A Hipèrbola és una corba suau en un pla amb dues branques que s'emmirallen, semblant dos arcs infinits. És una secció cònica formada en tallar un con circular recte amb un pla amb un angle tal que les dues meitats del con es tallen.

Aprenem sobre la hipèrbola en detall, incloses les seves equacions, fórmules, propietats, gràfics i derivacions.

Hipèrbola

Taula de contingut

• Què és la Hipèrbola?
• Definició d'hipèrbola
• Equació d'hipèrbola
• Parts de la hipèrbola
• Excentricitat de la hipèrbola
• Equació estàndard de la hipèrbola
• El costat dret de la hipèrbola
• Derivació de l'equació de la hipèrbola
• Fórmula d'hipèrbola
• Gràfic de la hipèrbola
• Hipèrbola conjugada
• Propietats de la hipèrbola
• Cercles auxiliars de la hipèrbola
• Hipèrbola rectangular
• Representació paramètrica de la hipèrbola
• Hipèrbola classe 11
• Exemples resolts sobre la hipèrbola
• Pràctica de problemes sobre la hipèrbola

Què és la Hipèrbola?

Una hipèrbola és el lloc geogràfic dels punts la diferència dels quals en les distàncies de dos focus és un valor fix. Aquesta diferència s'obté restant la distància del focus més proper de la distància del focus més llunyà.

Si P (x, y) és un punt de la hipèrbola i F, F' són dos focus, aleshores el lloc geogràfic de la hipèrbola és

PF – PF' = 2a

Nota: Consulteu el diagrama afegit a la derivació de la imatge.

Definició d'hipèrbola

En geometria analítica, una hipèrbola és un tipus de secció cònica creada quan un pla talla les dues meitats d'un doble con circular recte amb un angle . Aquesta intersecció dóna lloc a dues corbes separades i il·limitades que són imatges mirall l'una de l'altra, formant una hipèrbola.

Equació d'hipèrbola

L'equació d'una hipèrbola en la seva forma estàndard depèn de la seva orientació i de si està centrada en l'origen o en un altre punt. Aquí hi ha les dues formes principals per a les hipèrboles centrades a l'origen, una s'obre horitzontalment i l'altra s'obre verticalment:

x ² /a ² – i ² /b ² = 1

Aquesta equació representa una hipèrbola que s'obre a l'esquerra i a la dreta. Els punts (±a,0) són els vèrtexs de la hipèrbola, situats a l'eix x.

Parts de la hipèrbola

Una hipèrbola és una secció cònica que es desenvolupa quan un pla talla un con circular doble dret amb un angle tal que les dues meitats del con s'uneixin. Es pot descriure utilitzant conceptes com focus, directriu, latus rectum i excentricitat.

Excentricitat de la hipèrbola

L'excentricitat d'una hipèrbola és la relació entre la distància d'un punt des del focus i la seva distància perpendicular a la directora. Es denota amb la lletra ' És ‘.

• L'excentricitat d'una hipèrbola sempre és major que 1, és a dir, e>1.
• Podem trobar fàcilment l'excentricitat de la hipèrbola mitjançant la fórmula:

e = √[1 + (b ² /a ² )]

on,

• a és la longitud del semieix major
• b és la longitud del semieix menor

Llegeix més: Excentricitat

Equació estàndard de la hipèrbola

Les equacions estàndard d'una hipèrbola són:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

O

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Una hipèrbola té dues equacions estàndard. Aquestes equacions d'una hipèrbola es basen en el seu eix transversal i l'eix conjugat.

cout

• L'equació estàndard de la hipèrbola és [(x²/a²) – (i²/b²)] = 1, on l'eix X és l'eix transversal i l'eix Y és l'eix conjugat.
• A més, una altra equació estàndard de la hipèrbola és [(y²/a²)- (x²/b²)] = 1, on l'eix Y és l'eix transversal i l'eix X és l'eix conjugat.
• Equació estàndard de la hipèrbola amb el centre (h, k) i l'eix X com a eix transversal i l'eix Y com a eix conjugat,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• A més, una altra equació estàndard de la hipèrbola amb el centre (h, k) i l'eix Y com a eix transversal i l'eix X com a eix conjugat és

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

El costat dret de la hipèrbola

El latus recte d'una hipèrbola és una línia que passa per qualsevol dels focus d'una hipèrbola i perpendicular a l'eix transversal de la hipèrbola. Els extrems d'un latus rectum es troben a la hipèrbola i la seva longitud és de 2b²/a.

