logo

TechCodeview

Progressió aritmètica

La progressió aritmètica, també coneguda com A.P., és una seqüència en matemàtiques on la diferència entre els dos termes consecutius és una constant. La constant es coneix com la diferència comuna. La progressió aritmètica és una seqüència de nombres en ordre, en què la diferència entre dos nombres consecutius qualsevol és un valor constant.

En aquest article, aprendrem sobre la definició de progressió aritmètica, les fórmules de progressió aritmètica, exemples relacionats i altres en detall.

programa en java

Taula de contingut



Què és la progressió aritmètica?

Progressió aritmètica (AP) és una seqüència de nombres en què la diferència entre dos nombres consecutius és un valor constant. En altres paraules, la progressió aritmètica es pot definir com Una seqüència matemàtica en la qual la diferència entre dos termes successius és sempre una constant.

Progressió aritmètica

Per exemple, les sèries de nombres: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... estan en progressió aritmètica, que té una diferència comuna (d) entre dos termes successius (per exemple 1 i 2) iguals a 1 (2 – 1). Es pot veure una diferència comuna entre dos termes successius, fins i tot per als nombres senars i els nombres parells als quals 2 és igual. A AP, tres termes principals són Diferència comuna (d), enèsimo terme (an), i Suma dels n primers termes (Sn); els tres termes representen les propietats d'AP. Fem una ullada a quina és la diferència comuna en detall,

Ens trobem amb paraules diferents com seqüència, sèrie i progressió en AP; ara, anem a veure què defineix cada paraula,

  • Seqüència és una llista finita o infinita de nombres que segueix un patró determinat. Per exemple, 0, 1, 2, 3, 4, 5... és la seqüència, que és una seqüència infinita de nombres enters.
  • Sèrie és la suma dels elements als quals correspon la seqüència. Per exemple 1 + 2 + 3 + 4 + 5... és la sèrie de nombres naturals. Cada nombre d'una seqüència o una sèrie s'anomena terme. Aquí 1 és un terme, 2 és un terme, 3 és un terme, etc.
  • Progressió és una seqüència en la qual el terme general es pot expressar mitjançant una fórmula matemàtica o la Seqüència, que utilitza una fórmula matemàtica que es pot definir com a progressió.

Nota: Hi ha principalment tres tipus de progressió:

  1. Progressió aritmètica (AP)
  2. Progressió geomètrica (GP)
  3. Progressió harmònica (HP)

Notacions en progressió aritmètica

Ens trobarem amb les següents notacions en progressió aritmètica:

  • Primer trimestre ⇢ a
  • Diferència comuna ⇢ d
  • Enè terme ⇢ a n
  • Suma dels primers n termes ⇢ S n

La forma general de progressió aritmètica és a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Aquests són alguns exemples d'AP:

  • 6, 13, 20, 27, 34,41,…
  • 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
  • p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
  • -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Diferència comuna de la progressió aritmètica

Diferència comuna es denota amb d en la progressió aritmètica. És la diferència entre el següent trimestre i l'anterior. Per a la progressió aritmètica, sempre és constant o igual. En una paraula, si la diferència comuna és constant en una seqüència determinada, podem dir que aquesta és A.P. Si la seqüència és una1,a2, a3, a4, etcètera.

En altres paraules, la diferència comuna en la progressió aritmètica es denota amb d. La diferència entre el terme successiu i el seu anterior. Sempre és constant o igual per a la progressió aritmètica. En altres paraules, podem dir que, en una seqüència donada, si la diferència comuna és constant o igual, llavors podem dir que la seqüència donada està en Progressió aritmètica (AP).

La fórmula per trobar la diferència comuna és,

d = (a n + 1 – a n ) = (a n – a n-1 )

  • Si la diferència comuna és positiva, aleshores L'AP augmenta . Per exemple 4, 8, 12, 16... en aquestes sèries, AP augmenta
  • Si la diferència comuna és negativa, aleshores L'AP disminueix . Per exemple -4, -6, -8..., aquí l'AP disminueix.
  • Si la diferència comuna és zero, aleshores L'AP serà constant . Per exemple 1, 2, 3, 4, 5..., aquí AP és constant.

La seqüència de progressió aritmètica serà com a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,…

Diferència comuna (d) = a 2 – a 1 = d

a 3 – a 2 = d

a 4 – a 3 = d i així successivament.

Primer terme de la progressió aritmètica

La progressió aritmètica es pot escriure en termes de diferència comuna (d) com:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, ...., a + (n – 1)d

on,

  • a és el primer terme d'AP
  • d és la diferència comuna d'AP

Enèsimo terme de la progressió aritmètica

L'enè terme es pot trobar utilitzant la fórmula esmentada a continuació,

T n = a + (n − 1)d

on,

  • a és el primer terme d'AP
  • d és la diferència comuna
  • n és el nombre de termes
  • Tnés enèsimo terme
N-terme d'una progressió aritmètica

Enèsimo terme de la progressió aritmètica

Nota: El comportament de la seqüència aritmètica es basa en el valor d'una diferència comuna.

