El coneixement de les matrius és necessari per a diverses branques de les matemàtiques. Les matrius són una de les eines més potents de les matemàtiques. De les matrius surten els determinants, ara veiem una de les propietats del determinant en aquest article.
En aquest article, veiem com trobar el Adjunt d'una matriu. Per saber sobre el Adjunt d'una matriu hem de saber sobre el Cofactor d'una matriu.
Taula de contingut
- Adjunt d'una definició de matriu
- Menor d'una matriu
- Cofactor d'una matriu
- Transposició de Matrix
- Com trobar l'adjunt d'una matriu?
- Propietats de l'adjunt d'una matriu
- Trobar la inversa utilitzant l'adjunt d'una matriu
Adjunt d'una definició de matriu
L'adjunt d'una matriu és la matriu transposada del cofactor de la matriu donada. Perquè qualsevol matriu quadrada A calculi la seva adj. matriu primer hem de calcular la matriu cofactor de la matriu donada i després trobar el seu determinant. Per calcular l'ajuntament d'una matriu seguiu els passos següents:
Pas 1 : Calcula el menor de tots els elements de la matriu donada A.
Pas 2: Trobeu la matriu del cofactor C utilitzant els elements menors.
Pas 3: Trobeu la matriu adjunta de A prenent la transposició de la matriu cofactor C.
Per a qualsevol matriu A 2×2, la imatge del seu adjunt es mostra a continuació,
Ara anem a conèixer el menor, el cofactor i la transposició de la matriu.
Menor d'una matriu
El menor de la matriu és la matriu o l'element que es calcula amagant la fila i la columna de la matriu de l'element per al qual es calcula el menor. Per a la matriu 2×2, el menor és l'element que es mostra amagant la fila i la columna de l'element per al qual es calcula el menor.
Aprendre mes sobre, Menors i cofactors
Cofactor d'una matriu
El cofactor és el nombre que obtenim quan eliminem la columna i la fila d'un element designat en una matriu. Significa agafar un element d'una matriu i eliminar tota la fila i la columna d'aquest element de la matriu, llavors quins elements estan presents en aquesta matriu, que s'anomena cofactor.
Com trobar el cofactor d'una matriu
Per trobar el cofactor d'un element d'una matriu, podem seguir els passos següents:
Pas 1: Suprimeix tota la fila i la columna que conté l'element en consideració.
Pas 2: Agafeu els elements restants tal com estan a la matriu després del pas 1.
Pas 3: Trobeu el determinant de la matriu formada al pas 2 que s'anomena menor de l'element.
Pas 4: Ara utilitzeu la fórmula per al cofactor de l'element aijés a dir, (-1)i+jMijon Mij és el menor de l'element de la ithfila i jthcolumna que ja es calcula al pas 3.
Pas 5: El resultat del pas 4 és el cofactor de l'element considerat, i de la mateixa manera, podem calcular el cofactor de cada element de la matriu per trobar la matriu de cofactors de la matriu donada.
Exemple: Trobeu la matriu de cofactors de
Solució:
La matriu donada és
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Trobem el cofactor de l'element a la primera fila, la tercera columna, és a dir, 3.
Pas 1: Suprimeix tota la fila i la columna que conté l'element en consideració.
és a dir,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Pas 2: Agafeu els elements restants tal com estan a la matriu després del pas 1.
és a dir,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Pas 3: Trobeu el determinant de la matriu formada al pas 2 que s'anomena menor de l'element.
Menor de 3 polzades
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Pas 4: Ara utilitzeu la fórmula per al cofactor de l'element aijés a dir, (-1)i+jMij
Cofactor de l'element 3 = (-1)1+3(32) = 32
Pas 5: Continueu el procediment per a tots els elements per trobar la matriu de cofactors de A,
és a dir, la matriu de cofactors de A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transposició de Matrix
La transposició d'una matriu és la matriu que es forma canviant les files i columnes de la matriu entre si. La transposició de la matriu A es denota com ATo A‘. Si l'ordre de la matriu A és m×n, aleshores l'ordre de la matriu transposada és n×m.
Aprendre mes sobre, Transposició d'una matriu
Com trobar l'adjunt d'una matriu?
Per trobar l'adjunt d'una matriu, primer, hem de trobar el cofactor de cada element i després trobar 2 passos més. mireu a continuació els passos,
Pas 1: Troba el cofactor de cada element present a la matriu.
Pas 2: Creeu una altra matriu amb els cofactors com a elements.
Pas 3: Ara trobeu la transposició de la matriu que ve després del pas 2.
Com trobar l'adjunt d'una matriu 2×2
Considerem un exemple per entendre el mètode per trobar l'adjunt de la matriu 2×2.
Exemple: Trobeu l'adjunt de
Solució:
La matriu donada és
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Pas 1: Troba el cofactor de cada element.
