La matriu és una matriu rectangular de nombres, símbols, punts o caràcters que pertanyen cadascun a una fila i una columna específiques. Una matriu s'identifica pel seu ordre que es dóna en forma de files ⨯ i columnes. Els números, símbols, punts o caràcters presents dins d'una matriu s'anomenen elements d'una matriu. La ubicació de cada element ve donada per la fila i la columna a la qual pertany.

Les matrius són importants per als estudiants de la classe 12 i també tenen una gran importància en les matemàtiques d'enginyeria. En aquest article introductori sobre matrius, coneixerem els tipus de matrius, la transposició de matrius, el rang de matrius, l'adjunt i invers de les matrius, els determinants de les matrius i molts més en detall.

Taula de contingut

• Què són les matrius?
• Ordre de Matrix
• Exemples de matrius
• Operació sobre matrius
• Suma de matrius
• Multiplicació escalar de matrius
• Multiplicació de matrius
• Propietats de la suma i la multiplicació de matrius
• Transposició de Matrix
• Traça de Matrix
• Tipus de matrius
• Determinant d'una matriu
• Inversa d'una matriu
• Resolució d'equacions lineals amb matrius
• Rang d'una matriu
• Valor propi i vectors propis de matrius

Què són les matrius?

Les matrius són matrius rectangulars de nombres, símbols o caràcters on tots aquests elements estan disposats a cada fila i columna. Una matriu és una col·lecció d'elements disposats en diferents ubicacions.

Suposem que els punts estan disposats a l'espai, cadascun pertanyent a una ubicació específica, llavors es forma una matriu de punts. Aquesta matriu de punts s'anomena matriu. Els elements continguts en una matriu s'anomenen elements de la matriu. Cada matriu té un nombre finit de files i columnes i cada element només pertany a aquestes files i columnes. El nombre de files i columnes presents en una matriu determina l'ordre de la matriu. Suposem que una matriu té 3 files i 2 columnes, llavors l'ordre de la matriu es dóna com a 3⨯2.

Definició de matrius

Una matriu rectangular de nombres, símbols o caràcters s'anomena matriu. Les matrius s'identifiquen pel seu ordre. L'ordre de les matrius es dóna en forma d'un nombre de files ⨯ nombre de columnes. Una matriu es representa com [P]_m⨯on P és la matriu, m és el nombre de files i n és el nombre de columnes. Les matrius en matemàtiques són útils per resoldre nombrosos problemes d'equacions lineals i molts més.

Ordre de la matriu

Ordre d'una matriu indica el nombre de files i columnes presents en una matriu. L'ordre d'una matriu es representa com el nombre de files multiplicat per el nombre de columnes. Suposem que si una matriu té 4 files i 5 columnes, l'ordre de la matriu serà 4⨯5. Recordeu sempre que el primer nombre de l'ordre indica el nombre de files presents a la matriu i el segon nombre indica el nombre de columnes de la matriu.

Exemples de matrius

A continuació s'esmenten exemples de matrius:

Exemple: egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2},egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

Operació sobre matrius

Les matrius se sotmeten a diverses operacions matemàtiques com sumes, restes, multiplicacions escalars i multiplicacions. Aquestes operacions es realitzen entre els elements de dues matrius per donar una matriu equivalent que conté els elements que s'obtenen com a resultat de l'operació entre elements de dues matrius. Aprenem el funcionament de les matrius .

Suma de matrius

En addició de matrius , els elements de dues matrius s'afegeixen per obtenir una matriu que conté elements obtinguts com a suma de dues matrius. L'addició de matrius es realitza entre dues matrius del mateix ordre.

Exemple: Trobeu la suma de old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} i old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Solució:

la mida del meu monitor

Aquí tenim A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}i B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

Resta de matrius

La resta de matrius és la diferència entre els elements de dues matrius del mateix ordre per donar una matriu equivalent del mateix ordre els elements de la qual són iguals a la diferència d'elements de dues matrius. La resta de dues matrius es pot representar en termes de la suma de dues matrius. Suposem que hem de restar la matriu B de la matriu A i llavors podem escriure A – B. També la podem reescriure com A + (-B). Anem a resoldre un exemple

Exemple: resta old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} des de old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }.

