Els valors propis i els vectors propis són les magnituds escalars i vectorials associades Matriu utilitzat per a la transformació lineal. El vector que no canvia fins i tot després d'aplicar transformacions s'anomena vector propi i el valor escalar associat als vectors propis s'anomena Valors propis . Els vectors propis són els vectors associats a un conjunt d'equacions lineals. Per a una matriu, els vectors propis també s'anomenen vectors característics, i podem trobar el vector propi de matrius quadrades només. Els vectors propis són molt útils per resoldre diversos problemes de matrius i equacions diferencials.

En aquest article, aprendrem sobre valors propis, vectors propis per a matrius i altres amb exemples.

Taula de contingut

• Què són els valors propis?
• Què són els vectors propis?
• Equació de vectors propis
• Què són els valors propis i els vectors propis?
• Com trobar un vector propi?
• Tipus de vectors propis
• Vector propi dret
• Vector propi esquerre
• Vectors propis d'una matriu quadrada
• Vector propi d'una matriu 2 × 2
• Vector propi d'una matriu 3 × 3
• Espai propi
• Aplicacions dels valors propis
• Diagonalitzar la matriu utilitzant valors propis i vectors propis
• Exemples resolts sobre vectors propis
• Preguntes freqüents sobre vectors propis

Què són els valors propis?

Els valors propis són els valors escalars associats als vectors propis en transformació lineal. La paraula 'Eigen' és d'origen alemany que significa 'característica'. Per tant, aquests són el valor característic que indica el factor pel qual els vectors propis s'estiren en la seva direcció. No implica el canvi en la direcció del vector excepte quan el valor propi és negatiu. Quan el valor propi és negatiu, la direcció s'inverteix. L'equació del valor propi ve donada per

Apagat = λv

On,

• A és la matriu,
• v és un vector propi associat, i
• λ és un valor propi escalar.

Què són els vectors propis?

Els vectors propis per a matrius quadrades es defineixen com a valors vectorials diferents de zero que quan es multipliquen per les matrius quadrades donen el múltiple escalador del vector, és a dir, definim un vector propi per a la matriu A com a v si especifica la condició, Apagat = λv

El múltiple escalador λ en el cas anterior s'anomena valor propi de la matriu quadrada. Sempre hem de trobar els valors propis de la matriu quadrada abans de trobar els vectors propis de la matriu.

Per a qualsevol matriu quadrada, A d'ordre n × n el vector propi és la matriu de columna d'ordre n × 1. Si trobem el vector propi de la matriu A per, Av = λv, v en aquest s'anomena vector propi dret de la matriu A i sempre es multiplica al costat dret, ja que la multiplicació de matrius no és de naturalesa commutativa. En general, quan trobem el vector propi sempre és el vector propi correcte.

També podem trobar el vector propi esquerre de la matriu quadrada A utilitzant la relació, vA = vl

Aquí, v és el vector propi esquerre i sempre es multiplica pel costat esquerre. Si la matriu A és d'ordre n × n aleshores v és una matriu de columna d'ordre 1 × n.

Equació de vectors propis

L'equació de vectors propis és l'equació que s'utilitza per trobar el vector propi de qualsevol matriu quadrada. L'equació de vectors propis és,

Apagat = λv

On,

• A és la matriu quadrada donada,
• en és el vector propi de la matriu A, i
• l és qualsevol escalador múltiple.

Què són els valors propis i els vectors propis?

Si A és a matriu quadrada d'ordre n × n, llavors podem trobar fàcilment el vector propi de la matriu quadrada seguint el mètode que es discuteix a continuació,

Sabem que el vector propi es dóna mitjançant l'equació Av = λv, per a la matriu d'identitat d'ordre igual que l'ordre de A, és a dir, n × n, utilitzem l'equació següent,

(A-λI)v = 0

Resolvent l'equació anterior obtenim diversos valors de λ com a λ₁, l₂, ..., l_naquests valors s'anomenen valors propis i obtenim vectors propis individuals relacionats amb cada valor propi.

Simplificant l'equació anterior, obtenim v que és una matriu de columnes d'ordre n × 1 i v s'escriu com,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Com trobar un vector propi?

El vector propi de la següent matriu quadrada es pot calcular fàcilment mitjançant els passos següents:

Pas 1: Trobeu els valors propis de la matriu A, utilitzant l'equació det |(A – λI| =0, on I és la matriu d'identitat d'ordre similar a la matriu A

Pas 2: Els valors obtinguts al pas 2 s'anomenen λ₁, l₂, l₃….

