El inversa de Matrix és la matriu que en multiplicar-se amb la matriu original dóna com a resultat una matriu identitat. Per a qualsevol matriu A, la seva inversa es denota com A-1.
Coneixem detalladament la matriu inversa, inclosa la seva definició, fórmula, mètodes sobre com trobar la inversa d'una matriu i exemples.
Taula de contingut
- Matrix inversa
- Termes relacionats amb Matrix Inverse
- Com trobar la inversa de la matriu?
- Fórmula inversa d'una matriu
- Mètode de matriu inversa
- Exemple de matriu inversa de 2×2
- Determinant de la matriu inversa
- Propietats de la inversa de la matriu
- Exemples resolts inversament de matriu
Matrix inversa
La inversa d'una matriu és una altra matriu que, quan es multiplica per la matriu donada, dóna el identitat multiplicativa .
Per a la matriu A i la seva inversa de A-1, la propietat d'identitat té.
A.A -1 = A -1 A = I
on jo és la matriu identitària.
Termes relacionats amb Matrix Inverse
La terminologia que es mostra a continuació us pot ajudar a comprendre la inversa d'una matriu amb més claredat i facilitat.
| Termes | Definició | Fórmula/Procés | Exemple amb la matriu A |
|---|---|---|---|
| Menor | El menor d'un element d'una matriu és el determinant de la matriu que es forma eliminant la fila i la columna d'aquest element. | Per a l'element aij, elimineu la fila i i la columna jth per formar una nova matriu i trobar el seu determinant. | Menor de a 11 és el determinant de |
| Cofactor | El cofactor d'un element és el menor d'aquest element multiplicat per (-1) i+j , on i i j són els índexs de fila i columna de l'element. | Cofactor d'aij= (-1)i+jMenor d'aij | Cofactor de a 11 = (-1) 1+1 × Menor de a 11 = Menor de a 11 |
| Determinant | El determinant d'una matriu es calcula com la suma dels productes dels elements de qualsevol fila o columna i els seus respectius cofactors. | Per a una fila (o columna), suma el producte de cada element i el seu cofactor. | Determinant de A = a 11 × Cofactor de a 11 + a 12 × Cofactor de a 12 + a 13 × Cofactor de a 13 . |
| Diputat | L'adjunt d'una matriu és la transposició de la seva matriu cofactor. | Creeu una matriu de cofactors per a cada element de la matriu original i després transposeu-la. | L'adjunt de A és la transposició de la matriu formada pels cofactors de tots els elements d'A. |
Matriu singular
Una matriu el valor del determinant de la qual és zero s'anomena matriu singular, és a dir, qualsevol matriu A s'anomena matriu singular si |A| = 0. La inversa d'una matriu singular no existeix.
Matriu no singular
Una matriu el valor del determinant de la qual és diferent de zero s'anomena matriu no singular, és a dir, qualsevol matriu A s'anomena matriu no singular si |A| ≠ 0. Existeix la inversa d'una matriu no singular.
Matriu d'identitat
Una matriu quadrada en què tots els elements són zero excepte els elements diagonals principals s'anomena matriu identitat. Es representa mitjançant I. És l'element d'identitat de la matriu com per a qualsevol matriu A,
A×I = A
Un exemple de matriu d'identitat és,
jo3×3=
Aquesta és una matriu d'identitat d'ordre 3×3.
Llegeix més :
- Matriu d'identitat
Com trobar la inversa de la matriu?
Hi ha dues maneres de trobar la inversa d'una matriu en matemàtiques:
- Ús de la fórmula matricial
- Ús de mètodes de matriu inversa
Fórmula inversa d'una matriu
La inversa de la matriu A, és a dir A-1es calcula mitjançant la fórmula inversa de la matriu, que consisteix a dividir l'adjunt d'una matriu pel seu determinant.
Fórmula inversa d'una matriu
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
on,
- adj A = adjunt de la matriu A, i
- |A| = determinant de la matriu A.
Nota : Aquesta fórmula només funciona amb matrius quadrades.
Per trobar la inversa de la matriu utilitzant la fórmula inversa d'una matriu, seguiu aquests passos.
Pas 1: Determineu els menors de tots els elements A.
Pas 2: A continuació, calculeu els cofactors de tots els elements i construïu la matriu de cofactors substituint els elements de A pels seus respectius cofactors.