Suposem A =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}i B =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

Multiplicació escalar de matrius

La multiplicació escalar de matrius es refereix a la multiplicació de cada terme d'una matriu amb un terme escalar. Si un escalar es multiplica 'k' per una matriu, llavors la matriu equivalent contindrà elements iguals al producte de l'escalar i l'element de la matriu original. Vegem-ne un exemple:

Exemple: Multiplica 3 per old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}.

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

Multiplicació de matrius

En el multiplicació de matrius , es multipliquen dues matrius per obtenir una única matriu equivalent. La multiplicació es realitza de la manera que els elements de la fila de la primera matriu es multipliquen amb els elements de les columnes de la segona matriu i s'afegeix el producte d'elements per obtenir un sol element de la matriu equivalent. Si una matriu [A]_i⨯jes multiplica amb la matriu [B]_j⨯kaleshores el producte es dóna com a [AB]_i⨯k.

Vegem un exemple.

Exemple: trobar el producte de old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} i old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Solució:

Sigui A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}i B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

Propietats de la suma i la multiplicació de matrius

A continuació s'enumeren les propietats seguides de la multiplicació i la suma de matrius:

• A + B = B + A (Commutativa)
• (A + B) + C = A + (B + C) (associatiu)
• AB ≠ BA (no commutatiu)
• (AB) C = A (BC) (associatiu)
• A (B+C) = AB + AC (distributiva)

Transposició de Matrix

Transposició de Matrix és bàsicament la reordenació d'elements de fila en columna i elements de columna en fila per obtenir una matriu equivalent. Una matriu en què els elements de la fila de la matriu original estan disposats en columnes o viceversa s'anomena matriu de transposició. La matriu transposada es representa com A^T. si A = [a_ij]_mxn, després A^T= [b_ij]_nxmon b_ij= a_{des del}.

Vegem-ne un exemple:

Exemple: Trobeu la transposició de egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} .

Solució:

Sigui A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ A^T=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

Propietats de la transposició d'una matriu

Les propietats de la transposició d'una matriu s'esmenten a continuació:

• (A^T)^T= A
• (A+B)^T= A^T+ B^T
• (AB)^T= B^TA^T

Traça de Matrix

Traça d'una matriu és la suma dels principals elements diagonals d'una matriu quadrada. El rastre d'una matriu només es troba en el cas d'una matriu quadrada perquè els elements diagonals només existeixen en matrius quadrades. Vegem un exemple.

Exemple: Trobeu el rastre de la matriu egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Solució:

Suposem A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Traça (A) = 1 + 5 + 9 = 15

Tipus de matrius

En funció del nombre de files i columnes presents i de les característiques especials que es mostren, les matrius es classifiquen en diversos tipus.