Derivació de l'equació de la hipèrbola

Considerem un punt P de la hipèrbola les coordenades del qual són (x, y). Per la definició de la hipèrbola, sabem que la diferència entre la distància del punt P dels dos focus F i F' és 2a, és a dir, PF'-PF = 2a.

Siguin les coordenades dels focus F (c, o) i F ‘(-c, 0).

Ara, utilitzant la fórmula de la distància de coordenades, podem trobar la distància del punt P (x, y) als focus F (c, 0) i F '(-c, 0).

√[(x + c)²+ (i – 0)²] – √[(x – c)²+ (i – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ i²] = 2a + √[(x – c)²+ i²]

Ara, quadrant ambdós costats, obtenim

(x + c)²+ i²= 4a²+ (x – c)²+ i²+ 4a√[(x – c)²+ i²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ i²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ i²]

Ara, quadrant pels dos costats i simplificant, obtenim

[(x²/a²) – (i²/(c²– a²))] = 1

Tenim, c²= a²+ b², així que substituint això a l'equació anterior, obtenim

x²/a²– i²/b²= 1

Per tant, es deriva l'equació estàndard de la hipèrbola.

De la mateixa manera, podem derivar les equacions estàndard de l'altra hipèrbola, és a dir, [y²/a²–x²/b²] = 1

Fórmula d'hipèrbola

Les següents fórmules d'hipèrbola s'utilitzen àmpliament per trobar els diversos paràmetres de la hipèrbola que inclouen, l'equació de la hipèrbola, l'eix major i menor, l'excentricitat, les asímptotes, el vèrtex, els focus i el recte semi-lat.

On,

• (x₀​, i₀) és el punt central
• a és el Semieix major
• b és el Semieix menor.

Gràfic de la hipèrbola

La hipèrbola és una corba que té dues corbes il·limitades que són imatges mirall l'una de l'altra. La gràfica de la hipèrbola mostra aquesta corba en el pla 2D. Podem observar les diferents parts d'una hipèrbola en els gràfics d'hipèrbola per a les equacions estàndard que es donen a continuació:

Equació de la hipèrbola	Gràfic de la hipèrbola	Paràmetres de la hipèrbola
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Coordenades del centre: (0, 0) Coordenades del vèrtex: (a, 0) i (-a, 0) Coordenades dels focus: (c, 0) i (-c, 0) La longitud de l'eix transversal = 2a La longitud de l'eix conjugat = 2b La longitud del latus rectum = 2b2/a Equacions d'asimptotes: y = (b/a) x i y = -(b/a) x Excentricitat (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Coordenades del centre: (0, 0) Coordenades del vèrtex: (0, a) i (0, -a) Coordenades dels focus: (0, c) i (0, -c) La longitud de l'eix transversal = 2b La longitud de l'eix conjugat = 2a La longitud del latus rectum = 2b2/a Equacions d'asimptotes: y = (a/b) x i y = -(a/b) x Excentricitat (e) = √[1 + (b2/a2)]

Hipèrbola conjugada

La hipèrbola conjugada són 2 hipèrboles de manera que els eixos transversal i conjugat d'una hipèrbola són els eixos conjugat i transversal de l'altra hipèrbola respectivament.

Hipèrbola conjugada de (x²/ a²) – (i²/b²) = 1 és,

(x ² / a ² ) – (i ² / b ² ) = 1

On,

• a és el semieix major
• b és Semi-eix menor
• És és l'excentricitat de la paràbola
• a ² = b ² (És ² − 1)

Propietats de la hipèrbola

• Si les excentricitats de la hipèrbola i el seu conjugat són e₁, i e₂llavors,

(1 i ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Els focus d'una hipèrbola i el seu conjugat són concíclics i formen els vèrtexs d'un quadrat.
• Les hipèrboles són iguals si tenen el mateix latus rectum.

Cercles auxiliars de la hipèrbola

El cercle auxiliar és un cercle que es dibuixa amb el centre C i el diàmetre com a eix transversal de la hipèrbola. El cercle auxiliar de l'equació de la hipèrbola és,

x ² + i ² = a ²

Hipèrbola rectangular

Una hipèrbola amb un eix transversal de 2a unitats i un eix conjugat de 2b unitats d'igual longitud s'anomena hipèrbola rectangular. és a dir, en hipèrbola rectangular,

2a = 2b

⇒ a = b

L'equació d'una hipèrbola rectangular es dóna de la següent manera:

x ² – i ² = a ²

Nota: L'excentricitat de la hipèrbola rectangular és √2.

