Les fórmules de trigonometria són equacions que relacionen els costats i els angles dels triangles. Són essencials per resoldre una àmplia gamma de problemes en matemàtiques, física, enginyeria i altres camps.

Aquests són alguns dels tipus més comuns de fórmules de trigonometria:

• Definicions bàsiques: Aquestes fórmules defineixen les proporcions trigonomètriques (sinus, cosinus, tangent, etc.) en termes dels costats d'un triangle rectangle.
• Teorema de Pitàgores: Aquest teorema relaciona les longituds dels costats d'un triangle rectangle.
• Relacions angulars: Aquestes fórmules relacionen les proporcions trigonomètriques de diferents angles, com ara fórmules de suma i diferència, fórmules de doble angle i fórmules de mig angle.
• Identitats recíproques: Aquestes fórmules expressen una raó trigonomètrica en termes d'una altra, com ara sin(θ) = 1/coc(θ).
• cercle unitari: El cercle unitari és una representació gràfica de les proporcions trigonomètriques i es pot utilitzar per derivar moltes altres fórmules.
• Llei dels sinus i llei dels coseus: Aquestes lleis relacionen els costats i els angles de qualsevol triangle, no només triangles rectangles.

Continueu llegint per conèixer diferents fórmules i identitats trigonomètriques, exemples resolts i problemes de pràctica.

Taula de contingut

• Què és la trigonometria?
• Visió general de la fórmula de trigonometria
• Raons trigonomètriques bàsiques
• Identitats trigonomètriques
• Llista de fórmules de trigonometria

Què és la trigonometria?

La trigonometria es defineix com una branca de les matemàtiques que se centra en l'estudi de les relacions que impliquen longituds i angles de triangles. La trigonometria consisteix en diferents tipus de problemes que es poden resoldre mitjançant fórmules i identitats trigonomètriques.

Funcions de trigonometria

Les funcions trigonomètriques són funcions matemàtiques que relacionen els angles d'un triangle rectangle amb la longitud dels seus costats. Tenen àmplies aplicacions en diversos camps com la física, l'enginyeria, l'astronomia i molt més. Les funcions trigonomètriques primàries inclouen sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant i cosecant.

Visió general de la fórmula de trigonometria

Les fórmules de trigonometria són expressions matemàtiques que relacionen els angles i els costats de a Triangle rectangle . N'hi ha 3 costats un triangle rectangle està fet de:

• Hipotenusa : Aquest és el costat més llarg d'un triangle rectangle.
• Perpendicular/costat oposat : És el costat que forma un angle recte respecte a l'angle donat.
• Base : La base fa referència al costat adjacent on es connecten tant la hipotenusa com el costat oposat.

Ratio de trigonometria

Totes les proporcions trigonomètriques, identitats de productes, fórmules de mig angle, fórmules de doble angle, identitats de suma i diferència, identitats de cofunció, un signe de proporcions en diferents quadrants, etc. es donen breument aquí per als alumnes de les classes 9, 10, 11, 12. .

cerca lineal en java

Aquí teniu la llista de fórmules en trigonometria que parlarem:

• Fórmules bàsiques de raó trigonomètrica
• Fórmules de cercles unitaris
• Identitats trigonomètriques

Raons trigonomètriques bàsiques

Hi ha 6 proporcions en trigonometria. Aquestes s'anomenen Funcions Trigonomètriques. A continuació es mostra la llista de proporcions trigonomètriques , incloent sinus, cosinus, secant, cosecant, tangent i cotangent.

Fórmula del cercle unitat en trigonometria

Per a un cercle unitari, per al qual el radi és igual a 1, i és l'angle. Els valors de la hipotenusa i la base són iguals al radi de la circumferència unitat.

Hipotenusa = costat adjacent (base) = 1

Les proporcions de la trigonometria estan donades per:

• sense θ = i/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• cot θ = x/y
• sec θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Diagrama de funcions trigonomètriques

Identitats trigonomètriques

La relació entre funcions trigonomètriques s'expressa mitjançant identitats trigonomètriques, de vegades denominades identitats trigonomètriques o fórmules trigonomètriques. Continuen sent certs per a tots els valors de nombre real de les variables assignades en ells.