• Matriu de fila : Una matriu en què només hi ha una fila i cap columna s'anomena matriu de fila.
• Matriu de columnes : Una matriu en què només hi ha una columna i ara una fila s'anomena matriu de columnes.
• Matriu horitzontal: Una matriu en què el nombre de files és menor que el nombre de columnes s'anomena matriu horitzontal.
• Matriu vertical: Una matriu en què el nombre de columnes és menor que el nombre de files s'anomena matriu vertical.
• Matriu rectangular : Una matriu en què el nombre de files i columnes és desigual s'anomena matriu rectangular.
• Matriu quadrada : Una matriu en què el nombre de files i columnes és el mateix s'anomena matriu quadrada.
• Matriu Diagonal : Una matriu quadrada en què els elements no diagonals són zero s'anomena matriu diagonal.
• Matriu zero o nul·la : Una matriu els elements de la qual són zero s'anomena matriu zero. Una matriu zero també s'anomena matriu nul·la.
• Unitat o matriu d'identitat : Una matriu diagonal amb tots els elements diagonals de la qual són 1 s'anomena matriu unitat. Una matriu d'unitats també s'anomena matriu d'identitat. Una matriu d'identitat es representa amb I.
• Matriu simètrica : Es diu que una matriu quadrada és simètrica si la transposició de la matriu original és igual a la seva matriu original. és a dir (A^T) = A.
• Matriu simètrica asimètrica : Una matriu simètrica asimètrica (o antisimètrica o antimètrica[1]) és una matriu quadrada la transposició de la qual és igual a la seva negativa, és a dir (A^T) = -A.
• Matriu ortogonal: Es diu que una matriu és ortogonal si AA^T= A^TA = I
• Matriu idempotent: Es diu que una matriu és idempotent si A²= A
• Matriu involutòria: Es diu que una matriu és involutòria si A²= jo.
• Matriu triangular superior : Una matriu quadrada en què tots els elements per sota de la diagonal són zero es coneix com a matriu triangular superior
• Matriu triangular inferior : Una matriu quadrada en què tots els elements per sobre de la diagonal són zero es coneix com a matriu triangular inferior
• Matriu singular : Es diu que una matriu quadrada és una matriu singular si el seu determinant és zero, és a dir |A|=0
• Matriu no singular: Es diu que una matriu quadrada és una matriu no singular si el seu determinant és diferent de zero.

Nota: Cada matriu quadrada es pot expressar de manera única com la suma d'una matriu simètrica i una matriu simètrica asimètrica. A = 1/2 (A^T+ A) + 1/2 (A – A^T).

Aprèn més, Tipus de matrius

Determinant d'una matriu

Determinant d'una matriu és un nombre associat a aquesta matriu quadrada. El determinant d'una matriu només es pot calcular per a una matriu quadrada. Es representa per |A|. El determinant d'una matriu es calcula sumant el producte dels elements d'una matriu amb els seus cofactors.

Determinant d'una matriu

Vegem com trobar el determinant d'una matriu quadrada.

Exemple 1: Com trobar el determinant d'una matriu quadrada 2⨯2?

Suposem que tenim la matriu A =egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

Aleshores, el determinant és de A és |A| = ad – bc

Exemple 2: Com trobar el determinant d'una matriu quadrada 3⨯3?

Suposem que tenim una matriu 3⨯3 A =egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

Aleshores |A| = a(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+ b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+ c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

Menor d'una matriu

El menor d'una matriu per a un element ve donat pel determinant d'una matriu obtingut després de suprimir la fila i la columna a les quals pertany l'element concret. Minor de Matrix està representada per Mij. Vegem un exemple.

Exemple: Troba el menor de la matriuegin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}per a l'element 'a'.

El menor de l'element 'a' es dóna com a M₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

Cofactor de Matrix

El cofactor d'una matriu es troba multiplicant el menor de la matriu per a un element donat per (-1)i+j. El cofactor d'una matriu es representa com Cij. Per tant, la relació entre el menor i el cofactor d'una matriu es dóna com Mij = (-1)^i+jMij. Si disposem tot el cofactor obtingut per a un element, obtenim una matriu de cofactors donada com a C =egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

mysql crea usuari

Aprèn més , Menors i cofactors

Adjunt d'una matriu

L'adjunt es calcula per a una matriu quadrada. Adjunt d'una matriu és la transposició del cofactor de la matriu. Així, l'adjunt d'una matriu s'expressa com adj(A) = C_Ton C és la matriu de cofactors.

Posem per exemple que tenim matriu
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
aleshores
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
on,
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}és cofactor de la matriu A.

