La matriu de covariància és un tipus de matriu que s'utilitza per descriure els valors de covariància entre dos elements en un vector aleatori. També es coneix com a matriu de variància-covariància perquè la variància de cada element es representa al llarg de la diagonal principal de la matriu i la covariància es representa entre els elements no diagonals. Una matriu de covariància sol ser una matriu quadrada. També és semidefinida positiva i simètrica. Aquesta matriu és útil quan es tracta de modelització estocàstica i anàlisi de components principals.
Què és la matriu de covariància?
El desacord -la matriu de covariància és a matriu quadrada amb elements diagonals que representen la variància i les components no diagonals que expressen la covariància. La covariància d'una variable pot prendre qualsevol valor real: positiu, negatiu o zero. Una covariància positiva suggereix que les dues variables tenen una relació positiva, mentre que una covariància negativa indica que no. Si dos elements no varien junts, tenen una covariància zero.
Aprèn més, Matriu Diagonal
Exemple de matriu de covariància
Suposem que hi ha 2 conjunts de dades X = [10, 5] i Y = [3, 9]. La variància del conjunt X = 12,5 i la variància del conjunt Y = 18. La covariància entre ambdues variables és -15. La matriu de covariància és la següent:
Fórmula de la matriu de covariància
La forma general d'una matriu de covariància es dóna de la següent manera:
cicle de vida del desenvolupament de programari
on,
- Variància de mostra: on (x1) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} - Covarinace de mostra: el (x1, i1) =
frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1} - Variància de la població: on (xn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} - Covariància de la població: el (xn, in) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}
Aquí, m és la mitjana de la població
n és el nombre d'observació
x i és l'observació del conjunt de dades x
Vegem el format de la matriu de covariància de 2 ⨯ 2 i 3 ⨯ 3
2 ⨯ 2 Matriu de covariància
Sabem que en un 2 ⨯ 2 matriu hi ha dues files i dues columnes. Per tant, la matriu de covariància 2 ⨯ 2 es pot expressar com
3 ⨯ 3 Matriu de covariància
En una matriu 3⨯3 hi ha 3 files i 3 columnes. Sabem que en una matriu de covariància els elements diagonals són variància i els elements no diagonals són covariància. Per tant, una matriu de covariància 3⨯3 es pot donar com
Com trobar la matriu de covariància?
Les dimensions d'una matriu de covariància estan determinades pel nombre de variables d'un conjunt de dades donat. Si només hi ha dues variables en un conjunt, aleshores la matriu de covariància tindria dues files i dues columnes. De la mateixa manera, si un conjunt de dades té tres variables, la seva matriu de covariància tindria tres files i tres columnes.
Les dades corresponen a les notes obtingudes per Anna, Caroline i Laura a Psicologia i Història. Feu una matriu de covariància.
| Estudiant | Psicologia (X) | Història (Y) |
|---|---|---|
| Anna | 80 | 70 |
| Caroline | 63 | 20 |
| Laura | 100 | 50 |
S'han de seguir els passos següents:
Pas 1: Troba la mitjana de la variable X. Suma totes les observacions de la variable X i divideix la suma obtinguda pel nombre de termes. Així, (80 + 63 + 100)/3 = 81.
Pas 2: Resta la mitjana de totes les observacions. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).
Pas 3: Agafeu els quadrats de les diferències obtingudes anteriorment i després sumeu-los. Així, (80 – 81)2+ (63 – 81)2+ (100 – 81)2.
Pas 4: Trobeu la variància de X dividint el valor obtingut al pas 3 per 1 menys que el nombre total d'observacions. var(X) = [(80 – 81)2+ (63 – 81)2+ (100 – 81)2] / (3 – 1) = 343.
Pas 5: De la mateixa manera, repetiu els passos de l'1 al 4 per calcular la variància de Y. Var(Y) = 633.
Pas 6: Trieu un parell de variables.
Pas 7: Resta la mitjana de la primera variable (X) de totes les observacions; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).
Pas 8: Repetiu el mateix per a la variable Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).
Pas 9: Multiplica els termes corresponents: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).
Pas 10: Trobeu la covariància sumant aquests valors i dividint-los per (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.
Pas 11: Utilitzeu la fórmula general de la matriu de covariància per ordenar els termes. La matriu es converteix en:
Propietats de la matriu de covariància
Les propietats de la matriu de covariància s'esmenten a continuació:
- Una matriu de covariància sempre és quadrada, la qual cosa implica que el nombre de files d'una matriu de covariància és sempre igual al nombre de columnes que hi ha.
- Una matriu de covariància sempre és simètrica, la qual cosa implica que la transposar d'una matriu de covariància és sempre igual a la matriu original.
