneda, etc. són alguns exemples de probabilitat.