Propietats de l'adjunt de la matriu

Les propietats de l'adjunt d'una matriu s'esmenten a continuació:

• A(Adj A) = (Adj A) A = |A| jo_n
• Adj(AB) = (Adj B) . (Adj A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1Adj(A)
• |adj(adj(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• adj(adj(A)) = |A|^(n-2)× A
• Si A = [L,M,N] aleshores adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {on I és la matriu d'identitat}

On, n = nombre de files = nombre de columnes

Inversa d'una matriu

Es diu que una matriu és una inversa de la matriu 'A' si la matriu s'eleva a la potència -1, és a dir, A-1. La inversa només es calcula per a una matriu quadrada el determinant de la qual és diferent de zero. La fórmula de la inversa d'una matriu es dóna com:

A^-1= adj(A)/det(A) = (1/|A|)(Adj A), on |A| no hauria de ser igual a zero, la qual cosa significa que la matriu A hauria de ser no singular.

Propietats inverses de la matriu

• (A^-1)^-1= A
• (AB)^-1= B^-1A^-1
• només una matriu quadrada no singular pot tenir una inversa.

Operació elemental sobre matrius

Operacions elementals sobre matrius es realitzen per resoldre l'equació lineal i trobar la inversa d'una matriu. Les operacions elementals són entre files i entre columnes. Hi ha tres tipus d'operacions elementals realitzades per a files i columnes. Aquestes operacions s'esmenten a continuació:

Les operacions elementals a les files inclouen:

• Intercanviant dues files
• Multiplicar una fila per un nombre diferent de zero
• Afegint dues files

Les operacions elementals sobre columnes inclouen:

• Intercanviant dues columnes
• Multiplicar una columna per un nombre diferent de zero
• Afegint dues columnes

Matriu augmentada

S'anomena una matriu formada per la combinació de columnes de dues matrius Matriu augmentada . Una matriu augmentada s'utilitza per realitzar operacions elementals de files, resoldre una equació lineal i trobar la inversa d'una matriu. Entenem-ho a través d'un exemple.

Suposem que tenim una matriu A =egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}, X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}i B =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}aleshores es forma la matriu augmentada entre A i B. La matriu augmentada per a A i B es dóna com

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

Resolució d'equacions lineals amb matrius

Les matrius s'utilitzen per resoldre equacions lineals. Per resoldre equacions lineals hem de fer tres matrius. La primera matriu és de coeficients, la segona és de variables i la tercera és de constants. Entenem-ho amb un exemple.

Suposem que tenim dues equacions donades com a₁x + b₁y = c₁i a₂x + b₂y = c₂. En aquest cas, formarem la primera matriu de coeficient, diguem A =egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}, la segona matriu és de variables diguem X =egin{bmatrix}xyend{bmatrix}i la tercera matriu és de coeficient B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}aleshores l'equació matricial es dóna com

AX = B

⇒ X = A ^-1 B

on,

• A és la matriu de coeficients
• X és matriu variable
• B és la matriu constant

Per tant, podem veure que el valor de la variable X es pot calcular multiplicant la inversa de la matriu A per B i després igualant el producte equivalent de dues matrius amb la matriu X.

Rang d'una matriu

El rang de matriu ve donat pel nombre màxim de files o columnes linealment independents d'una matriu. El rang d'una matriu és sempre inferior o igual al nombre total de files o columnes presents en una matriu. Una matriu quadrada té files o columnes linealment independents si la matriu no és singular, és a dir, el determinant no és igual a zero. Com que una matriu zero no té files o columnes linealment independents, el seu rang és zero.

El rang d'una matriu es pot calcular convertint la matriu a la forma Row-Echelon. En forma d'escaló de fila, intentem convertir tots els elements que pertanyen a una fila perquè siguin zero mitjançant l'operació elemental a la fila. Després de l'operació, el nombre total de files que tenen almenys un element diferent de zero és el rang de la matriu. El rang de la matriu A es representa per ρ(A).

Valor propi i vectors propis de matrius

Els valors propis són el conjunt d'escalaris associats a l'equació lineal en forma de matriu. Els valors propis també s'anomenen arrels característiques de les matrius. Els vectors que es formen utilitzant el valor propi per indicar la direcció en aquests punts s'anomenen vectors propis. Els valors propis canvien la magnitud dels vectors propis. Com qualsevol vector, Eigenvector no canvia amb la transformació lineal.

