La forma estàndard d'una paràbola és y = ax2+ bx + c on a, b i c són nombres reals i a no és igual a zero. Una paràbola es defineix com el conjunt de tots els punts d'un pla equidistants d'una recta fixa i d'un punt fix del pla.
En aquest article, entendrem què és una paràbola, l'equació estàndard d'una paràbola, exemples relacionats i altres en detall.
Taula de contingut
- Què és una paràbola?
- Equació d'una paràbola
- Parts d'una paràbola
- Exemples sobre l'equació d'una paràbola
Què és una paràbola?
Una paràbola és una secció cònica definida com el conjunt de tots els punts equidistants d'un punt anomenat focus i d'una línia anomenada directriu. Les equacions estàndard d'una paràbola depenen de la seva orientació (direcció d'obertura) i de la seva posició.
Equació d'una paràbola
L'equació de la paràbola es pot escriure en forma estàndard o en forma general i totes dues s'afegeixen a continuació:
Equacions generals d'una paràbola
L'equació general d'una paràbola és:
y = 4a(x – h) 2 + k
(o)
x = 4a(y – k) 2 + h
On (h, k) és el vèrtex d'una paràbola.
Equacions estàndard d'una paràbola
L'equació estàndard d'una paràbola és:
y = ax 2 + bx + c
(o)
x = és 2 + per + c
on, a mai pot ser zero.
Parts d'una paràbola
Alguns termes i parts importants d'una paràbola són:
- Focus: El focus és el punt fix d'una paràbola.
- Directora: La directriu d'una paràbola és la recta perpendicular a l'eix d'una paràbola.
- Corda focal: La corda que passa pel focus d'una paràbola, tallant la paràbola en dos punts diferents, s'anomena corda focal.
- Distància focal: La distància focal és la distància d'un punt (x1, i1) a la paràbola des del focus.
- Costat dret: Un latus rectum és una corda focal que passa pel focus d'una paràbola i és perpendicular a l'eix de la paràbola. La longitud del latus recte és LL’ = 4a.
- Excentricitat: La relació entre la distància d'un punt des del focus i la seva distància a la directora s'anomena excentricitat (e). Per a una paràbola, l'excentricitat és igual a 1, és a dir, e = 1.
Una paràbola té quatre equacions estàndard basades en l'orientació de la paràbola i el seu eix. Cada paràbola té un eix transversal i un eix conjugat diferents.
| Equació de la paràbola | Paràbola | Fórmules de paràmetres d'una paràbola |
|---|---|---|
| i 2 = 4ax |  Paràbola horitzontal |
|
| i 2 = -4ax |  Paràbola horitzontal |
|
| x 2 = 4a |  Paràbola vertical |
|
| x 2 = -4ay |  Paràbola vertical |
|
Les següents són les observacions fetes a partir de la forma estàndard d'equacions d'una paràbola:
- Una paràbola és simètrica respecte al seu eix. Per exemple, y2= 4ax és simètric respecte a l'eix x, mentre que x2= 4ay és simètric respecte a l'eix y.
- Si una paràbola és simètrica respecte a l'eix x, aleshores la paràbola s'obre cap a la dreta si el coeficient x és positiu i cap a l'esquerra si el coeficient x és negatiu.
- Si una paràbola és simètrica respecte de l'eix y, aleshores la paràbola s'obre cap amunt si el coeficient y és positiu i cap avall si el coeficient y és negatiu.
Les següents són les equacions estàndard d'una paràbola quan l'eix de simetria és paral·lel a l'eix x o a l'eix y i el vèrtex no és a l'origen.
| Equació de la paràbola | Paràbola | Fórmules de paràmetres d'una paràbola |
|---|---|---|
| (i – k)2= 4a(x – h) |  Paràbola horitzontal |
|
| (i – k)2= -4a(x – h) |  Paràbola horitzontal |
|
| (x – h)2= 4a(y – k) |  Paràbola vertical |
|
| (x – h)2= -4a(y – k) |  Paràbola vertical |
|
Equació de la derivació de la paràbola
Sigui P un punt de la paràbola les coordenades de la qual són (x, y). A partir de la definició d'una paràbola, la distància del punt P al focus (F) és igual a la distància del mateix punt P a la directriu d'una paràbola. Ara, considerem un punt X de la directriu, les coordenades del qual són (-a, y).
A partir de la definició de l'excentricitat d'una paràbola, tenim
e = PF/PX = 1
⇒ PF = PX
Les coordenades del focus són (a, 0). Ara, utilitzant la fórmula de la distància de coordenades, podem trobar la distància del punt P (x, y) al focus F (a, 0).
PF = √[(x – a)2+ (i – 0)2]
⇒ PF = √[(x – a)2+ i2] —————— (1)
L'equació de la directriu és x + a = 0. Per trobar la distància de PX, utilitzem la fórmula de la distància perpendicular.
PX = (x + a)/√[12+ 02]
⇒ PX = x +a —————— (2)
Ja sabem que PF = PX. Per tant, igualeu les equacions (1) i (2).