Representació paramètrica de la hipèrbola

La representació paramètrica dels cercles auxiliars de la hipèrbola és:

x = a sec θ, y = b tan θ

La gent també llegeix

• Secció cònica
• Paràbola
• Cercle
• El·lipse

Hipèrbola classe 11

A la classe 11 de matemàtiques, l'estudi de les hipèrboles forma part de les seccions còniques de la geometria analítica. Entendre les hipèrboles en aquest nivell implica explorar la seva definició, equacions estàndard, propietats i diversos elements associats amb elles.

El currículum de la classe 11 normalment inclou derivar aquestes equacions i propietats, dibuixar hipèrboles a partir d'equacions donades i resoldre problemes relacionats amb els elements i les posicions de la hipèrbola. El domini d'aquests conceptes proporciona una base sòlida en l'anàlisi geometria , preparant els estudiants per a estudis posteriors en matemàtiques i camps relacionats.

Resum – Hipèrbola

Una hipèrbola és un tipus de secció cònica que es forma quan un pla talla un con amb un angle tal que es produeixen dues corbes separades. Caracteritzada per la seva simetria de mirall, una hipèrbola consta de dues branques desconnectades, cadascuna s'allunya de l'altra. Es pot definir matemàticament en un pla de coordenades mitjançant una equació estàndard, que varia en funció de la seva orientació —ja sigui horitzontal o vertical— i si el seu centre està a l'origen o en un altre punt.

Les formes estàndard són x ² /a ² – i ² /b ² = 1 per a una hipèrbola que s'obre horitzontalment i i ² /a ² –x ² /b ² = 1 per a una obertura verticalment, amb variacions per acomodar un centre mogut a (h,k). Les característiques clau de les hipèrboles inclouen els vèrtexs, els punts més propers de cada branca al centre; focus, punts des dels quals les distàncies a qualsevol punt de la hipèrbola tenen una diferència constant; i asímptotes, línies que les branques s'acosten però mai toquen.

Les propietats de les hipèrboles les fan significatives en diversos camps, com ara l'astronomia, la física i l'enginyeria, per modelar i analitzar trajectòries i comportaments hiperbòlics.

Exemples resolts sobre la hipèrbola

Pregunta 1: Determineu l'excentricitat de la hipèrbola x ² /64 – i ² /36 = 1.

Solució:

L'equació de la hipèrbola és x²/64 – i²/36 = 0

Comparant l'equació donada amb l'equació estàndard de la hipèrbola x²/a²– i²/b²= 1, obtenim

a²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Tenim,

arp una ordre

Excentricitat d'una hipèrbola (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Per tant, l'excentricitat de la hipèrbola donada és 1,25.

Pregunta 2: si l'equació de la hipèrbola és [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, troba les longituds de l'eix major, l'eix menor i el latus recte.

Solució:

L'equació de la hipèrbola és [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

En comparar l'equació donada amb l'equació estàndard de la hipèrbola, (x – h)²/a²– (i – k)²/b²= 1

Aquí, x = 4 és l'eix principal i y = 3 és l'eix menor.

a²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Longitud de l'eix major = 2a = 2 × (5) = 10 unitats

Longitud de l'eix menor = 2b = 2 × (3) = 6 unitats

Longitud del latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 unitats

Pregunta 3: Trobeu el vèrtex, la asímptota, l'eix major, l'eix menor i la directriu si l'equació de la hipèrbola és [(x-6) ² /7 ² ]-[(i-2) ² /4 ² ] = 1.

Solució:

L'equació de la hipèrbola és [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Comparant l'equació donada amb l'equació estàndard de la hipèrbola, (x – h)²/a²– (i – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Vèrtex d'una hipèrbola: (h + a, k) i (h – a, k) = (13, 2) i (-1, 2)

L'eix principal de la hipèrbola és x = h x = 6

L'eix menor de la hipèrbola és y = k y = 2

Les equacions d'asimptotes de la hipèrbola són

y = k − (b / a)x + (b / a)h i y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 i y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 i y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x i y = -1,43 + 0,57x

L'equació de la directriu d'una hipèrbola és x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Pregunta 4: Trobeu l'excentricitat de la hipèrbola el latus recte de la qual és la meitat del seu eix conjugat.

Solució:

La longitud del latus recte és la meitat del seu eix conjugat

Sigui l'equació de la hipèrbola [(x²/ a²) – (i²/ b²)] = 1

Eix conjugat = 2b

Longitud del latus rectum = (2b²/ a)

A partir de les dades proporcionades, (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Tenim,

Excentricitat de la hipèrbola (e) = √[1 + (b²/a²)]

Ara, substituïu a = 2b a la fórmula de l'excentricitat

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Per tant, l'excentricitat requerida és √5/2.

