Teorema de Bayes s'utilitza per determinar la probabilitat condicional d'un esdeveniment. Va rebre el nom d'un estadístic anglès, Thomas Bayes qui va descobrir aquesta fórmula el 1763. El teorema de Bayes és un teorema molt important en matemàtiques, que va establir les bases d'un enfocament d'inferència estadística únic anomenat Inferència de Bayes. S'utilitza per trobar la probabilitat d'un esdeveniment, a partir del coneixement previ de les condicions que podrien estar relacionades amb aquest esdeveniment.

Per exemple, si volem trobar la probabilitat que un marbre blanc extret a l'atzar provingui de la primera bossa, atès que ja s'ha dibuixat un marbre blanc, i hi ha tres bosses cadascuna que conté unes marbres blanques i negres, llavors podem utilitzar el teorema de Bayes.

Aquest article explora el teorema de Bayes incloent la seva declaració, demostració, derivació i fórmula del teorema, així com les seves aplicacions amb diversos exemples.

string jsonobject

Què és el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes (també conegut com a Regla de Bayes o Llei de Bayes) s'utilitza per determinar la probabilitat condicional de l'esdeveniment A quan l'esdeveniment B ja s'ha produït.

L'enunciat general del teorema de Bayes és La probabilitat condicional d'un esdeveniment A, donada l'ocurrència d'un altre esdeveniment B, és igual al producte de l'esdeveniment de B, donat A i la probabilitat d'A dividit per la probabilitat de l'esdeveniment B. és a dir

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

on,

• P(A) i P(B) són les probabilitats dels esdeveniments A i B
• P(A|B) és la probabilitat de l'esdeveniment A quan succeeix l'esdeveniment B
• P(B|A) és la probabilitat que l'esdeveniment B passi A

Comprovar: Teorema de Bayes per a la probabilitat condicional

Enunciat del teorema de Bayes

El teorema de Bayes per a n conjunt d'esdeveniments es defineix com,

Sigui E₁, I₂,…, I_nser un conjunt d'esdeveniments associats a l'espai mostral S, en el qual tots els esdeveniments E₁, I₂,…, I_ntenen una probabilitat d'ocurrència diferent de zero. Tots els actes E₁, I₂,…, E formen una partició de S. Sigui A un esdeveniment de l'espai S per al qual hem de trobar la probabilitat, llavors segons el teorema de Bayes,

P (E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

per a k = 1, 2, 3, …., n

Fórmula del teorema de Bayes

Per a dos esdeveniments A i B qualsevol, aleshores la fórmula del teorema de Bayes ve donada per: (la imatge que es mostra a continuació dóna la fórmula del teorema de Bayes)

Fórmula del teorema de Bayes

on,

• P(A) i P(B) són les probabilitats dels esdeveniments A i B també P(B) mai és igual a zero.
• P(A|B) és la probabilitat de l'esdeveniment A quan succeeix l'esdeveniment B
• P(B|A) és la probabilitat que l'esdeveniment B passi A

Derivació del teorema de Bayes

La demostració del teorema de Bayes es dóna com, segons la fórmula de probabilitat condicional,

P (E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Aleshores, utilitzant la regla de multiplicació de la probabilitat, obtenim

P (E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Ara, segons el teorema de la probabilitat total,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Substituint el valor de P(E_i∩A) i P(A) de l'eq (ii) i eq(iii) de l'eq(i) obtenim,

P (E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

El teorema de Bayes també es coneix com la fórmula del probabilitat de les causes . Com sabem, l'E _i 's són una partició de l'espai mostral S, i en un moment donat només un dels esdeveniments E _i es produeix. Així, concloem que la fórmula del teorema de Bayes dóna la probabilitat d'una E particular_i, donat que s'ha produït l'esdeveniment A.

Termes relacionats amb el teorema de Bayes

Després d'aprendre detalladament el teorema de Bayes, anem a entendre alguns termes importants relacionats amb els conceptes que hem cobert a la fórmula i la derivació.

• Hipòtesis: Esdeveniments que tenen lloc a l'espai mostra I ₁ , I ₂ ,… I _n s'anomena hipòtesis

• Probabilitat a priori: La probabilitat a priori és la probabilitat inicial que es produeixi un esdeveniment abans que es tinguin en compte noves dades. P (E_i) és la probabilitat a priori de la hipòtesi E_i.

• Probabilitat posterior: La probabilitat posterior és la probabilitat actualitzada d'un esdeveniment després de considerar informació nova. Probabilitat P(E_i|A) es considera com la probabilitat posterior de la hipòtesi E_i.