• Identitats recíproques
• Identitats pitagòriques
• Identitats de periodicitat (en radians)
• Fórmula d'angle parell i imparell
• Identitats de cofunció (en graus)
• Identitats de suma i diferència
• Identitats de doble angle
• Fórmules de trigonometria inversa
• Identitats de triple angle
• Identitats de mig angle
• Suma a les identitats del producte
• Identitats de producte

Parlem d'aquestes identitats en detall.

Identitats recíproques

Totes les identitats recíproques s'obtenen utilitzant un triangle rectangle com a referència. Les identitats recíproques són les següents:

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• cot θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/cot θ

Identitats pitagòriques

Segons el teorema de Pitàgores, en un triangle rectangle, si «c» és la hipotenusa i «a» i «b» són els dos catets, aleshores c2 = a2 + b2. Podem obtenir identitats pitagòriques utilitzant aquest teorema i raons trigonomètriques. Utilitzem aquestes identitats per convertir una relació trigonomètrica en una altra .

• sense²θ + cos²θ = 1
• 1 + tan²θ = seg²i
• 1 + bressol²θ = cosec²i

Gràfic de fórmules de trigonometria

Identitats de periodicitat (en radians)

Aquestes identitats es poden utilitzar per desplaçar els angles per π/2, π, 2π, etc. També es coneixen com a identitats de cofunció.

Tots identitats trigonomètriques repetir-se després d'un període determinat. Per tant, són de naturalesa cíclica. Aquest període per a la repetició de valors és diferent per a les diferents identitats trigonomètriques.

• sense (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sense A
• sense (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sense A
• sense (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sense A
• sense (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sense A
• sense (π – A) = sense A & cos (π – A) = – cos A
• sense (π + A) = – sense A & cos (π + A) = – cos A
• sense (2π – A) = – sense A & cos (2π – A) = cos A
• sense (2π + A) = sense A & cos (2π + A) = cos A

Aquí hi ha una taula que compara les propietats trigonomètriques en diferents quadrants:

Fórmula d'angle parell i imparell

Les fórmules d'angles parells i senars, també conegudes com a identitats parelles i senars, s'utilitzen per expressar funcions trigonomètriques d'angles negatius en termes d'angles positius. Aquestes fórmules trigonomètriques es basen en les propietats de les funcions parelles i senars.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• sec(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Identitats de cofunció (en graus)

Les identitats de cofunció ens donen la interrelació entre diverses funcions de trigonometria. Les cofuncions s'enumeren aquí en graus:

• sense(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sense x
• tan(90°−x) = cot x
• cot(90°−x) = tan x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Identitats de suma i diferència

Les identitats de suma i diferència són les fórmules que relacionen el sinus, el cosinus i la tangent de la suma o diferència de dos angles amb els sinus, cosinus i tangents dels angles individuals.

• sin(x+y) = sense(x)cos(y) + cos(x)sense(y)
• sin(x-y) = sense(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sense(x)sense(i)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sense(x)sense(y)
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Identitats de doble angle

Les identitats de doble angle són les fórmules que expressen funcions trigonomètriques dels angles que són el doble de la mesura d'un angle donat en termes de les funcions trigonomètriques de l'angle original.

• sense (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos (2x) = cos²(x) – sense²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(x)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(x)]
• seg (2x) = seg²x/(2 – seg²x)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Fórmules de trigonometria inversa

Les fórmules de trigonometria inversa es relacionen amb les funcions trigonomètriques inverses, que són les inverses de les funcions trigonomètriques bàsiques. Aquestes fórmules s'utilitzen per trobar l'angle que correspon a una relació trigonomètrica determinada.