Pas 3: Agafeu la transposició de la matriu de cofactors d'A per trobar el seu adjunt (escrit com adj A).
Pas 4: Multipliqueu adj A pel recíproc del determinant de A.
Ara, per a qualsevol matriu quadrada no singular A,
A -1 = 1 / |A| × Ajust (A)
Exemple: Troba la inversa de la matriu
Tenim,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Trobeu l'adjunt de la matriu A calculant els cofactors de cada element i després obtenint la transposició de la matriu de cofactors.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Trobeu el valor del determinant de la matriu.
|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)
⇒ |A| = 49
Per tant, la inversa de la matriu és,
A–1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒ A–1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Mètode de matriu inversa
Hi ha dos mètodes de matriu inversa per trobar la matriu inversa:
- Mètode determinant
- Mètode de transformació elemental
Mètode 1: Mètode determinant
El mètode més important per trobar la matriu inversa és utilitzar un determinant.
actor de carnero
La matriu inversa també es troba mitjançant l'equació següent:
A -1 = adj(A) / det(A)
on,
- adj (A) és l'adjunt d'una matriu A, i
- això (A) és el determinant d'una matriu A.
Per trobar l'adjunt d'una matriu A es requereix la matriu cofactor de A. Aleshores, l'adjunt (A) és la transposició de la matriu de cofactors de A, és a dir,
adj (A) = [C ij ] T
- Per al cofactor d'una matriu, és a dir, Cij, podem utilitzar la fórmula següent:
C ij = (-1) i+j això (M ij )
on M ij fa referència a la (i, j) th matriu menor quan i th fila i j th s'elimina la columna.
Mètode 2: Mètode elemental de transformació
Seguiu els passos següents per trobar una matriu inversa pel mètode de transformació elemental.
Pas 1 : Escriu la matriu donada com A = IA, on I és la matriu d'identitat del mateix ordre que A.
Pas 2: Utilitzeu la seqüència d'operacions de fila o de columna fins que s'aconsegueixi la matriu d'identitat a l'LHS, també utilitzeu operacions elementals similars a l'RHS de manera que obtenim I = BA. Així, la matriu B a RHS és la inversa de la matriu A.
Pas 3: Assegureu-vos que utilitzem l'operació de fila o l'operació de columna mentre realitzem operacions elementals.
Podem trobar fàcilment la inversa de la matriu 2 × 2 utilitzant l'operació elemental. Entenem-ho amb l'ajuda d'un exemple.
Exemple: Trobeu la inversa de 2 × 2, A =
Solució:
Donat:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Ara, R1⇢ R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R2– R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R2× 2/3
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R1⇢ R1– R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Així, la inversa de la matriu A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} ésA-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Exemple de matriu inversa de 2×2
La inversa de la matriu 2×2 també es pot calcular mitjançant el mètode de drecera a part del mètode comentat anteriorment. Considerem un exemple per entendre el mètode de drecera per calcular la inversa de la matriu 2 × 2.
Per a la matriu donada A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Ho sabem, |A| = (ad – bc)
i adj A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} després utilitzant la fórmula de la inversa
A-1= (1 / |A|) × Adj A
⇒ A-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Així, es calcula la inversa de la matriu 2 × 2.
Exemple de matriu inversa de 3X3
Prenem qualsevol matriu 3×3 A =
La inversa de la matriu 3×3 es calcula utilitzant el fórmula de matriu inversa ,
A -1 = (1 / |A|) × Adj A
declaració java
Determinant de la matriu inversa
El determinant de la matriu inversa és el recíproc del determinant de la matriu original. és a dir,
això (A -1 ) = 1 / it(A)
La prova de l'afirmació anterior es discuteix a continuació:
det(A × B) = det (A) × det(B) (ja ho sé)
⇒ A × A-1= I (per propietat de la matriu inversa)
⇒ it (A × A-1) = això (jo)
⇒ it(A) × it(A-1) = det(I) [ però, det(I) = 1]
⇒ it(A) × it(A-1) = 1
⇒ això (A-1) = 1 / it(A)
Per tant, provat.
Propietats de la inversa de la matriu
La matriu inversa té les següents propietats:
- Per a qualsevol matriu no singular A, (A -1 ) -1 = A
- Per a dues matrius no singulars A i B, (AB) -1 = B -1 A -1
- La inversa d'una matriu no singular existeix, per a una matriu singular, la inversa no existeix.