Pràctica de problemes sobre la hipèrbola

P1. Trobeu l'equació de forma estàndard de la hipèrbola amb els vèrtexs a (-3, 2) i (1, 2) i una distància focal de 5.

P2. Determineu el centre, els vèrtexs i els focus de la hipèrbola amb l'equació 9x ² – 4 anys ² = 36.

P3. Donada la hipèrbola amb l'equació (x – 2) ² /16 – (i + 1) ² /9 = 1, troba les coordenades del seu centre, vèrtexs i focus.

P4. Escriu l'equació de la hipèrbola amb un eix major horitzontal, el centre a (0, 0), un vèrtex a (5, 0) i un focus a (3, 0).

Hipèrbola - Preguntes freqüents

Què és la hipèrbola a les matemàtiques?

El lloc geogràfic d'un punt en un pla tal que la relació entre la seva distància des d'un punt fix i la d'una línia fixa és una constant més gran que 1 s'anomena hipèrbola.

Què és l'equació estàndard de la hipèrbola?

L'equació estàndard de la hipèrbola és

(x ² /a ² ) – (i ² /b ² ) = 1

Què és l'excentricitat de la hipèrbola?

L'excentricitat d'una hipèrbola és la relació entre la distància d'un punt des del focus i la seva distància perpendicular a la directora. Per a la hipèrbola l'excentricitat és sempre superior a 1.

Què és la fórmula de l'excentricitat de la hipèrbola?

La fórmula de l'excentricitat de la hipèrbola és e = √(1 + (b ² /a ² ))

Que són Focs de la hipèrbola?

Una hipèrbola té dos focus. Per a la hipèrbola (x²/a²) – (i²/b²) = 1, els focus estan donats per (ae, 0) i (-ae, 0)

Què és l'eix transversal de la hipèrbola?

Per a la hipèrbola (x²/a²) – (i²/b²) = 1, l'eix transversal és al llarg de l'eix x. La seva longitud ve donada per 2a. La línia que passa pel centre i els focus de la hipèrbola s'anomenen eix transversal d'una hipèrbola.

Què són les asímptotes de la hipèrbola?

Les línies paral·leles a la hipèrbola que es troben amb la hipèrbola a l'infinit s'anomenen asímptotes de la hipèrbola.

Quantes asímptotes té la hipèrbola?

Una hipèrbola té 2 asímptotes. Les asímptotes és una línia tangent a la hipèrbola que es troba amb la hipèrbola a l'infinit.

Per a què serveix la Hipèrbola?

Les hipèrboles troben aplicacions en diversos camps com l'astronomia, la física, l'enginyeria i l'economia. S'utilitzen en trajectòries de satèl·lit, patrons de transmissió de ràdio, orientació d'artilleria, modelització financera i mecànica celeste, entre altres àrees.

Quina diferència hi ha entre la paràbola i la hipèrbola en forma estàndard?

En forma estàndard, l'equació d'una paràbola implica termes elevats a la potència d'1 i 2, mentre que l'equació d'una hipèrbola implica termes elevats a la potència de 2 i -2. A més, la paràbola es caracteritza per un únic punt d'enfocament, mentre que la hipèrbola en té dos.

Què és el gràfic de l'equació bàsica de la hipèrbola?

L'equació bàsica d'un gràfic d'hipèrbola és:

(x – h)²/ a²– (i – k)²/ b²= 1

O

(i – k)²/ b²– (x -h)²/ a²= 1

Quins són els tipus d'hipèrbola?

Les hipèrboles es poden classificar en tres tipus segons la seva orientació: hipèrboles horitzontals, verticals i obliqües.

Com identifiqueu una equació d'hipèrbola?

Una equació d'hipèrbola normalment inclou termes amb tots dos x i i variables, amb una diferència entre els quadrats de x i i coeficients, i els coeficients d'aquests termes són positius i negatius, respectivament.

Quina és la fórmula de B a la hipèrbola?

En la forma estàndard d'una equació d'hipèrbola, B representa la longitud de l'eix conjugat i la seva fórmula és B = 2 b , on b és la distància del centre als vèrtexs al llarg de l'eix conjugat.

Com dibuixar una hipèrbola?

Per dibuixar una hipèrbola, normalment comenceu traçant el punt central i després marqueu els vèrtexs, els focus, les asímptotes i altres punts clau en funció de l'equació o propietats donades. Finalment, dibuixeu les corbes de la hipèrbola utilitzant aquests punts com a guies.