Probabilitat condicional

• S'anomena probabilitat d'un esdeveniment A basat en l'ocurrència d'un altre esdeveniment B Probabilitat condicional .
• Es denota com P(A|B) i representa la probabilitat de A quan l'esdeveniment B ja ha passat.

Probabilitat conjunta

Quan es mesura la probabilitat que dos esdeveniments més succeeixin junts i al mateix temps, es marca com a probabilitat conjunta. Per a dos esdeveniments A i B, es denota per probabilitat conjunta es denota com, P(A∩B).

Variables aleatòries

Les variables de valor real els possibles valors de les quals es determinen mitjançant experiments aleatoris s'anomenen variables aleatòries. La probabilitat de trobar aquestes variables és la probabilitat experimental.

Aplicacions del teorema de Bayes

La inferència bayesiana és molt important i ha trobat aplicació en diverses activitats, com ara medicina, ciència, filosofia, enginyeria, esports, dret, etc., i la inferència bayesiana es deriva directament del teorema de Bayes.

Exemple: El teorema de Bayes defineix la precisió de la prova mèdica tenint en compte la probabilitat que una persona tingui una malaltia i quina és la precisió global de la prova.

Diferència entre la probabilitat condicional i el teorema de Bayes

La diferència entre la probabilitat condicional i el teorema de Bayes es pot entendre amb l'ajuda de la taula que es mostra a continuació,

Teorema de la probabilitat total

Sigui E₁, I₂, . . ., I_nés esdeveniments mútuament exclusius i exhaustius associats a un experiment aleatori i deixa que E sigui un esdeveniment que es produeix amb alguna E_i. Aleshores, demostra-ho

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 P(E/E _i ). P (E _j )

Prova:

Sigui S l'espai mostral. Llavors,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Un i E_i∩ E_j= ∅ per a i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Per tant, (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} són disjunts per parells}

⇒ P(E) = P(E/E₁). P (E₁) + P(E/E₂). P (E₂) + . . . + P(E/E_n). P (E_n) [per teorema de multiplicació]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1P(E/E_i). P (E_i)

Articles relacionats amb el teorema de Bayes

• Distribució de probabilitat
• Teorema de Bayes per a la probabilitat condicional
• Permutacions i combinacions
• Teorema del binomi

Conclusió – Teorema de Bayes

El teorema de Bayes ofereix un marc potent per actualitzar la probabilitat d'una hipòtesi a partir de noves evidències o informació. Mitjançant la incorporació de coneixements previs i l'actualització amb dades observades, el teorema de Bayes permet una presa de decisions més precisa i informada en una àmplia gamma de camps, com ara l'estadística, l'aprenentatge automàtic, la medicina i les finances. Les seves aplicacions abasten des del diagnòstic mèdic i l'avaluació de riscos fins al filtratge de correu brossa i el processament del llenguatge natural.

Entendre i aplicar el teorema de Bayes ens permet fer millors prediccions, estimar incerteses i extreure coneixements significatius de les dades, millorant en última instància la nostra capacitat per prendre decisions informades en situacions complexes i incertes.

Comproveu també:

com crear una matriu en java

• Teorema de Bayes en la mineria de dades
• Teorema de Bayes en intel·ligència artificial
• Teorema de Bayes en aprenentatge automàtic

Exemples del teorema de Bayes

Exemple 1: Una persona ha fet una feina. Les probabilitats d'acabar el treball a temps amb i sense pluja són de 0,44 i 0,95 respectivament. Si la probabilitat que plogui és de 0,45, determineu la probabilitat que la feina s'acabi a temps.

Solució:

Sigui E₁ser el cas que el treball de mineria es completi a temps i E₂sigui el cas que plogui. Tenim,

P(A) = 0,45,

P(sense pluja) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Per llei de multiplicació de probabilitats,

P (E₁) = 0,44 i P(E₂) = 0.95

Com que els esdeveniments A i B formen particions de l'espai mostral S, pel teorema de la probabilitat total, tenim

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Per tant, la probabilitat que el treball es completi a temps és de 0,7205

Exemple 2: Hi ha tres urnes que contenen 3 boles blanques i 2 negres; 2 boles blanques i 3 negres; 1 boles negres i 4 blanques respectivament. Hi ha la mateixa probabilitat que cada urna sigui escollida. Una bola té la mateixa probabilitat escollida a l'atzar. Quina és la probabilitat que tregui una bola blanca?

