Polígon en matemàtiques és una forma bidimensional formada per línies rectes que formen una cadena poligonal tancada. La paraula polígon prové de les paraules poli i gon, que signifiquen molts i costats.

Els polígons poden ser simples o autointersecants. Un polígon simple no es talla a si mateix, excepte en els extrems compartits de segments consecutius. Una cadena poligonal que es creua sobre si mateixa crea un polígon que s'interseca. Els polígons també es poden classificar en còncaus o convexos.

En aquest article, hem esmentat amb detall els polígons i els seus tipus, fórmules i exemples.

Taula de contingut

• Què són els polígons?
• Definició de polígon
• Gràfic de polígons basat en el nombre de costats
• Propietats dels polígons
• Formes de polígon
• Tipus de polígons
• Polígons a base de costats
• Polígons basats en angles
• Polígons basats en límits
• Fórmules de polígons
• Àrea de polígons
• Perímetre de polígons
• Angles en polígons
• Preguntes freqüents

Què són els polígons?

El terme 'polígon' prové de la paraula grega polugonos, on 'poly' significa 'molts' i 'gon' denota 'angle'. Generalment, un polígon és una figura tancada formada per línies rectes, amb els seus angles interiors creats per aquestes línies. Per constituir una forma tancada, cal un mínim de segments de tres línies. Es coneix comunament com a triangle o 3-gon. El terme general per a un polígon de n cares és un n-gon.

Definició de polígon

Polígons són figures planes i bidimensionals compostes per costats rectes que formen una forma totalment tancada. En geometria, el polígon és una figura plana formada per segments de línia connectats per formar una cadena poligonal tancada. Consten de costats rectes, no corbes, i poden tenir un nombre variable de costats. Alguns polígons de diferents tipus són: oberts, només de límit, tancats i auto-intersecants.

En geometria, un polígon es defineix com una forma tancada i bidimensional que es troba plana en un pla i està tancada per costats rectes.

Un polígon no té costats corbats i les seves vores són els segments rectes que defineixen el seu límit. Els punts de reunió d'aquestes arestes s'anomenen vèrtexs o cantonades.

Exemples de polígons

Pel que fa a les matemàtiques, els triangles, els hexàgons, els pentàgons i els quadrilàters són exemples de polígons. Exemples de la vida real de Polygon són la pantalla de forma rectangular del vostre ordinador portàtil, televisió o telèfon mòbil; camp de futbol rectangular o parc infantil, el triangle de les Bermudes i les piràmides d'Egipte de forma triangular.

Parts d'un polígon

Un polígon consta de tres components fonamentals:

• Costats del polígon: Els costats d'un polígon són el límit dels polígons que defineixen la regió tancada.
• Vèrtexs: El punt on es troben dos costats es coneix com a vèrtex.
• Angles: El polígon conté angles interiors i exteriors. Un angle interior es forma dins de la regió tancada del polígon per la intersecció dels seus costats.

Gràfic de polígons basat en el nombre de costats

Nomenclatura del polígon definida en funció del nombre de costats que posseeixen. Es designa com n-gons, on 'n' significa el nombre de costats. Els polígons s'identifiquen generalment per la quantitat de les seves vores. Per exemple, un polígon amb cinc costats s'anomena 5-gon, mentre que un de deu costats s'anomena 10-gon.

Propietats dels polígons

Les propietats dels polígons els identifiquen fàcilment. Les següents propietats contribueixen a conèixer fàcilment els polígons:

• Un polígon és una forma tancada, sense extrems oberts. L'origen i el punt final han de ser el mateix.
• Assumeix una forma plana, formada per segments de línia o rectes que col·lectivament configuren la figura.
• Com a entitat bidimensional, un polígon només existeix en les dimensions de longitud i amplada, sense profunditat ni alçada.
• Posseeix tres o més costats per fer un polígon.
• Els angles al polígon poden variar. Mostra una configuració diferent.
• La longitud dels costats d'un polígon pot variar; pot ser o no igual a tot el polígon.

Formes de polígon

Un polígon és una forma plana i bidimensional caracteritzada per costats rectes connectats per formar una figura tancada. Alguns exemples de formes de polígon inclouen:

• Triangle
• Quadrilàter
• Pentàgon
• Hexàgon
• Heptàgon
• Octògon
• Nonagon
• Decàgon

Triangle

• Té 3 costats i 3 vèrtexs.
• No té diagonals.
• La suma de l'interior és de 180°.

Quadrilàter

• Té 4 costats i 4 vèrtexs.
• Té 2 diagonals.
• La suma de l'angle interior és 360°.

Pentàgon

• Té 5 costats i 5 vèrtexs.
• Té 5 diagonals.
• La suma de l'angle interior és de 540°.

Hexàgon

• Té 6 costats i 6 vèrtexs.
• Té 9 diagonals.
• La suma de l'angle interior és 720°.

Heptàgon

• Té 7 costats i 7 vèrtexs.
• Té 14 diagonals.
• La suma de l'angle interior és de 900°.

Octògon

• Té 8 costats i 8 vèrtexs.
• Té 20 diagonals.
• La suma de l'angle interior és 1080°.