Pas 3: Trobeu el vector propi (X) associat al valor propi λ₁utilitzant l'equació, (A – λ₁I) X = 0

Pas 4: Repetiu el pas 3 per trobar el vector propi associat amb altres valors propis restants λ₂, l₃….

Seguint aquests passos s'obté el vector propi relacionat amb la matriu quadrada donada.

Tipus de vectors propis

Els vectors propis calculats per a la matriu quadrada són de dos tipus que són,

• Vector propi dret
• Vector propi esquerre

Vector propi dret

El vector propi que es multiplica per la matriu quadrada donada des del costat dret s'anomena vector propi dret. Es calcula utilitzant la següent equació,

DE _R = λV _R

On,

• A es dóna una matriu quadrada d'ordre n×n,
• l és un dels valors propis, i
• EN _R és la matriu vectorial columna

El valor de V_Rés,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Vector propi esquerre

El vector propi que es multiplica per la matriu quadrada donada des del costat esquerre s'anomena vector propi esquerre. Es calcula utilitzant la següent equació,

EN _L A = V _L l

On,

concatenació de cadenes

• A es dóna una matriu quadrada d'ordre n×n,
• l és un dels valors propis, i
• EN _L és la matriu vectorial fila.

El valor de V_Lés,

EN _L = [v ₁ , en ₂ , en ₃ ,…, en _n ]

Vectors propis d'una matriu quadrada

Podem trobar fàcilment el vector propi de matrius quadrades d'ordre n × n. Ara, anem a trobar les matrius quadrades següents:

• Vectors propis d'una matriu 2 × 2
• Vectors propis d'una matriu 3 × 3.

Vector propi d'una matriu 2 × 2

El vector propi de la matriu 2 × 2 es pot calcular mitjançant els passos esmentats anteriorment. Un exemple del mateix és,

Exemple: Trobeu els valors propis i el vector propi de la matriu A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Solució:

Si els valors propis es representen mitjançant λ i el vector propi es representa com v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Aleshores es calcula el vector propi utilitzant l'equació,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 i λ = -1

Així, els valors propis són 6 i -1. Aleshores els respectius vectors propis són,

Per a λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Simplificant l'equació anterior obtenim,

5a=2b

El vector propi necessari és,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Per a λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

Simplificant l'equació anterior obtenim,

a = -b

El vector propi requerit és,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Aleshores, els vectors propis de la matriu 2 × 2 donada sónegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Aquests són dos possibles vectors propis, però molts dels múltiples corresponents d'aquests vectors propis també es poden considerar com altres possibles vectors propis.

Vector propi d'una matriu 3 × 3

El vector propi de la matriu 3 × 3 es pot calcular mitjançant els passos esmentats anteriorment. Un exemple del mateix és,

Exemple: Trobeu els valors propis i el vector propi de la matriu A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Solució:

Si els valors propis es representen mitjançant λ i el vector propi es representa com v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Aleshores es calcula el vector propi utilitzant l'equació,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Simplificant el determinant anterior obtenim

⇒ (2-l)(l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Per a λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Simplificant l'equació anterior obtenim

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Sigui b = k₁i c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Així, el vector propi és,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

prenent k₁= 1 i k₂= 0

el vector propi és,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

prenent k₁= 0 i k₂= 1

el vector propi és,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Per a λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Simplificant l'equació anterior obtenim,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Sigui b = k₁i c = k₂, i prenent k₁= k₂= 1,

obtenim,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Així, el vector propi és,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Espai propi

Definim l'espai propi d'una matriu com el conjunt de tots els vectors propis de la matriu. Tots els vectors de l'espai propi són linealment independents entre si.

Per trobar l'espai propi de la matriu hem de seguir els passos següents

Pas 1: Troba tots els valors propis de la matriu quadrada donada.

Pas 2: Per a cada valor propi, trobeu el vector propi corresponent.

Pas 3: Preneu el conjunt de tots els vectors propis (per exemple A). El conjunt resultant així format s'anomena espai propi del vector següent.

A partir de l'exemple anterior de la matriu 3 × 3 donada A, l'espai propi així format és {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Aplicacions dels valors propis

Algunes de les aplicacions habituals dels valors propis són:

Àlgebra linial

Diagonalització: els valors propis s'utilitzen per diagonalitzar matrius, simplificant els càlculs i resolent sistemes lineals de manera més eficient.

Exponenciació de matrius: els valors propis tenen un paper crucial en el càlcul de l'exponenciació d'una matriu.

