Distribució normal: La distribució normal és la forma més comuna o normal de distribució de variables aleatòries, d'aquí el nom de distribució normal. També s'anomena Distribució gaussiana en Estadística o Probabilitat. Utilitzem aquesta distribució per representar un gran nombre de variables aleatòries.

Aprenem-ne Distribució normal en detall, incloent la seva fórmula, característiques i exemples.

Taula de contingut

• Què és la distribució normal?
• Exemples de distribució normal
• Fórmula de distribució normal
• Corba de distribució normal
• Desviació estàndard de distribució normal
• Gràfic de distribució normal
• Taula de distribució normal
• Propietats de distribució normal
• Distribució normal en estadística
• Problemes de distribució normal i solucions

Què és la distribució normal?

Definim la distribució normal com la funció de densitat de probabilitat de qualsevol variable aleatòria contínua per a qualsevol sistema donat. Ara, per definir la distribució normal, suposem que prenem f(x) com a funció de densitat de probabilitat per a qualsevol variable aleatòria X.

guineu o llop

A més, la funció s'integra entre l'interval, (x, {x + dx}), llavors,

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−∞,+∞),

_-∞ ∫ ^+∞ f(x) = 1

Observem que la corba traçada pels valors superiors de la distribució normal té la forma d'una campana, per tant, la distribució normal també s'anomena Corba de campana .

Comprovar: Python - Distribució normal en estadístiques

Exemples de distribució normal

Podem dibuixar una distribució normal per a diversos tipus de dades que inclouen,

• Distribució de l'alçada de les persones
• Distribució d'errors en qualsevol mesura
• Distribució de la pressió arterial de qualsevol pacient, etc.

Fórmula de distribució normal

La fórmula per a la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal (distribució gaussiana) s'afegeix a continuació,

on,

• x és Variable aleatòria
• μ és Significar
• σ és Desviació estàndar

Corba de distribució normal

En qualsevol Distribució normal, les variables aleatòries són aquelles variables que prenen valors desconeguts relacionats amb la distribució i generalment estan limitades per un rang.

Un exemple de la variable aleatòria és, suposem que prenem a distribució de l'alçada dels estudiants d'una classe, llavors la variable aleatòria pot prendre qualsevol valor en aquesta cas però està limitat per un límit de 2 peus a 6 peus, ja que generalment està forçat físicament.

• Gamma de qualsevol la distribució normal pot ser infinita en aquest cas diem que la distribució normal no es molesta pel seu rang. En aquest cas, el rang s'estén des de –∞ a + ∞.
• Bell Curve encara existeix, en aquest cas, totes les variables d'aquest rang s'anomenen variable contínua i la seva distribució s'anomena distribució normal ja que tots els valors generalment estan tancats alineats amb el valor mitjà.
• El gràfic o la corba del mateix s'anomena corba de distribució normal o gràfic de distribució normal.

Desviació estàndard de distribució normal

Sabem que la mitjana de qualsevol dada distribuïda com a gràfic ens ajuda a trobar la línia de simetria del gràfic, mentre que la desviació estàndard ens indica fins a quin punt es distribueixen les dades del valor mitjà a banda i banda. Per a valors més petits de la desviació estàndard, els valors del gràfic s'acosten i el gràfic es fa més estret. Mentre que per a valors més alts de la desviació estàndard, els valors del gràfic es dispersen més i el gràfic es fa més ample.

Regla empírica de la desviació estàndard

En general, la distribució normal té una desviació estàndard positiva i la desviació estàndard divideix l'àrea de la corba normal en parts més petites i cada part defineix el percentatge de dades que cau en una regió específica. Això s'anomena Regla empírica de la desviació estàndard en distribució normal. .

La regla empírica diu que,

• El 68% de les dades es troben aproximadament dins d'una desviació estàndard de la mitjana, és a dir, entre { Mitjana: una desviació estàndard i mitjana + una desviació estàndard }
• El 95% de les dades aproximadament es troben dins de dues desviacions estàndard de la mitjana, és a dir, es troba entre { Mitjana: dues desviació estàndard i mitjana + dues desviació estàndard }
• El 99,7% de les dades es troben aproximadament dins d'una tercera desviació estàndard de la mitjana, és a dir, es troba entre { Mitjana - Tercera desviació estàndard, i Mitjana + Tercera desviació estàndard }

Gràfic de distribució normal

Estudiant el gràfic és clar que utilitzant la regla empírica distribuïm les dades de manera àmplia en tres parts. I per tant, la regla empírica també s'anomena regla 68 – 95 – 99,7.

Comprovar: Matemàtiques | Conjunt 3 de la distribució de probabilitats (distribució normal)

Taula de distribució normal

Taula de distribució normal que també s'anomena Taula Z de distribució normal és la taula de valors z per a la distribució normal. Aquesta taula Z de distribució normal es presenta de la següent manera:

Propietats de distribució normal

Algunes propietats importants de la distribució normal són:

• Per a la distribució normal de dades, la mitjana, la mediana i la moda són iguals (és a dir, Mitjana = Mediana = Mode).
• L'àrea total sota la corba de distribució normal és igual a 1.
• La corba distribuïda normalment és simètrica al centre al llarg de la mitjana.
• En una corba distribuïda normalment, hi ha exactament la meitat del valor a la dreta del valor central i exactament la meitat del valor al costat dret del valor central.
• La distribució normal es defineix utilitzant els valors de la mitjana i la desviació estàndard.