Nonagon

• Té 9 costats i 9 vèrtexs.
• Té 27 diagonals.
• La suma de l'angle interior és 1260°.

Decàgon

• Té 10 costats i 10 vèrtexs.
• Té 35 diagonals.
• La suma de l'angle interior és 1440°.

Tipus de polígons

Segons els costats i els angles, els polígons es poden classificar en diferents tipus sobre diferents bases, com ara:

• Sobre la base dels costats
• Sobre la base dels angles
• Sobre la base del límit

Polígons a base de costats

Els polígons es poden classificar segons les característiques dels seus costats en dos tipus principals:

• Polígon regular
• Polígon irregular

Polígon regular

Un polígon regular es distingeix per tenir tots els costats de la mateixa longitud i tots els angles interiors amb mesures iguals. Pot ser tant equilàter com equiangular. Alguns exemples de polígons regulars inclouen el triangle, el quadrilàter, el pentàgon i l'hexàgon.

Polígon regular

Polígon irregular

Un polígon irregular té costats de longitud desigual i angles de mesures diferents. Qualsevol polígon que no s'ajusta als criteris d'un polígon regular es classifica com a irregular. Exemples habituals de polígons irregulars són el triangle escalè, els quadrilàters com el rectangle, el trapezi o l'estel, així com les estructures irregulars de pentàgons i hexàgons.

Polígon irregular

Polígons basats en angles

Els polígons es poden classificar segons la naturalesa dels seus angles en dues categories principals:

• Polígon convex
• Polígon còncau

Polígon convex

Un polígon convex no té un angle interior que mesura més de 180°. Els polígons convexos poden tenir tres o més costats. En els polígons convexos, totes les diagonals es troben dins de la figura tancada. Exemples habituals de polígons convexos són triangles, tots quadrilàters convexos, així com pentàgons i hexàgons regulars.

Polígon còncau

Un polígon còncau té almenys un angle interior que és un angle reflex i apunta cap a dins. Els polígons còncaus tenen un mínim de quatre costats. Aquest tipus de polígon té almenys un angle interior que mesura més de 180°. En els polígons còncaus, algunes diagonals s'estenen fora de la figura adjunta. Alguns exemples de polígons còncaus inclouen un dard o una punta de fletxa en quadrilàters, així com certs pentàgons i hexàgons irregulars.

Diferència entre polígons còncaus i convexos

Vegem la diferència entre el polígon convex i el còncava a la taula següent:

Polígons basats en límits

Els polígons es poden classificar segons la naturalesa dels seus límits en dos tipus principals:

• Polígon simple
• Polígon complex

Polígon simple

Un polígon simple es caracteritza per un límit singular que no es creua. En altres paraules, no es creua a si mateix i consta d'un límit.

Polígons simples

Polígon complex

D'altra banda, un polígon complex es defineix per la intersecció mateixa. Consta de més d'un límit dins de la seva estructura. En els polígons complexos, el límit es creua, creant diverses regions diferents dins del polígon.

Polígon complex

Llegeix més sobre Tipus de polígons.

Fórmules de polígons

Hi ha diverses fórmules relacionades amb polígons en geometria. Alguns dels més utilitzats inclouen:

• Fórmula de l'àrea
• Fórmula del perímetre
• Nombre de diagonals

Totes les fórmules relacionades amb diferents polígons es discuteixen a continuació:

Àrea de polígons

Àrea d'un polígon representa l'espai total que ocupa en un pla bidimensional, es determina mitjançant fórmules específiques en funció del nombre de costats i de la classificació del polígon. Les fórmules d'àrea són les següents:

Perímetre de polígons

El perímetre d'una forma bidimensional representa la longitud total del seu límit exterior. Per als polígons, el perímetre es calcula de la següent manera:

Fórmula de la diagonal del polígon

Una diagonal d'un polígon és un segment de línia format per la connexió de dos vèrtexs que no són adjacents.

Nombre de diagonals en un polígon = n(n−3)/2,

On 'n' representa el nombre de costats que té el polígon.

Llegeix més sobre Fórmula de la diagonal del polígon .

Angles en polígons

En geometria, els angles en polígons fan referència als angles formats pels costats d'un polígon, tant a l'interior com a l'exterior del polígon. Per tant, hi pot haver ambdós angles al polígon, és a dir,

• Interior Angles
• Exterior Angles

Anem a discutir la fórmula per a aquests angles en detall de la següent manera:

Fórmula de l'angle interior dels polígons

Els angles interiors d'un polígon són els que es formen entre els seus costats adjacents i són iguals en el cas d'un polígon regular. El recompte d'angles interiors correspon al nombre de costats del polígon.

La suma dels angles interiors 'S' en un polígon amb 'n' costats es calcula com

S = (n – 2) × 180°

On 'n' representa el nombre de costats.

Fórmula de l'angle exterior dels polígons

Cada angle exterior d'un polígon regular es forma estenent un dels seus costats (ja sigui en sentit horari o en sentit contrari) i mesurant l'angle entre aquesta extensió i el costat adjacent. En un polígon regular, tots els angles exteriors són iguals

La suma total dels angles exteriors de qualsevol polígon es fixa a 360°

Per tant,

Cada angle exterior ve donat per 360°/n

On 'n' és el nombre de costats.