Mecànica quàntica

Equació de Schrödinger: els valors propis de l'operador hamiltonià corresponen als nivells d'energia dels sistemes quàntics, proporcionant informació sobre possibles estats.

Vibracions i anàlisi estructural:

Vibracions mecàniques: els valors propis representen les freqüències naturals dels sistemes vibracionals. En l'anàlisi estructural, ajuden a comprendre l'estabilitat i el comportament de les estructures.

Estadístiques

Matriu de covariància: en l'estadística multivariant, els valors propis s'utilitzen en l'anàlisi de matrius de covariància, proporcionant informació sobre la dispersió i l'orientació de les dades.

Grafics d'ordinador

Anàlisi de components principals (PCA): els valors propis s'utilitzen en PCA per trobar els components principals d'un conjunt de dades, reduint la dimensionalitat i conservant la informació essencial.

Sistemes de control

Estabilitat del sistema: els valors propis de la matriu del sistema són crítics per determinar l'estabilitat d'un sistema de control. L'anàlisi d'estabilitat ajuda a garantir que la resposta del sistema està limitada.

Diagonalitzar la matriu utilitzant valors propis i vectors propis

Els valors propis i els vectors propis s'utilitzen per trobar matrius diagonals. A matriu diagonal és una matriu que es pot escriure com,

dhl significa què

A = XDX ^-1

On,

• D és la matriu que es forma substituint els 1 de la matriu d'identitat per valors propis, i
• X és la matriu formada per vectors propis.

Podem entendre el concepte de matriu diagonal prenent l'exemple següent.

Exemple: Diagonalitzar la matriu A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Solució:

Ja hem resolt els valors propis i els vectors propis de l'A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Els valors propis de A són λ = 0, λ = 0 i λ = -8

Els vectors propis de A sónegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Així,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Podem trobar fàcilment la inversa de X com,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Llegeix més,

• Operació elemental sobre matrius
• Matriu d'identitat
• Inversa d'una matriu

Exemples resolts sobre vectors propis

Exemple 1: Trobeu els vectors propis de la matriu A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Solució:

Els valors propis de la matriu es troben utilitzant,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Així, els valors propis són,

λ = 1, 1, 1

Com que tots els valors propis són iguals, tenim tres vectors propis idèntics. Trobarem els vectors propis per a λ = 1, utilitzant (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

resolent l'equació anterior obtenim,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Aleshores el vector propi és,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Exemple 2: Trobeu els vectors propis de la matriu A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Solució:

Els valors propis de la matriu es troben utilitzant,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Així, els valors propis són,

λ = 5,5

Com que tots els valors propis són iguals, tenim tres vectors propis idèntics. Trobarem els vectors propis per a λ = 1, utilitzant

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Simplement l'anterior obtenim,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Aleshores el vector propi és,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Preguntes freqüents sobre vectors propis

Què són els vectors propis?

Definim el vector propi de qualsevol matriu com el vector que en multiplicar-se amb la matriu dóna com a resultat el múltiple escalador de la matriu.

Com trobar vectors propis?

El vector propi de qualsevol matriu A es denota per en . El vector propi de la matriu es calcula trobant primer el valor propi de la matriu.

• El valor propi de la matriu es troba mitjançant la fórmula, |A-λI| = 0 on λ dóna els valors propis.
• Després de trobar el valor propi hem trobat el vector propi per la fórmula, Av = λv, on v dóna el vector propi.

Quina diferència hi ha entre el valor propi i el vector propi?

Per a qualsevol matriu quadrada A, els valors propis es representen amb λ i es calcula amb la fórmula |A – λI| = 0. Després de trobar el valor propi trobem el vector propi per, Av = λv.

Què és la matriu diagonalitzable?

Qualsevol matriu que es pugui expressar com el producte de les tres matrius com a XDX^-1és una matriu diagonalitzable aquí D s'anomena matriu diagonal.

Els valors propis i els vectors propis són iguals?

No, els valors propis i els vectors propis no són iguals. Els valors propis són l'escalador que s'utilitza per trobar vectors propis, mentre que els vectors propis són els vectors que s'utilitzen per trobar transformacions de vectors matrius.

Pot ser un vector propi un vector zero?

Podem que els valors propis siguin zero, però el vector propi mai pot ser un vector zero.

Què és la fórmula dels vectors propis?

El vector propi de qualsevol matriu es calcula mitjançant la fórmula,

Apagat = λv

on,
l és el valor propi
en és el vector propi