La trigonometria és una branca important de les matemàtiques que tracta de la relació entre angles i longituds dels costats d'un triangle rectangle. Les sis relacions o funcions trigonomètriques són sinus, cosinus, tangent, cosecant i secant, i una raó trigonomètrica és una relació entre els costats d'un triangle rectangle. Les funcions sinus, cosinus i tangent són tres funcions trigonomètriques importants ja que les altres tres, és a dir, les funcions cosecants, secants i cotangents són les funcions recíproques de les funcions sinus, cosinus i tangents, respectivament.

• sin θ = costat oposat/hipotenusa
• cos θ = costat adjacent/hipotenusa
• tan θ = costat oposat/costat adjacent
• cosec θ = Hipotenusa/Cot oposat
• sec θ = Hipotenusa/Cot adjacent
• bressol θ = costat adjacent/costat oposat

La funció tangent és una de les 6 funcions trigonomètriques que s'utilitzen fórmules de trigonometria .

Taula de contingut

• Fórmula tangent
• Algunes fórmules tangents bàsiques
• Funció tangent en termes de funció sinusoïdal
• Funció tangent en termes de funció cosinus
• Funció tangent en termes de funció cotangent
• Funció tangent en termes de funció cosecant
• Funció tangent en termes de funció secant

Fórmula tangent

La tangent d'un angle en un triangle rectangle és la relació entre la longitud del costat oposat i la longitud del costat adjacent a l'angle donat. Escrivim una funció tangent com a tan. Considerem un triangle rectangle XYZ i un dels seus angles aguts és θ. Un costat oposat és el costat oposat a l'angle θ i el costat adjacent és el costat que és adjacent a l'angle θ.

Ara, la fórmula tangent per a l'angle donat θ és,

tan θ = costat oposat/costat adjacent

Algunes fórmules tangents bàsiques

Funció tangent en quadrants

La funció tangent és positiva al primer i tercer quadrants i negativa al segon i quart quadrants.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^stquadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndquadrant)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdquadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thquadrant)

Funció tangent com a funció negativa

La funció tangent és una funció negativa ja que la tangent d'un angle negatiu és la negativa d'un angle tangent positiu.

tan (-θ) = – tan θ

Funció tangent en termes de funció sinus i coseus

La funció tangent en termes de funcions sinus i cosinus es pot escriure com,

tan θ = sin θ/cos θ

Sabem que tan θ = costat oposat/costat adjacent

Ara, divideix el numerador i el denominador amb la hipotenusa

tan θ = (costat oposat/hipotenusa)/(costat adjacent/hipotenusa)

Sabem que, sin θ = costat oposat/hipotenusa

cos θ = costat adjacent/hipotenusa

Per tant, tan θ = sin θ/cos θ

Funció tangent en termes de funció sinusoïdal

La funció tangent en termes de la funció sinus es pot escriure com,

tan θ = sense θ/(√1 – sense ² i)

Ho sabem,

tan θ = sin θ/cos θ

com descarregar vídeos de youtube vlc

De les identitats pitagòriques, tenim,

sense²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²i

cos θ = √(1 – sense²i)

Per tant, tan θ = sin θ/(√1 – sin²i)

Funció tangent en termes de funció cosinus

La funció tangent en termes de la funció cosinus es pot escriure com,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Ho sabem,

tan θ = sin θ/cos θ

De les identitats pitagòriques, tenim,

sense²θ + cos²θ = 1

sense²θ = 1 – cos²i

sense θ = √(1 – cos²i)

Hence, tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Funció tangent en termes de funció cotangent

La funció tangent en termes de la funció cotangent es pot escriure com,

tan θ = 1/cot θ

o

tan θ = cot (90° – θ) (o) cot (π/2 – θ)

Funció tangent en termes de funció cosecant

La funció tangent en termes de la funció cosecant es pot escriure com,

tan θ = 1/√(cosec ² i - 1)

De les identitats pitagòriques, tenim,

cosec²θ – bressol²θ = 1

bressol²θ = cosec²i - 1

cot θ = √(cosec²i - 1)

Ho sabem,

tan θ = 1/cot θ

Per tant, tan θ = 1/√(cosec²i - 1)