• La corba de distribució normal és una corba unimodal, és a dir, una corba amb només un pic

La gent també veu:

• Distribució de Poisson
• Distribució binomial
• Distribució de probabilitat

Distribució normal en estadística

• Distribució normal, també coneguda com a distribució gaussiana , és un corba en forma de campana que descriu un gran nombre de fenòmens del món real . És un dels conceptes més importants de l'estadística perquè apareix en moltes àrees d'estudi.
• Corba en forma de campana : Imagineu una campana simètrica on la part central és el punt més alt i les cues s'esgoten a banda i banda. Aquesta és la forma bàsica d'una distribució normal. La majoria dels punts de dades s'agrupen al voltant del centre i, a mesura que us allunyeu del centre, els punts de dades es tornen menys freqüents.
• Tendència central: el centre de la corba de campana representa la tendència central de les dades, el que significa que mostra on es concentren la majoria dels valors. Aquesta pot ser la mitjana, la mediana o la moda, depenent del conjunt de dades específic.
• Difusió de dades: L'amplada de la corba de campana indica la distribució de les dades, una corba més àmplia significa que els punts de dades estan més dispersos, mentre que una corba més estreta significa que els punts de dades estan més a prop.
• Variables aleatòries: la distribució normal s'utilitza normalment amb variables aleatòries contínues, que poden prendre qualsevol valor dins d'un rang específic. Alguns exemples inclouen altures, pesos, puntuacions de coeficient intel·lectual o qualificacions d'examen.

Comproveu : Distribució normal de les estadístiques empresarials

Problemes de distribució normal i solucions

Anem a resoldre alguns problemes de distribució normal

Exemple 1: Trobeu la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal de les dades següents. x = 2, μ = 3 i σ = 4.

Solució:

Donat,

algorisme rr

• Variable (x) = 2
• Mitjana = 3
• Desviació estàndard = 4

Utilitzant la fórmula de la densitat de probabilitat de la distribució normal

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Simplificant,

f(2, 3, 4) = 0,09666703

Exemple 2: si el valor de la variable aleatòria és 4, la mitjana és 4 i la desviació estàndard és 3, trobeu la funció de densitat de probabilitat de la distribució gaussiana.

Solució:

Donat,

• Variable (x) = 4
• Mitjana = 4
• Desviació estàndard = 3

Utilitzant la fórmula de la densitat de probabilitat de la distribució normal

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

Simplificant,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0,13301

Conclusió – Distribució normal

La distribució normal, també coneguda com a distribució gaussiana, és un concepte fonamental en l'estadística i la teoria de la probabilitat. Es caracteritza per la seva corba en forma de campana, que és simètrica i centrada al voltant de la mitjana. Les propietats de la distribució normal, com la seva mitjana i desviació estàndard, tenen un paper crucial en moltes anàlisis i aplicacions estadístiques. Les distribucions normals s'utilitzen àmpliament en camps com les finances, l'enginyeria, les ciències naturals i les ciències socials per modelar i analitzar una àmplia gamma de fenòmens. La comprensió de la distribució normal permet una millor interpretació de les dades, l'estimació de probabilitats i la presa de decisions informades basades en la inferència estadística.

Preguntes freqüents sobre distribució normal

Què és la distribució normal?

En estadística, la distribució normal és una distribució de probabilitat que és simètrica respecte a la mitjana, mostrant que les dades properes a la mitjana són més freqüents que les dades allunyades de la mitjana.

Per què la distribució normal s'anomena normal?

La distribució normal també anomenada distribució gaussiana s'anomena normal perquè es demostra que diversos processos naturals segueixen normalment la distribució gaussiana i d'aquí el nom de distribució normal.

Què és el gràfic de distribució normal?

Un gràfic de distribució normal, també conegut com a distribució gaussiana o corba de campana, és un tipus específic de distribució de probabilitat. Es caracteritza per la seva corba simètrica en forma de campana quan es representa en un gràfic.

Què és la taula Z de distribució normal?

La taula Z, també coneguda com a taula de distribució normal estàndard o taula de puntuacions Z, és una taula de referència que s'utilitza en estadístiques per trobar les probabilitats associades a valors específics en una distribució normal estàndard.

data java ara

Quines són les característiques de la distribució normal?

Les propietats de la distribució normal són:

• La corba de distribució normal és simètrica respecte a la mitjana.
• La distribució normal és de naturalesa unimodal, és a dir, té un valor màxim únic.
• La corba de distribució normal sempre té forma de campana.
• Mitjana, moda i mediana per a la distribució normal sempre és el mateix.
• La distribució normal segueix la regla empírica.

Quina és la mitjana de la distribució normal?

La mitjana (indicada com a μ) representa el valor central o mitjà de les dades. També és el punt al voltant del qual es distribueixen les dades simètricament.

Què és la desviació estàndard de la distribució normal?

La desviació estàndard (indicada com σ) mesura la dispersió o dispersió dels punts de dades en la distribució. Una σ més petita indica que els punts de dades estan estretament empaquetats al voltant de la mitjana, mentre que una σ més gran indica més dispersió.

Què és la regla empírica (regla 68-95-99.7)?

Regla empírica per als estats de distribució normals,

• Aproximadament el 68% de les dades es troben dins d'una desviació estàndard de la mitjana.
• Aproximadament el 95% es troba dins de dues desviacions estàndard de la mitjana.
• Al voltant del 99,7% es troba dins de les tres desviacions estàndard de la mitjana.

Quins són els usos de la distribució normal?

Diversos usos de la distribució normal són,

• Per estudiar diversos fenòmens naturals
• Per a l'estudi de dades financeres.
• En Ciències Socials per estudiar i predir diversos paràmetres, etc.

Quines són les limitacions de la distribució normal?

La distribució normal és un concepte estàtic extremadament important, però fins i tot té algunes limitacions com ara,

• Diverses distribucions de dades no segueixen la distribució normal i, per tant, no pot comentar aquestes dades.
• Molta dependència de la distribució normal o de la corba de campana no és una bona manera de calcular dades, ja que no són 100% precises, etc.