La suma dels angles interiors i exteriors corresponents en qualsevol vèrtex d'un polígon és sempre de 180 graus, expressant una relació suplementària:

Interior àngel + Exterior àngel = 180°

Exterior angle = 180° – Interior angle

Conclusió

• El polígon és una figura tancada limitada per tres o més segments de línia
• Suma dels angles interiors: La suma de tots els angles interiors d'un polígon de n cares ve donada per la fórmula (n–2)×180°.
• Nombre de diagonals: Per a un polígon amb n costats, el nombre de diagonals es calcula mitjançant la fórmula n(n–3)/2.
• Triangles formats per diagonals: El nombre de triangles formats per la unió de diagonals d'una única cantonada d'un polígon és n–2.
• Angle interior del polígon regular: La mesura de cada angle interior en un polígon regular de n cares és {(n–2)×180°}/n.
• Angle exterior del polígon regular: La mesura de cada angle exterior en un polígon regular d'n cares és 360°/n.

També, Llegir

• Quadrat
• Paral·lelogram
• Rectangle

Exemples resolts sobre polígons en matemàtiques

Exemple 1: Considereu un quadrilàter amb quatre costats. Troba la suma de tots els seus angles interiors del quadrilàter.

Solució:

Fórmula per a la suma dels angles interiors en un polígon regular de n cares = (n − 2) × 180°

La suma de tots els angles interiors del quadrilàter = (4 – 2) × 180°

La suma de tots els angles interiors del quadrilàter = 2 × 180°

La suma de tots els angles interiors del quadrilàter = 360°

Per tant, la suma de tots els angles interiors del quadrilàter és 360°.

Exemple 2: Considereu un polígon regular amb una relació d'angle exterior i interior determinada de 7:3. Determina el tipus de polígon.

Solució:

La relació de l'angle exterior i interior és de 7:3.

Suposem que l'angle exterior i interior d'un polígon són 7x i 3x.

La suma dels angles exterior i interior de qualsevol polígon és 180°.

7x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

Exterior angle = 18°

Nombre de costats = 360°/angle exterior

= 360°/18°

= 20

Per tant, el polígon donat és un icosagon, ja que té 20 costats.

Exemple 3: cada angle exterior d'un polígon mesura 90 graus, determineu el tipus de polígon?

Solució:

Segons la fórmula, cada angle exterior = 360°/n

Aquí n=número de costats.

90°= 360°/n

n = 360°/90°= 4

Per tant, el polígon en qüestió és un quadrilàter, ja que té quatre costats.

Exemple 4: Els costats són 10m, 10m, 8m, 8m, 5m, 5m, 9m, 9m. Quants metres de corda es necessitaran per al Perímetre?

Solució:

Per trobar la longitud de la corda necessària per al perímetre, hem de sumar les longituds de tots els costats:

Perímetre = 10 m + 10 m + 8 m + 8 m + 5 m + 5 m + 9 m + 9 m

estructures de dades java

Perímetre = 64 m.

Per tant, per al Perímetre es necessitaran un total de 64 metres de corda.

Pràctica de preguntes sobre polígons en geometria

A continuació es mostren algunes preguntes pràctiques basades en la fórmula dels polígons:

Q1. Donat que un angle d'un pentàgon és de 140°, determineu la mida de l'angle més gran si els angles restants tenen una proporció 1:2:3:4.

P2. Si la suma dels angles interiors d'un polígon és 160°, troba el nombre de costats del polígon.

P3. El nombre de costats en dos polígons regulars és de 2:3 i la relació dels seus angles interiors és de 4:5. Troba el nombre respectiu de costats d'aquests polígons.

P4. Determineu la suma total dels angles en un heptàgon.

P5. Calcula la suma dels angles exteriors d'un pentàgon.

P6. Quants costats té un hexàgon?

1. 4
2. 6
3. 8
4. 10

P7. Quin dels següents no és un polígon regular?

1. Triangle
2. Quadrat
3. Pentàgon
4. Paral·lelogram

Preguntes freqüents sobre polígons en matemàtiques

Què és un polígon en matemàtiques?

En matemàtiques, un polígon es refereix a una figura bidimensional tancada formada per la connexió de tres o més línies rectes. El terme polígon deriva de la llengua grega, amb poli- significa molts i gon representa angle.

Quin és el polígon més petit?

El polígon més petit format és un triangle de tres costats.

Què és 20-gon?

Un 20-gon és un polígon de vint cares en geometria.

Quina és la suma total dels angles externs del polígon?

La suma dels angles exteriors d'un polígon és 360°.

Es pot classificar un cercle com a polígon?

El polígon és una forma tancada formada per segments rectes. El cercle és una figura tancada, però està fet d'una corba. Per tant, un cercle no és un polígon.

Quina és la suma de l'angle interior d'un polígon?

La suma de l'angle interior d'un polígon ve donada per (n–2)×180° on n és el nombre de costats del polígon.