  • Si d és positiu, els termes augmentaran fins a l'infinit positiu.
  • Si d és negatiu, els termes dels membres augmenten fins a l'infinit negatiu

Suma de la progressió aritmètica

Fórmula de suma de progressió aritmètica s'explica a continuació; considereu un AP format per n termes.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Suma de la progressió aritmètica quan es donen el primer i l'últim terme,

S = n/2 (primer terme d'AP + últim terme d'AP)

S = N/2[a+ a n ]

Fórmula de progressió aritmètica (fórmules AP)

Per a un AP amb el primer terme 'a' i la diferència comuna 'd', les seves diverses fórmules són:

c nombre aleatori
  • Diferència comuna de AP: d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = a 4 – a 3 = … = a n – a n-1
  • nè termini de l'AP: a n = a + (n – 1)d
  • Suma de n Termes d'AP: S n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , on l és l'últim terme de la progressió aritmètica.

Resum de la progressió aritmètica

  • La progressió aritmètica (AP) és una seqüència de nombres en què la diferència entre dos nombres consecutius qualsevol és un valor constant. Per exemple, la sèrie de nombres: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
  • La forma general de progressió aritmètica és a, a + d, a + 2d, a + 3d...
  • La fórmula per a l'enè terme de la progressió aritmètica és a n = a + (n – 1)d
  • La suma dels primers n termes o la fórmula de la suma aritmètica és S n = n/2[2a + (n – 1) d] , S n = n/2[a + a n ]

Article relacionat amb la progressió aritmètica:

  • Fórmula de suma
  • Suma de nombres naturals
  • Progressió aritmètica i progressió geomètrica

Exemples de progressió aritmètica

Exemple 1: Trobeu l'AP si el primer terme és 15 i la diferència comuna és 4.

Solució:

Com sabem,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d,...

Aquí, a = 15 i d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

nfa a dfa

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, ... i així successivament.

Així que l'AP és 15, 19, 23, 27, 31…

Exemple 2: Trobeu el 20è terme per a l'AP donat: 3, 5, 7, 9, …

Solució:

Donat, 3, 5, 7, 9, 11...

Aquí,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

an= a + (n − 1)d

a20= 3 + (20− 1)2

a20= 3 + 38

a20= 41

Aquí el 20è trimestre és a20= 41

Exemple 3: Trobeu la suma dels 20 primers múltiples de 5.

Solució:

Els primers 20 múltiples de 5 són 5, 10, 15, ... 100.

Aquí, és clar que la seqüència formada és una seqüència aritmètica on,

ordena la llista de matrius java

a = 5, d = 5, an= 100, n = 20.

Sn= n/2 [2a + (n − 1) d]

Sn= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

Sn= 10 [10 + 95]

Sn= 1050

Preguntes pràctiques sobre la progressió aritmètica

Q1. La suma dels primers nn termes d'una progressió aritmètica ve donada per S n = 3n 2 + 2n. Troba la diferència comuna i el primer terme.

P2. El primer terme d'una progressió aritmètica és 7, i l'onzè terme és 31. Troba la suma dels 11 primers termes.

P3. En una progressió aritmètica, la suma dels 10 primers termes és 150, i la suma dels 10 termes següents és 550. Troba el primer terme i la diferència comuna.

P4. Si el 4t terme d'una progressió aritmètica és 10 i el 9è terme és 25, troba el 15è terme.

P5. Una progressió aritmètica té una diferència comuna de 5. Si el 6è terme és 22, troba el primer terme i la suma dels 12 primers termes.

Preguntes freqüents sobre la progressió aritmètica

Què és la progressió aritmètica amb un exemple?

La progressió aritmètica és una seqüència de nombres on els dos termes consecutius tenen una diferència comuna. Per exemple: 3, 6, 9, 12, 15,...

Com es troba la suma de la progressió aritmètica?

Per trobar la suma de la progressió aritmètica, es poden utilitzar les fórmules següents en funció de la informació que es proporciona:

S = n/2 (primer terme de AP + últim terme de AP) = n/2[a+ a n ]

Quina diferència hi ha entre la progressió aritmètica i les sèries aritmètiques?

La progressió aritmètica és el nombre de seqüències dins de qualsevol interval que proporciona una diferència comuna. Mentre que, la sèrie/seqüència aritmètica és la suma de tots els termes presents en la progressió aritmètica.

Quina és la fórmula per a AP i GP?

La fórmula per a AP i GP és:

  • AP: a n = a + (n – 1).d
  • GP: a n = a.r

Què és l'ús de la progressió aritmètica?

La progressió aritmètica és la sèrie que dóna una diferència comuna entre dos termes consecutius. S'utilitza a la vida quotidiana per generalitzar un conjunt de patrons. Per exemple, esperant un autobús, suposem que els autobusos es mouen a una velocitat constant, amb l'ajuda d'AP, podeu saber quan arribarà l'autobús. AP també es pot utilitzar per fer estructures semblants a piràmides, etc.