Rang d'una matriu es defineix com la dimensió de l'espai vectorial format per les seves columnes. Rang d'una matriu és un concepte molt important en el camp de l'àlgebra lineal, ja que ens ajuda a saber si podem trobar una solució al sistema d'equacions o no. El rang d'una matriu també ens ajuda a conèixer la dimensionalitat del seu espai vectorial.

En aquest article s'explora el concepte de rang d'una matriu en detall, inclosa la seva definició, com calcular el rang de la matriu així com una nul·litat i la seva relació amb el rang. També aprendrem a resoldre alguns problemes a partir del rang d'una matriu. Per tant, comencem primer amb la definició del rang de la matriu.

Taula de contingut

• Què és el rang de la matriu?
• Com calcular el rang d'una matriu?
• Propietats del rang de matriu
• Exemples de rang d'una matriu
• Preguntes freqüents

Què és el rang de matriu?

El rang d'una matriu és un concepte fonamental en àlgebra lineal, que mesura el nombre màxim de files o columnes linealment independents en qualsevol matriu. En altres paraules, us indica quantes de les files o columnes d'una matriu no són útils i contribueixen a la informació general o a la dimensionalitat de la matriu. Definim el rang d'una matriu.

Classificació d'una definició de matriu

El rang d'una matriu es defineix com el nombre de files linealment independents en a matriu .

descarregar vídeos de youtube a vlc

Es denota mitjançant ρ(A) on A és qualsevol matriu. Així, el nombre de files d'una matriu és un límit en el rang de la matriu, el que significa que el rang de la matriu no pot superar el nombre total de files d'una matriu.

Per exemple, si una matriu és de l'ordre 3×3, el rang màxim d'una matriu pot ser 3.

Nota: Si una matriu té totes les files amb zero elements, es diu que el rang d'una matriu és zero.

Nul·litat de Matrix

En una matriu donada, el nombre de vectors de l'espai nul s'anomena nul·litat de la matriu o també es pot definir com la dimensió de l'espai nul de la matriu donada.

Total de columnes en una matriu = Rànquing + Nul·litat

Llegeix més sobre Teorema de la nul·litat de rang .

Com calcular el rang d'una matriu?

Hi ha 3 mètodes que es poden utilitzar per obtenir el rang de qualsevol matriu donada. Aquests mètodes són els següents:

• Mètode menor
• Utilitzant el formulari Echelon
• Ús de la forma normal

Parlem d'aquests mètodes en detall.

Mètode menor

Requisit previ: Menors de Matrix

Per trobar el rang d'una matriu mitjançant el mètode menor, s'han de seguir els passos següents:

• Calcula el determinant de la matriu (per exemple A). Si det(A) ≠ 0, aleshores rang de la matriu A = ordre de la matriu A.
• Si det(A) = 0, aleshores el rang de la matriu és igual a l'ordre del màxim menor possible diferent de zero de la matriu.

Entendrem com trobar el rang de la matriu mitjançant el mètode menor.

Exemple: Trobeu el rang de la matriu egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} utilitzant el mètode menor.

DonatA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Pas 1: calculeu el determinant de A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Com det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordre de A = 3

Utilitzant el formulari Echelon

El mètode menor es fa molt tediós si l'ordre de la matriu és molt gran. Per tant, en aquest cas, convertim la matriu en forma escalonada. Una matriu que està dins forma triangular superior o forma triangular inferior es considera que està en forma escalonada. Una matriu es pot convertir a la seva forma escalonada utilitzant operacions elementals de fila . Es segueixen els passos següents per calcular el rang d'una matriu mitjançant la forma Echelon:

• Converteix la matriu donada a la seva forma escalonada.
• El nombre de files diferents de zero obtingudes en la forma Echelon de la matriu és el rang de la matriu.

Entendrem com trobar el rang de la matriu mitjançant el mètode menor.

Exemple: Trobeu el rang de la matriu egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} utilitzant el mètode de la forma Echelon.

DonatA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Pas 1: Converteix A en forma escalonada

Aplicar R₂= R₂– 4R₁

Aplicar R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Aplicar R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Com que la matriu A està ara en forma triangular inferior, està en forma escalonada.