- Per a qualsevol A no singular, (A T ) -1 = (A -1 ) T
Relacionats:
- Matriu Invertible
- Matrius: Propietats i Fórmules
- Operació matemàtica sobre matrius
- Determinant de la matriu
- Com trobar el determinant de la matriu?
Exemples resolts inversament de matriu
Anem a resoldre algunes preguntes d'exemple sobre Inverse of Matrix.
Exemple 1: Troba la inversa de la matriu
Solució:
Tenim,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Trobeu l'adjunt de la matriu A calculant els cofactors de cada element i després obtenint la transposició de la matriu de cofactors.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Troba el valor del determinant de la matriu.
|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)
= –3
Per tant, la inversa de la matriu és,
A–1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Exemple 2: Trobeu la inversa de la matriu A=old{ mitjançant la fórmula.}
Solució:
Tenim,
A=
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Trobeu l'adjunt de la matriu A calculant els cofactors de cada element i després obtenint la transposició de la matriu de cofactors.
adj A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Troba el valor del determinant de la matriu.
|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Per tant, la inversa de la matriu és,
A–1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Exemple 3: Trobeu la inversa de la matriu A=
Solució:
Tenim,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Trobeu l'adjunt de la matriu A calculant els cofactors de cada element i després obtenint la transposició de la matriu de cofactors.
adj A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Troba el valor del determinant de la matriu.
|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)
= 1
Per tant, la inversa de la matriu és,
A–1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Exemple 4: Trobeu la inversa de la matriu A=
Solució:
Tenim,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Trobeu l'adjunt de la matriu A calculant els cofactors de cada element i després obtenint la transposició de la matriu de cofactors.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Troba el valor del determinant de la matriu.
|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)
= 20
Per tant, la inversa de la matriu és,
A–1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Preguntes freqüents sobre la inversa de la matriu
Què és la inversa de la matriu?
La recíproca d'una matriu s'anomena inversa d'una matriu. Només les matrius quadrades amb determinants diferents de zero són invertibles. Suposem que per a qualsevol matriu quadrada A amb matriu inversa B el seu producte és sempre una matriu identitat (I) del mateix ordre.
[A]×[B] = [I]
Què és Matrix?
La matriu és una matriu rectangular de nombres que es divideixen en un nombre definit de files i columnes. El nombre de files i columnes d'una matriu es coneix com la seva dimensió o ordre.
Quina és la inversa de la matriu 2×2?
Per a qualsevol matriu A o ordre 3×3, la seva inversa es troba mitjançant la fórmula,
A -1 = (1 / |A|) × Adj A
Què és la inversa de la matriu 3×3?
La inversa de qualsevol matriu quadrada de 3×3 (per exemple A) és la matriu del mateix ordre indicada per A-1de manera que el seu producte és una matriu d'identitat d'ordre 3×3.
[A] 3×3 × [A -1 ] 3×3 = [jo] 3×3
Són el mateix adjunt i invers de matriu?
No, l'adjunt d'una matriu i la inversa d'una matriu no són el mateix.
Com utilitzar la inversa de la matriu?
La inversa d'una matriu s'utilitza per resoldre expressions algebraiques en forma de matriu. Per exemple, per resoldre AX = B, on A és la matriu de coeficients, X és la matriu variable i B és la matriu constant. Aquí la matriu de variables es troba utilitzant l'operació inversa com,
X = A -1 B
Què són les matrius inversibles?
Les matrius les inverses de les quals existeixen s'anomenen invertibles. Les matrius invertibles són matrius que tenen un determinant diferent de zero.
Per què no existeix la matriu inversa de 2 × 3?
La inversa de només una matriu quadrada existeix. Com que la matriu 2 × 3 no és una matriu quadrada sinó una matriu rectangular, per tant, la seva inversa no existeix.
De la mateixa manera, la matriu 2 × 1 tampoc no és una matriu quadrada sinó una matriu rectangular, per tant, la seva inversa no existeix.
Què és la matriu inversa de la identitat?
La inversa d'una matriu d'identitat és la mateixa matriu d'identitat. Això és degut a que la matriu d'identitat, denotada com jo (o jo n per un n × n matriu), és l'única matriu per a la qual cada element al llarg de la diagonal principal és 1 i tots els altres elements són 0. Quan multipliquem una matriu d'identitat per si mateixa (o la seva inversa), tornem a obtenir la matriu d'identitat.