√[(x – a)2+ i2] = (x + a)
Amb el quadrat dels dos costats obtenim,
⇒ [(x – a)2+ i2] = (x + a)2
⇒ x2+ a2– 2x + y2= x2+ a2+ 2ax
⇒ i2– 2ax = 2ax
⇒ i2= 2ax + 2ax ⇒ i 2 = 4ax
Així, hem derivat l'equació d'una paràbola. De la mateixa manera, podem derivar les equacions estàndard de les altres tres paràboles.
- i2= -4ax
- x2= 4a
- x2= -4ay
i 2 = 4ax, i 2 = -4ax, x 2 = 4ay, i x 2 = -4ay són les equacions estàndard d'una paràbola.
Articles relacionats amb Parabola:
- Equació del cercle
- Equació de l'el·lipse
- Equació de la hipèrbola
- Aplicacions de la paràbola a la vida real
Exemples sobre l'equació d'una paràbola
Exemple 1: Trobeu la longitud del latus recte, el focus i el vèrtex, si l'equació de la paràbola és y 2 = 12x.
Solució:
Donat,
L'equació de la paràbola és y2= 12x
Comparant l'equació donada amb la forma estàndard y2= 4ax
4a = 12
⇒ a = 12/4 = 3
Ho sabem,
Part dreta d'una paràbola = 4a = 4 (3) = 12
Ara, focus de la paràbola = (a, 0) = (3, 0)
Vèrtex de la paràbola donada = (0, 0)
Exemple 2: Trobeu l'equació de la paràbola que és simètrica respecte a l'eix X i passa pel punt (-4, 5).
Solució:
Donat,
La paràbola és simètrica respecte a l'eix X i té el seu vèrtex a l'origen.
Així, l'equació pot ser de la forma y2= 4ax o y2= -4ax, on el signe depèn de si la paràbola s'obre cap al costat esquerre o cap a la dreta.
La paràbola s'ha d'obrir a l'esquerra ja que passa per (-4, 5) que es troba al segon quadrant.
Així, l'equació serà: y2= -4ax
Substituint (-4, 5) a l'equació anterior,
⇒ (5)2= -4a(-4)
⇒ 25 = 16a
⇒ a = 25/16
Per tant, l'equació de la paràbola és: y2= -4(25/16)x (o) 4y2= -25x.
Exemple 3: Trobeu les coordenades del focus, l'eix, l'equació de la directriu i el latus rectum de la paràbola x 2 = 16 anys.
Solució:
Donat,
L'equació de la paràbola és: x2= 16 anys
Comparant l'equació donada amb la forma estàndard x2= 4 dies,
4a = 16 ⇒ a = 4
El coeficient de y és positiu, de manera que la paràbola s'obre cap amunt.
A més, l'eix de simetria es troba al llarg de l'eix Y positiu.
Per tant,
El focus de la paràbola és (a, 0) = (4, 0).
L'equació de la directriu és y = -a, és a dir, y = -4 o y + 4 = 0.
Longitud del latus rectum = 4a = 4(4) = 16.
Exemple 4: Trobeu la longitud del latus recte, el focus i el vèrtex si l'equació d'una paràbola és 2(x-2) 2 + 16 = i.
Solució:
Donat,
L'equació d'una paràbola és 2(x-2)2+ 16 = y
En comparar l'equació donada amb l'equació general d'una paràbola y = a(x – h)2+ k, obtenim
a = 2
(h, k) = (2, 16)
Ho sabem,
Longitud del latus recte d'una paràbola = 4a
= 4(2) = 8
Ara, focus= (a, 0) = (2, 0)
Ara, vèrtex = (2, 16)
Exemple 5: L'equació d'una paràbola és x 2 – 12x + 4y – 24 = 0, després troba el seu vèrtex, focus i directori.
Solució:
Donat,
L'equació de la paràbola és x2– 12x + 4y – 24 = 0
⇒ x2– 12x + 36 – 36 + 4y – 24 = 0
⇒ (x – 6)2+ 4y – 60 = 0
⇒ (x – 6)2= -4(i + 15)
L'equació obtinguda té la forma de (x – h)2= -4a(y – k)
-4a = -4 ⇒ a = 1
Així, el vèrtex = (h, k) = (6, – 15)
Focus = (h, k – a) = (6, -15-1) = (6, -16)
L'equació de la directriu és y = k + a
⇒ y = -15 + 1 ⇒ y = -14
⇒ i + 14 = 0
Preguntes freqüents sobre l'equació de la paràbola
Com es troba l'equació estàndard d'una paràbola?
La forma estàndard de la paràbola és y2= 4ax o x2= 4a.
Quina és l'equació normal de la paràbola?
Equació de la normal a la paràbola y2= 4ax amb un pendent m es dóna com: y = mx – 2 am – am 3
Com es troba el vèrtex d'una paràbola?
Per a la paràbola donada: y = ax2+ bx + c el seu vèrtex es pot trobar utilitzant la fórmula x = − b/2a. Torneu a connectar aquest valor x a l'equació per trobar la coordenada y corresponent.
falla general de protecció