- Una matriu de covariància sempre és positiva i semidefinida.
- El valors propis d'una matriu de covariància són sempre reals i no negatives.
Llegeix més,
- Tipus de matrius
- Multiplicació matricial
- Variància i desviació estàndard
Exemples resolts sobre la matriu de covariància
Exemple 1: Les notes obtingudes per 3 estudiants de Física i Biologia es detallen a continuació:
| Estudiant | Física (X) | Biologia (Y) |
|---|---|---|
| A | 92 | 80 |
| B | 60 | 30 |
| C | 100 | 70 |
Calcula la matriu de covariància a partir de les dades anteriors.
Solució:
La matriu de covariància de la mostra ve donada per
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .Aquí, μx= 84, n = 3
var(x) = [(92 – 84)2+ (60 – 84)2+ (100 – 84)2] / (3 – 1) = 448
Així, μi= 60, n = 3
var(i) = [(80 – 60)2+ (30 – 60)2+ (70 – 60)2] / (3 – 1) = 700
Ara, cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.
La matriu de covariància de la població es dóna com:
egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}
Exemple 2. Prepareu la matriu de covariància de la població a partir de la taula següent:
| Edat | Nombre de gent |
|---|---|
| 29 | 68 |
| 26 | 60 |
| 30 | 58 |
| 35 | 40 |
Solució:
La variància de la població ve donada per
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .Aquí, μx= 56,5, n = 4
var(x) = [(68 – 56,5)2+ (60 – 56.5)2+ (58 – 56.5)2+ (40 – 56.5)2] / 4 = 104.75
Així, μi= 30, n = 4
var(i) = [(29 – 30)2+ (26 – 30)2+ (30 – 30)2+ (35 – 30)2] / 4 = 10. 5
Ara, cov(x, y) =
frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4} cov(x, y) = -27
La matriu de covariància de la població es dóna com:
egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}
Exemple 3. Interpreteu la matriu de covariància següent:
Solució:
- Els elements diagonals 60, 30 i 80 indiquen la variància dels conjunts de dades X, Y i Z respectivament. Y mostra la variància més baixa mentre que Z mostra la variància més alta.
- La covariància de X i Y és 32. Com que aquest és un nombre positiu vol dir que quan X augmenta (o disminueix) Y també augmenta (o disminueix)
- La covariància per a X i Z és -4. Com que és un nombre negatiu implica que quan X augmenta Z disminueix i viceversa.
- La covariància de Y i Z és 0. Això vol dir que no hi ha cap relació predictible entre els dos conjunts de dades.
Exemple 4. Trobeu la matriu de covariància mostra per a les dades següents:
| X | I | AMB |
|---|---|---|
| 75 | 10.5 | 45 |
| 65 | 12.8 | 65 |
| 22 | 7.3 | 74 |
| 15 | 2.1 | 76 |
| 18 | 9.2 | 56 |
Solució:
La matriu de covariància de la mostra ve donada per
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .n = 5, mx= 22,4, var(X) = 321,2 / (5 – 1) = 80,3
mi= 12.58, var(Y) = 132.148 / 4 = 33.037
mAmb= 64, var(Z) = 570 / 4 = 142,5
cov(X, Y) =
frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76 cov(X, Z) =
frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97 cov(Y, Z) =
frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87 La matriu de covariància es dóna com:
egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}
Preguntes freqüents sobre la matriu de covariància
1. Definir la matriu de covariància
Una matriu de covariància és un tipus de matriu que s'utilitza per descriure els valors de covariància entre dos elements en un vector aleatori.
2. Quina és la fórmula de la matriu de covariància?
La fórmula per a la matriu de covariància es dóna com
left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight] On, Variància de mostra: on (x1) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
- Covarinace de mostra: el (x1, i1) =
frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1} - Variància de la població: on (xn) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} - Covariància de la població: el (xn, in) =
frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}
3. Quina és la forma general d'una matriu de covariància 3 ⨯ 3?
La forma general d'una matriu de covariància 3 ⨯ 3 es dóna de la següent manera:
egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}
4. Quines són les propietats de la matriu de covariància?
La matriu de covariància és una matriu quadrada i també és de naturalesa simètrica, és a dir, la transposició de la matriu original dóna la matriu original.
5. Quins són els sectors on es pot utilitzar la matriu de covariància?
La matriu de covariances s'utilitza en el camp de les matemàtiques, l'aprenentatge automàtic, les finances i l'economia. La matriu de covariància s'utilitza a la descomposició de Cholskey per realitzar la simulació de Montecarlo que s'utilitza per crear models matemàtics.