• Pas 2: nombre de files diferents de zero a A = 2. Així, ρ(A) = 2

Ús de la forma normal

Es diu que una matriu està en forma normal si es pot reduir a la forma egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Aquí jo_rrepresenta la matriu identitària d'ordre r. Si una matriu es pot convertir a la seva forma normal, es diu que el rang de la matriu és r.

Entendrem com trobar el rang de la matriu mitjançant el mètode menor.

Exemple: Trobeu el rang de la matriu old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} utilitzant el mètode de la forma normal.

DonatA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Aplicar R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁i R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁= R₁– 2R₂i R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁= R₁+ R₃i R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Així, A es pot escriure com egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Així, ρ(A) = 3

alinear la imatge amb css

Propietats del rang de matriu

Les propietats del rang de la matriu són les següents:

• El rang d'una matriu és igual a l'ordre de la matriu si és una matriu no singular.
• El rang d'una matriu és igual al nombre de files diferents de zero si està en forma escalonada.
• El rang de la matriu és igual a l'ordre de la matriu d'identitat si està en forma normal.
• Rang de la matriu
• Rang de la matriu
• El rang de la matriu d'identitat és igual a l'ordre de la matriu d'identitat.
• El rang d'una matriu zero o una matriu nul·la és zero.

Llegeix més,

• Tipus de matrius
• Transposició d'una matriu
• Inversa de Matrix

Exemples de rang d'una matriu

I exemple 1: Trobeu el rang de la matriu old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} utilitzant el mètode menor.

Solució:

DonatA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Pas 1: calculeu el determinant de A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Com det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordre de A = 3

Exemple 2. Trobeu el rang de la matriu old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} utilitzant el mètode menor.

Solució:

DonatA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Pas 1: calculeu el determinant de A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Com det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordre de A = 3

Exemple 3. Trobeu el rang de la matriu old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} utilitzant el mètode de la forma Echelon.

cadena a int java

Solució:

DonatA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Pas 1: Converteix A en forma escalonada

Aplicar R₂= R₂– 4R₁

Aplicar R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Aplicar R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Com que la matriu A està ara en forma triangular inferior, està en forma escalonada.

Pas 2: nombre de files diferents de zero a A = 2. Així, ρ(A) = 2

Exemple 4. Trobeu el rang de la matriu old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} utilitzant el mètode de la forma Echelon.

Solució:

DonatA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Pas 1: Converteix A en forma escalonada

Aplicar R₂= R₂– 4R₁

Aplicar R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Aplicar R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Com que la matriu A està ara en forma triangular inferior, està en forma escalonada.

Pas 2: nombre de files diferents de zero a A = 2. Així, ρ(A) = 2

Exemple 5. Trobeu el rang de la matriu old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} utilitzant el mètode de la forma normal.

Solució:

DonatA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Aplicar R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁i R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁= R₁– 2R₂i R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁= R₁+ R₃i R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplicar R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Així, A es pot escriure comegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Així, ρ(A) = 3

Classificació d'una matriu - Preguntes freqüents

Definir el rang d'una matriu.

El rang d'una matriu es defineix com el nombre de files linealment independents d'una matriu. Es denota utilitzant ρ(A) on A és qualsevol matriu.

Com trobar el rang d'una matriu?

El rang de la matriu es pot calcular mitjançant diversos mètodes com ara:

• Mètode menor
• Utilitzant el formulari Echelon
• Ús de la forma normal

Quin és el rang de la matriu si el determinant de la matriu no és igual a zero?

Si el determinant d'una matriu és zero, el rang de la matriu és igual a l'ordre de la matriu.

Quan es diu que una matriu està en forma d'Echelon?

Una matriu que està en forma triangular superior o en forma triangular inferior es diu que està en forma d'escalonament.

Què és la forma normal de la matriu?

Es diu que una matriu està en forma normal si es pot escriure com egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} on jo_rés la matriu identitària de l'ordre 'r'.

Quin és el rang de la matriu nul·la?

El rang d'una matriu nul·la és zero.

Quin és el rang d'una matriu d'identitat?

El rang d'una matriu d'identitat és igual a l'ordre de la matriu.

menú de configuració del telèfon Android

Quina és la relació entre la nul·litat i el rang d'una matriu?

La relació entre la nul·litat i el rang d'una matriu és:

Total de columnes en una matriu = Rànquing + Nul·litat