Solució:

Sigui E₁, I₂, i E₃ser els esdeveniments de triar la primera, segona i tercera urna respectivament. Llavors,

P (E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Sigui E l'esdeveniment en què es treu una bola blanca. Llavors,

P(E/E₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Pel teorema de la probabilitat total, tenim

P(E) = P(E/E₁). P (E₁) + P(E/E₂). P (E₂) + P(E/E₃). P (E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Exemple 3: Es perd una targeta d'un paquet de 52 cartes. De les cartes restants del paquet, es treuen dues cartes i es troba que són ambdós cors. Trobeu la probabilitat que la targeta perduda sigui un cor.

Solució:

Sigui E₁, I₂, I_3,i E₄ser els esdeveniments de perdre una carta de cors, maces, piques i diamants respectivament.

Aleshores P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Sigui E l'esdeveniment de treure 2 cors de les 51 cartes restants. Llavors,

P(E|E₁) = probabilitat de treure 2 cors, donat que falta una carta de cors

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = probabilitat de treure 2 maces, tenint en compte que falta una carta de maces

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = probabilitat de treure 2 piques, donat que falta una carta de cors

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = probabilitat de treure 2 diamants, tenint en compte que falta una carta de diamants

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Per tant,

P (E₁|E) = probabilitat que la carta perduda sigui un cor, donat que els 2 cors es treuen de les 51 cartes restants

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Per tant, la probabilitat requerida és 0,22.

Exemple 4: Suposem que 15 homes de 300 homes i 25 dones de 1000 són bons oradors. S'escull un orador a l'atzar. Troba la probabilitat que sigui seleccionada una persona masculina. Suposem que hi ha el mateix nombre d'homes i dones.

np.mean

Solució:

Gievn,

• Total homes = 300
• Total de dones = 1000
• Bons oradors entre homes = 15
• Bons oradors entre dones = 25

Nombre total de bons oradors = 15 (d'homes) + 25 (de dones) = 40

Probabilitat de seleccionar un orador masculí:

P (Orador masculí) = Nombre d'oradors masculins / nombre total d'oradors = 15/40

Exemple 5: se sap que un home diu les mentides 1 de cada 4 vegades. Llança un dau i informa que és un sis. Trobeu la probabilitat que en realitat sigui un sis.

Solució:

En un llançament de dau, deixa

I₁= esdeveniment d'obtenir un sis,

I₂= esdeveniment de no obtenir un sis i

E = esdeveniment que l'home informa que és un sis.

Aleshores, P(E₁) = 1/6 i P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = probabilitat que l'home informi que es produeixen sis quan realment n'han passat sis

⇒ P(E|E₁) = probabilitat que l'home digui la veritat

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = probabilitat que l'home informi que es produeixi sis quan realment no s'han produït sis

⇒ P(E|E₂) = probabilitat que l'home no digui la veritat

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Probabilitat d'obtenir un sis, donat que l'home informa que és sis

javac no es reconeix

P (E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [pel teorema de Bayes]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Per tant, la probabilitat requerida és 3/8.

Preguntes freqüents sobre el teorema de Bayes

Què és el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes, com el seu nom indica, és un teorema matemàtic que s'utilitza per trobar la probabilitat de condicionalitat d'un esdeveniment. La probabilitat condicional és la probabilitat que l'esdeveniment es produeixi en el futur. Es calcula a partir dels resultats anteriors dels esdeveniments.

Quan s'utilitza el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes té una àmplia gamma d'aplicacions, especialment en camps que s'ocupen de l'actualització de probabilitats basades en dades noves. La regla de Bayes us permet calcular probabilitat posterior (o actualitzada). S'utilitza per calcular la probabilitat condicional d'esdeveniments.

Quins són alguns termes clau per entendre el teorema de Bayes?

Alguns dels termes clau són:

• Probabilitat prèvia (P(A))
• Probabilitat posterior (P(A | B))
• Versibilitat (P(B | A))
• Probabilitat marginal (P(B))

Quan utilitzar el teorema de Bayes?

El teorema de Bayes és aplicable quan es dóna la probabilitat condicional d'un esdeveniment, s'utilitza per trobar la probabilitat inversa de l'esdeveniment.

En què és diferent el teorema de Bayes de la probabilitat condicional?

El teorema de Bayes s'utilitza per definir la probabilitat d'un esdeveniment en funció de les condicions anteriors de l'esdeveniment. Mentre que, el teorema de Bayes utilitza la probabilitat condicional per trobar la probabilitat inversa de l'esdeveniment.

Quina és la fórmula del teorema de Bayes?

La fórmula del teorema de Bayes s'explica a continuació,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)