La inducció matemàtica és un concepte en matemàtiques que s'utilitza per demostrar diversos enunciats i teoremes matemàtics. El principi d'inducció matemàtica de vegades s'anomena PMI. És una tècnica que s'utilitza per demostrar els teoremes bàsics de les matemàtiques que impliquen la solució de fins a n termes naturals finits.

El principi d'inducció matemàtica s'utilitza àmpliament per demostrar diverses afirmacions, com ara una suma de primers n nombres naturals ve donada per la fórmula n(n+1)/2. Això es pot demostrar fàcilment utilitzant el principi d'inducció matemàtica.

En aquest article, coneixerem el principi de la inducció matemàtica, la seva declaració, el seu exemple i altres en detall.

Taula de contingut

• Què és la inducció matemàtica?
• Enunciat del principi d'inducció matemàtica
• Passos d'inducció matemàtica
• Exemple d'inducció matemàtica

Què és la inducció matemàtica?

La inducció matemàtica és un dels mètodes fonamentals per escriure proves i s'utilitza per demostrar una afirmació determinada sobre qualsevol conjunt ben organitzat. Generalment, s'utilitza per demostrar resultats o establir enunciats que es formulen en termes de n , on n és un nombre natural.

Suposem que P(n) és una afirmació per a n nombre natural, llavors es pot demostrar utilitzant el principi de la inducció matemàtica. En primer lloc, demostrarem per a P(1) i després deixem que P(k) sigui vertadera i després demostrarem per a P(k+1) . Si es compleix P(k+1), diem que P(n) és certa pel principi d'inducció matemàtica.

Podem comparar la inducció matemàtica amb la caiguda del dòmino. Quan cau un dòmino, enderroca el següent de manera consecutiva. El primer dòmino enderroca el segon, el segon enderroca el tercer, i així successivament. Al final, totes les ficcions de dòmino seran arrossegades. Però hi ha algunes condicions a complir:

• El pas bàsic és que el dòmino inicial ha de caure per posar en acció el procés de cop.
• La distància entre les peces de dòmino ha de ser igual per a dues peces de dòmino adjacents. En cas contrari, un cert dòmino pot caure sense tirar-se a bolos sobre el següent. Aleshores la seqüència de reaccions s'aturarà. Mantenir la distància inter-dominó igual assegura que P(k) ⇒ P(k + 1) per a cada nombre enter k ≥ a. Aquest és el pas inductiu.

Enunciat del principi d'inducció matemàtica

Qualsevol enunciat P(n) que sigui per a n nombre natural es pot demostrar utilitzant el principi d'inducció matemàtica seguint els passos següents:

Pas 1: Comproveu si l'afirmació és certa en casos trivials ( n = 1) és a dir, comproveu si P(1) és certa.

Pas 2: Suposem que l'afirmació és certa per a n = k per a alguns k ≥ 1, és a dir, P(k) és certa.

Pas 3: Si la veritat de P(k) implica la veritat de P(k + 1), aleshores l'afirmació P(n) és certa per a tots n ≥ 1 .

La imatge afegida a continuació conté tots els passos de la Inducció Matemàtica

La primera afirmació és el fet i si no és possible que tot P(n) sigui cert a n = 1, llavors aquestes afirmacions són certes per a alguns altres valors de n, per exemple, n = 2, n = 3 i altres.

Si l'afirmació és certa per a P(k), llavors si es demostra que P(k+1) és certa, diem que P(n) és certa per a tots els n pertanyents als nombres naturals (N)

Passos d'inducció matemàtica

Els diferents passos utilitzats en la inducció matemàtica s'anomenen en conseqüència. Els noms dels diferents passos utilitzats en el principi d'inducció matemàtica són:

• Pas base: Demostreu que P(k) és certa per a k =1
• Pas d'assumpció: Sigui P(k) certa per a tot k en N i k> 1
• Pas d'inducció: Demostreu que P(k+1) és certa utilitzant les propietats matemàtiques bàsiques.

Si es demostren els tres passos anteriors, podem dir que pel principi d'inducció matemàtica, P(n) és cert per a tots els n pertanyents a N.

Exemple d'inducció matemàtica

La inducció matemàtica s'utilitza per demostrar diverses afirmacions que podem aprendre amb l'ajuda de l'exemple següent.

Per a qualsevol nombre enter positiu n, demostreu que n³+ 2n sempre és divisible per 3

Solució:

Sigui P(n): n³+ 2n és divisible per 3 sigui l'enunciat donat.

Pas 1: Pas bàsic

En primer lloc, demostrem que P(1) és certa. Sigui n = 1 en n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Com 3 és divisible per 3. Per tant, P(1) és certa.

Pas 2: Pas d'assumpció

Suposem que P(k) és certa

Aleshores, k³+ 2k és divisible per 3

Així, podem escriure-ho com a k³+ 2k = 3n, (on n és qualsevol nombre enter positiu)... (i)

data actual en java

Pas 3: passos d'inducció

Ara hem de demostrar que l'expressió algebraica (k + 1)³+ 2(k + 1) és divisible per 3

= (k + 1)³+ 2 (k + 1)

= k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2 k) + (3 k²+ 3k + 3)

de l'eq (i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Com que és múltiple de 3 podem dir que és divisible per 3.