Per a una matriu quadrada A d'ordre 'n' es forma una altra matriu quadrada A – λI del mateix ordre, on I és la matriu d'identitat i λ és el valor propi. El valor propi λ compleix una equació Av = λv on v és un vector diferent de zero.

Aprendre mes sobre Valors propis i vectors propis al nostre lloc web.

Fórmules de matrius

La fórmula bàsica de les matrius s'ha discutit a continuació:

• A^-1= adj(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I, on I és una matriu d'identitat
• |adj A| = |A|n-1 on n és l'ordre de la matriu A
• adj(adj A) = |A|n-2A on n és l'ordre de la matriu
• |adj(adj A)| = |A|^{(n-1)^2}
• adj(AB) = (adj B)(adj A)
• adj (A^pàg) = (adj A)^pàg
• adj(kA) = kn-1(adj A) on k és qualsevol nombre real
• adj(I) = I
• adj 0 = 0
• Si A és simètric, adj(A) també ho és
• Si A és una matriu diagonal, adj(A) també és una matriu diagonal
• Si A és una matriu triangular, adj(A) també és una matriu triangular
• Si A és una matriu singular aleshores |adj A| = 0
• (AB)^-1= B^-1A^-1

Llegeix més,

• Teoria de conjunts
• Càlcul
• Trigonometria

Matrius JEE Mains Questions

Q1. El nombre de matrius quadrades d'ordre 5 amb entrades del conjunt {0, 1}, de manera que la suma de tots els elements de cada fila és 1 i la suma de tots els elements de cada columna també és 1, és

P2. Sigui A una matriu 3 × 3 tal que |adj(adj(adj A))| = 12 ⁴ . Aleshores |A ^-1 adj A| és igual a,

P3. Siguin α i β el nombre real. Considereu una matriu A de 3 × 3 tal que A ² = 3A + αI. Si A ⁴ = 21A + βI, llavors trobeu el valor de α i β.

P4. Sigui A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2. El nombre de la matriu A tal que la suma de totes les entrades és un nombre primer p ϵ (2, 13) és

P5. Sigui A una matriu n × n tal que |A| = 2. Si el determinant de la matriu Adj (2. Adj(2A ^-1 )) és 2 ⁸⁴ aleshores n és igual a,

Matrius – Preguntes freqüents

Què és Matrix en matemàtiques?

Les matrius en matemàtiques són arranjaments de matrius rectangulars de nombres o variables que es troben en files i columnes específiques i se sotmeten a diverses operacions.

Com resoldre matrius?

Resolem matrius per a diferents operacions com sumes, restes, multiplicacions, transposició, etc. Aquests mètodes es discuteixen sota el títol Operacions sobre matrius.

Quins són els diferents tipus de matrius?

Els diferents tipus de matrius són, matriu de fila, matriu de columna, matriu horitzontal, matriu vertical, matriu quadrada, matriu diagonal, matriu nul·la, matriu d'identitat, matrius triangular, matrius simètrica i asimètrica, matrius hermitià i asimètrica, etc. Aquests tipus tenen s'ha discutit sota el títol 'Tipus de matrius'

Què és el rang d'una matriu?

El rang d'una matriu és el nombre de files o columnes linealment independents presents en una matriu.

Què és la transposició d'una matriu?

La transposició d'una matriu és la reordenació d'elements de files en columnes i viceversa.

Quina és la fórmula per trobar la inversa d'una matriu?

La inversa de la matriu es pot trobar mitjançant la fórmula A^-1= (1/|A|)(adj A)

obtenir la data actual a java

Quina és la condició per multiplicar dues matrius?

Només es poden multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera matriu és igual al nombre de files de la segona.

Com trobar el determinant de la matriu 2⨯2?

El determinant d'una matriu 2⨯2 es pot trobar restant el producte dels elements diagonals de la matriu.

Quina és la diagonal principal d'una matriu?

La diagonal d'una matriu quadrada que va des de les entitats superior esquerra a les entitats inferior dreta és la diagonal principal d'una matriu.