• sense ^-1 (–x) = – sense ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• tan ^-1 (–x) = – tan ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 x
• sec ^-1 (–x) = π – sec ^-1 x
• bressol ^-1 (–x) = π – bressol ^-1 x

Identitats de triple angle

Les identitats d'angles triples són fórmules utilitzades per expressar funcions trigonomètriques d'angles triples (3θ) en termes de les funcions d'angles simples (θ). Aquestes fórmules trigonomètriques són útils per simplificar i resoldre equacions trigonomètriques on hi intervenen angles triples.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ x

string jsonobject

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Identitats de mig angle

Les identitats de mig angle són aquelles fórmules trigonomètriques que s'utilitzen per trobar el sinus, el cosinus o la tangent de la meitat d'un angle donat. Aquestes fórmules s'utilitzen per expressar funcions trigonomètriques dels semiangles en termes de l'angle original.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Les ordres de Linux creen una carpeta

També,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Suma a les identitats del producte

Les identitats de suma a producte són les fórmules trigonomètriques que ens ajuden a expressar sumes o diferències de funcions trigonomètriques com a productes de funcions trigonomètriques.

• sinx + siny = 2[sense((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sense((x − y)/2)]
• cosx + cosy = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − cosy = −2[sense((x + y)/2)sense((x − y)/2)]

Identitats de producte

Les identitats de producte, també conegudes com a identitats producte a suma, són les fórmules que permeten l'expressió de productes de funcions trigonomètriques com a sumes o diferències de funcions trigonomètriques.

Aquestes fórmules trigonomètriques es deriven de les fórmules de suma i diferència per al sinus i el cosinus.

• sinx⋅cosi = [sense(x + y) + sense(x − y)]/2
• cosx⋅cosi = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Llista de fórmules de trigonometria

La taula que es mostra a continuació consta de proporcions trigonometriques bàsiques per a angles com ara 0°, 30°, 45°, 60° i 90° que s'utilitzen habitualment per resoldre problemes.

Preguntes resoltes sobre fórmula de trigonometria

Aquí teniu alguns exemples resolts de fórmules de trigonometria per ajudar-vos a comprendre millor els conceptes.

Pregunta 1: Si cosec θ + cot θ = x, trobeu el valor de cosec θ – cot θ, utilitzant la fórmula de trigonometria.

Solució:

cosec θ + cot θ = x

Sabem que cosec²θ+ bressol²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Pregunta 2: Utilitzant fórmules de trigonometria, demostreu que tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Solució:

Tenim,

L.H.S= tan 10 ° tan 15 ° tan 75 ° tan 80 °

= tan(90-80) ° tan 15 ° tan(90-15) ° tan 80 °

= bressol 80 ° tan 15 ° bressol 15 ° tan 80 °

=(bressol 80 ° * tan 80 ° )( bressol 15 ° * tan 15 ° )

= 1 = R.H.S

Pregunta 3: Si sin θ cos θ = 8, trobeu el valor de (sin θ + cos θ) ² utilitzant les fórmules de trigonometria.

Solució:

(sin θ + cos θ)²

poda alfa beta

= sense²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Pregunta 4: Amb l'ajuda de fórmules trigonomètriques, demostra que (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Solució:

L.H.S = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tan θ + sec θ) – (seg²θ – tan²θ)]/(tan θ – sec θ + 1), [Atès que, sec²θ – tan²θ = 1]

conversió de cadena a int en java

= {(tan θ + sec θ) – (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Provat.

Preguntes freqüents sobre fórmules i identitats trigonomètriques

Què és la trigonometria?

La trigonometria és una branca de les matemàtiques que se centra en les relacions entre els angles i els costats dels triangles, especialment els triangles rectangles.

Quines són les tres raons trigonomètriques bàsiques?

• Sense A = Perpendicular/ Hypotenuse
• Cos A= Base/Hipotenusa
• Tan A= Perpendicular/ Base

A quin triangle són aplicables les fórmules trigonomètriques?

Les fórmules trigonomètriques són aplicables als triangles en angle recte.

Quines són les principals proporcions trigonomètriques?

Sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant i cossecant.

Per a quin angle és igual el valor de la proporció de bronzejat a la relació de cot?

Per al valor de 45°, tan 45°= cot 45° = 1.

Quina és la fórmula de sin3x?

La fórmula per a sin3x és 3sin x – 4 sin³x.