Així, P(k+1) és cert, és a dir, (k + 1)³+ 2(k + 1) és divisible per 3. Ara pel principi d'inducció matemàtica, podem dir que, P(n): n³+ 2n és divisible per 3 és cert.

Llegeix més,

• Progressió aritmètica
• Progressió geomètrica

Exemples resolts sobre inducció matemàtica

Exemple 1: Per a tot n ≥ 1, demostreu que, 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Solució:

Sigui l'enunciat donat P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Ara, prenem un nombre enter positiu, k, i assumim que P(k) és cert, és a dir,

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Ara demostrarem que P(k + 1) també és certa, de manera que ara tenim,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Així P(k + 1) és certa, sempre que P(k) és certa per a tots els nombres naturals. Per tant, pel procés d'inducció matemàtica, el resultat donat és cert per a tots els nombres naturals.

Exemple 2: Per a tot n ≥ 1, demostreu que, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Solució:

Sigui l'enunciat donat S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Ara, prenem un nombre enter positiu, k, i assumim que S(k) és cert, és a dir,

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Ara demostrarem que S(k + 1) també és certa, així que ara tenim,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Així S(k + 1) és certa, sempre que S(k) és certa per a tots els nombres naturals. I inicialment vam demostrar que S(1) és cert, per tant S(n) és cert per a tots els nombres naturals.

Jasmine Davis de petita

Exemple 3: Per a tot n ≥ 1, demostreu que, 1 + 3 + 5 +... + 2n – 1 = n ²

Solució:

Sigui l'enunciat donat S(n),

i S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Per a n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Així S(1) és certa.

Ara, prenem un nombre enter positiu, k, i assumim que S(k) és cert, és a dir,

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Ara demostrarem que S(k + 1) també és certa, així que ara tenim,

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

Així S(k + 1) és certa, sempre que S(k) és certa per a tots els nombres naturals. I inicialment vam demostrar que S(1) és cert, per tant S(n) és cert per a tots els nombres naturals.

Exemple 4: Per a tot n ≥ 1, demostreu que, 1,2 + 2,3 + 3,4 +...+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Solució:

Sigui l'enunciat donat S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Ara, prenem un nombre enter positiu, k, i assumim que S(k) és cert, és a dir,

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Ara demostrarem que S(k + 1) també és certa, així que ara tenim,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Així S(k + 1) és certa, sempre que S(k) és certa per a tots els nombres naturals. I inicialment vam demostrar que S(1) és certa, per tant S(n) és certa per a tots els nombres naturals.

Exemple 5: Demostra a _n = a ₁ + (n – 1) d, és el terme general de qualsevol successió aritmètica.

Solució:

Per a n = 1, tenim a_n= a₁+ (1 – 1) d = a₁, per tant la fórmula és certa per a n = 1,

Suposem que la fórmula a_k= a₁+ (k – 1) és cert per a tots els nombres naturals.

Ara demostrarem que la fórmula també és certa per a k+1, de manera que ara tenim,

a_{k + 1}= a₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

Vam suposar que a_k= a₁+ (k – 1) d, i per la definició d'una successió aritmètica a_{k+ 1}– a_k= d,

Aleshores, a_{k + 1}– a_k

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a₁– a₁+ kd – kd + d
= d

Així, la fórmula és certa per a k + 1, sempre que sigui certa per a k. I inicialment vam demostrar que la fórmula és certa per a n = 1. Així, la fórmula és certa per a tots els nombres naturals.

Preguntes freqüents sobre inducció matemàtica

Què és el principi d'inducció matemàtica?

El principi d'inducció matemàtica és un principi que diu que per a qualsevol afirmació P(n) si és cert per a qualsevol valor arbitrari 'a' si P(a) és certa i si prenem P(k) com a vertadera, doncs demostrant P( k+1) per ser cert podem demostrar que P(n) és cert per a tots els n ≥ a, i n pertanyents als nombres naturals.

Quin és l'ús de la inducció matemàtica?

La inducció matemàtica és el principi bàsic utilitzat en matemàtiques per demostrar les afirmacions bàsiques de les matemàtiques que no es poden demostrar fàcilment per altres mitjans.

Quin és el principi d'inducció matemàtica en matrius?

El principi d'inducció matemàtica en matrius és un principi bàsic que s'utilitza per demostrar els enunciats bàsics en matrius que no es poden demostrar fàcilment per altres mitjans.

Com aplicar el principi d'inducció matemàtica?

El principi d'inducció matemàtica s'utilitza per demostrar enunciats matemàtics suposem que hem de demostrar un enunciat P(n), llavors els passos aplicats són:

Pas 1: Demostreu que P(k) és certa per a k =1

Pas 2: Sigui P(k) certa per a tot k en N i k> 1

Pas 3: Demostreu que P(k+1) és certa utilitzant les propietats matemàtiques bàsiques.

Així, si P(k+1) és certa, diem que P(n) és certa.

Quins són els passos per resoldre un problema mitjançant la inducció matemàtica?

Tres passos bàsics utilitzats en la inducció matemàtica són

• Pas base
• Pas d'assumpció
• Pas d'inducció