Cofactor de l'element en A[1,1]: 5
Cofactor de l'element en A[1,2]: -4
Cofactor de l'element en A[2,1]: -3
Cofactor de l'element en A[2,2]: 2
Pas 2: Crea una matriu a partir de Cofactors
és a dir,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Pas 3: Transposició de la matriu de cofactors,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Com trobar l'adjunt d'una matriu 3×3
Prenguem un exemple d'una matriu 3×3 per entendre com calcular l'adjunt d'aquesta matriu.
Exemple: Trobeu l'adjunt de
Solució:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Pas 1: Troba el cofactor de cada element.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Pas 2: Crea una matriu a partir de Cofactors
com deseleccioneu al gimp
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Pas 3: Transposeu la matriu C a un adjunt de la matriu donada.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Que és adjunt a la matriu donada A.
Propietats de l'adjunt d'una matriu
Els adjunts d'una matriu tenen diverses propietats, algunes d'aquestes propietats són les següents:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| jon
- Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
- |Adj A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Adj A)
Trobar la inversa utilitzant l'adjunt d'una matriu
Trobar la inversa és una de les aplicacions importants de l'adjunt de la matriu. Per trobar l'inversa d'una matriu mitjançant Adjunt podem seguir els passos següents:
Pas 1: Troba el determinant de la matriu .
Pas 2: Si el determinant és zero, aleshores la matriu no és inversible i no hi ha inversa.
Pas 3: Si el determinant és diferent de zero, trobeu l'adjunt de la matriu.
Pas 4: Dividiu l'adjunt de la matriu pel determinant d'una matriu.
Pas 5: El resultat del pas 4 és la inversa de la matriu donada.
Exemple: Trobeu la inversa de
Solució:
Matriu donada
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
Per tant, la inversa de A no existeix.
Aprendre mes sobre, Inversa d'una matriu
Exemples resolts d'adjunt d'una matriu
Exemple 1: Trobeu l'adjunt de la matriu donada
Solució:
Pas 1: per trobar el cofactor de cada element
Per trobar el cofactor de cada element, hem d'esborrar la fila i la columna de cada element una per una i agafar els elements presents després de suprimir-los.
Cofactor d'elements a A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Cofactor d'elements a A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Cofactor d'elements a A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Cofactor d'elements a A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Cofactor d'elements a A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Cofactor d'elements a A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Cofactor d'elements a A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Cofactor d'elements a A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Cofactor d'elements a A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10La matriu s'assembla amb els cofactors:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} La matriu de cofactor final:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Pas 2: Trobeu la transposició de la matriu obtinguda al pas 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Aquest és el Adjunt de la matriu.
Exemple 2: Trobeu l'adjunt de la matriu donada
Solució:
Pas 1: per trobar el cofactor de cada element
Per trobar el cofactor de cada element, hem d'esborrar la fila i la columna de cada element una per una i agafar els elements presents després de suprimir-los.
Cofactor de l'element en A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Cofactor d'elements a A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Cofactor d'elements a A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Cofactor d'elements en A[2,0] = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Cofactor d'elements en A[2,1] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Cofactor d'elements en A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofactor d'elements a A[3,0] = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Cofactor d'elements en A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofactor d'elements a A[3,2] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3La matriu de cofactor final:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Pas 2: Trobeu la transposició de la matriu obtinguda al pas 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Aquest és el Adjunt de la matriu.
Preguntes freqüents sobre l'adjunt d'una matriu
Què és l'adjunt d'una matriu?
L'adjunt d'una matriu quadrada és la transposició de la matriu de cofactors de la matriu original. També es coneix com a matriu adjugada.
Com es calcula l'adjunt d'una matriu?
Per calcular l'adjunt d'una matriu, cal trobar la matriu cofactor de la matriu donada i després transposar-la.
Quin és l'ús de l'adjunt d'una matriu?
L'aplicació clau o l'ús de l'adjunt d'una matriu és trobar la inversa de les matrius invertibles.
Quina és la relació entre la inversa d'una matriu i el seu adjunt?
La inversa d'una matriu s'obté dividint el seu adjunt pel seu determinant. És a dir, si A és una matriu quadrada i det(A) és diferent de zero, aleshores
A -1 = adj(A)/det(A)
Què és Adjugate Matrix?
La matriu adjunta també s'anomena matriu adjugada. És la transposició del cofactor de la matriu donada.
Quina diferència hi ha entre l'adjunt i la transposició d'una matriu?
L'adjunt d'una matriu és la transposició de la matriu de cofactors, mentre que la transposició d'una matriu s'obté intercanviant les seves files i columnes.
Una matriu quadrada és sempre invertible?
No, les matrius quadrades no sempre són invertibles. Una matriu quadrada només és invertible si té un determinant diferent de zero.
Es pot calcular l'adjunt d'una matriu no quadrada?
No, l'adjunt d'una matriu només es pot calcular per a una matriu quadrada a causa de la definició d'aquesta.