Funció tangent en termes de funció secant

La funció tangent en termes de la funció secant es pot escriure com,

tan θ = √sec ² i - 1

De les identitats pitagòriques, tenim,

sec²θ – tan²θ = 1

tan θ = sec²i - 1

Per tant, tan θ = √(sec²i - 1)

Funció tangent en termes de doble angle

La funció tangent per a un angle doble és,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² i)

Funció tangent en termes d'angle triple

La funció tangent per a un angle triple és,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² i)

Funció tangent en termes de mig angle

La funció tangent per a un mig angle és,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Funció tangent en termes de suma i resta de dos angles

Les fórmules de suma i diferència per a una funció tangent són:

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Taula de relacions trigonomètriques

Exemple resolt sobre fórmules tangents

Exemple 1: Trobeu el valor de tan θ si sin θ = 2/5 i θ és l'angle del primer quadrant.

Solució:

Donat,

• sin θ = 2/5

De les identitats pitagòriques que tenim,

sense²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Com que θ és l'angle del primer quadrant, cos θ és positiu.

cos θ = √21/5

Ho sabem,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21 /21

Per tant, el valor de tan θ quan sin θ = 2/5 i θ està al primer quadrant és (2√21) /(21)

Exemple 2: Trobeu el valor de tan x si sec x = 13/12 i x és l'angle del quart quadrant.

Solució:

Donat, sec x = 13/12

De les identitats pitagòriques, tenim,

sec²x – tan²x = 1

tan²x = seg²x – 1= (13/12)²– 1

tan²x = (169/144) – 1= 25/144

tan x = ± 5/12

Com que x és l'angle del quart quadrant, tan x és negatiu.

tan x = – 5/12

Per tant, tan x = – 5/12

Exemple 3: Si tan X = 2/3 i tan Y = 1/2, quin és el valor de tan (X + Y)?

Solució:

Donat,

tan X = 2/3 i tan Y = 1/2

Ho sabem,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Per tant, tan (X + Y) = 7/4

Exemple 4: Calculeu la funció tangent si els costats adjacents i oposats d'un triangle rectangle fan 4 cm i 7 cm, respectivament.

Solució:

normalització rdbms

Donat,

Lateral adjacent = 4 cm

Cara oposada = 7 cm

Ho sabem,

tan θ = costat oposat/costat adjacent

tan θ = 7/4 = 1.75

Per tant, tan θ = 1.75

Exemple 5: un home mira una torre del rellotge amb un angle de 60° amb la part superior de la torre, l'alçada de la qual és de 100 m. Quina distància hi ha entre l'home i el peu de la torre?

Solució:

Donat,

Alçada de la torre = 100 m i θ = 60°

Sigui distància entre l'home i el peu de la torre = d

Tenim,

tan θ = costat oposat/costat adjacent

tan 60° = 100/d

√3 = 100/d [Since, tan 60° = √3]

d = 100/√3

Per tant, la distància entre l'home i el peu de la torre és 100/√3

Exemple 6: Trobeu el valor de tan θ si sin θ = 7/25 i sec θ = 25/24.

Solució:

Donat,

sin θ = 7/25

sec θ = 25/24

Ho sabem,

sec θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Tenim,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Per tant, tan θ = 7/24

Exemple 7: Trobeu el valor de tan θ si cosec θ = 5/3, i θ és l'angle del primer quadrant.

Solució:

Donat, cosec θ = 5/3

De les identitats pitagòriques, tenim,

123 pel·lícula

cosec²θ – bressol²θ = 1

bressol²θ = cosec²i - 1

bressol θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

bressol θ = ±√16/9 = ± 4/3

Com que θ és el primer angle del quadrant, tant les funcions cotangents com les tangents són positives.

bressol θ = 4/3

Ho sabem,

cot θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tan θ

tan θ = 3/4

Per tant, tan θ = 3/4

Exemple 8: Trobeu tan 3θ si sin θ = 3/7 i θ és l'angle del primer quadrant.

Solució :

Donat, sin θ = 12/13

De les identitats pitagòriques que tenim,

sense²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Com que θ és l'angle del primer quadrant, cos θ és positiu.

cos θ = 5/13

Ho sabem,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Per tant, tan θ = 12/5

Ara, sabem que,

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)