Inversa d'una matriu 3 × 3 és un matriu que quan es multiplica per la matriu original dóna el matriu d'identitat com el producte. La inversa d'una matriu és un aspecte fonamental de l'àlgebra lineal. Aquest procés té un paper crucial en la resolució de sistemes d'equacions lineals i diverses aplicacions matemàtiques. Per calcular la inversa, cal calcular la matriu adjunta comprovar la invertibilitat de la matriu examinant el seu determinant (que no ha de ser igual a zero) i aplicar una fórmula per derivar la matriu inversa.

Aquest article tracta els diferents conceptes de la matriu inversa de 3 × 3 i com trobar la matriu inversa de 3 × 3 calculant cofactors, adjunts i determinants de la matriu 3 × 3. Més endavant en aquest article, també trobareu exemples resolts per a una millor comprensió, i també es proporcionen preguntes pràctiques per comprovar què hem après d'això.

Taula de contingut

• Quina és la inversa de la matriu 3 × 3?
• Com trobar la inversa de la matriu 3 × 3?
• Elements utilitzats per trobar la inversa de la matriu 3 × 3
• Fórmula matricial inversa de 3 × 3
• Trobar la inversa de la matriu 3 × 3 mitjançant operacions de fila

Quina és la inversa de la matriu 3 × 3?

La inversa d'una matriu 3 × 3 és una matriu que, quan es multiplica per la matriu original, dóna com a resultat la matriu identitat. Per trobar la inversa, podeu calcular la matriu adjunta, determinar si la matriu és invertible (no singular) comprovant el seu determinant (que no hauria de ser igual a zero) i després aplicar la fórmula A^-1= (adj A) / (det A). La matriu inversa permet resoldre sistemes d'equacions lineals i realitzar diverses operacions matemàtiques.

Com trobar la inversa de la matriu 3 × 3?

Seguiu els passos que s'indiquen a continuació per trobar la matriu inversa de 3 × 3:

Pas 1: En primer lloc, comproveu si la matriu es pot invertir. Per fer-ho, calculeu el determinant de la matriu. Si el determinant no és zero, passeu al següent pas.

Pas 2: Calcula el determinant de matrius 2 × 2 més petites dins de la matriu més gran.

Pas 3: Creeu la matriu de cofactors.

Pas 4: Obteniu l'Adjugat o Adjunt de la matriu fent la transposició de la matriu cofactor.

Pas 5: Finalment, divideix cada element de la matriu adjugada pel determinant de la matriu 3 per 3 original.

Lectura relacionada

• Cofactor i Menors de Matrix
• Transposició de Matrix

Elements utilitzats per trobar la inversa de la matriu 3 × 3

S'utilitzen principalment dos elements per trobar la inversa d'una matriu 3 × 3:

• Adjunt de Matrix
• Determinant de la matriu

Adjunt d'una matriu 3 × 3

El adjunt d'una matriu A es troba prenent la transposició de la matriu cofactor de A. Per calcular l'adjunt d'una matriu en detall, seguiu les instruccions proporcionades.

Per a una matriu 3 × 3, el cofactor de qualsevol element és el determinant d'una matriu 2 × 2 formada eliminant la fila i la columna que contenen aquest element. En trobar cofactors, alternes signes positius i negatius.

Per exemple, donada la matriu A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

La matriu menor s'obté de la següent manera:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Calcula els determinants de les matrius 2 × 2 formades multiplicant en diagonal i restant els productes d'esquerra a dreta, és a dir, menors.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

llançar cadena a int

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Així, la matriu de cofactors és:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

En transposar la matriu de cofactors, obtenim la matriu adjunta.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinant d'una matriu 3 × 3

Utilitzant el mateix exemple que hem comentat anteriorment, podem calcular el determinant de la matriu A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Calcula el determinant de la matriu utilitzant la primera fila,

Det A = 2 (cofactor de 2) + 1 (cofactor de 1) + 3 (cofactor de 3)

Que A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Que A = 2 + 4 – 6

Que A = 0

Podeu comprovar Truc per calcular el determinant d'una matriu 3×3

Fórmula matricial inversa de 3 × 3

Per trobar la inversa d'una matriu 3 × 3 A, podeu utilitzar la fórmula A-1 = (adj A) / (det A), on:

• adj A és la matriu adjunta de A.
• det A és el determinant de A.

Perquè existeixi A-1, det A no hauria de ser igual a zero. Això vol dir:

• A^-1existeix quan det A no és zero (A no és singular).
• A^-1no existeix quan det A és zero (A és singular).

Aquests són els passos per trobar la inversa d'una matriu 3 × 3, utilitzant el mateix exemple:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Pas 1: Calcula la matriu adjunta (adj A).

Per trobar la matriu adjunta, substituïu els elements de A pels seus cofactors corresponents.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Pas 2: Trobeu el determinant de A (det A).

Per calcular el determinant de A, podeu utilitzar la fórmula per a una matriu 3 × 3. En aquest cas, det A = -8.

Pas 3: apliqueu la fórmula A^-1= (adj A) / (det A) per trobar la matriu inversa A^-1.

Dividiu cada element de la matriu adjunta pel determinant de A:

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

En simplificar les fraccions,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Trobar la inversa de la matriu 3 × 3 mitjançant operacions de fila

Per trobar la inversa d'una matriu 3×3, podeu seguir aquests passos:

Pas 1: Comenceu amb la matriu A de 3×3 donada i creeu una matriu d'identitat I de la mateixa mida, col·locant A al costat esquerre i I al costat dret d'una matriu augmentada, separades per una línia.

Pas 2: Apliqueu una sèrie d'operacions de fila a la matriu augmentada del costat esquerre per transformar-la en la matriu d'identitat I. La matriu del costat dret de la línia, que es converteix en A^-1, és la inversa de la matriu original A.

Aprèn més, Funcionament elemental de matrius

També, comproveu

• Tipus de matrius
• Matriu Invertible
• Traça d'una matriu

Exemples resolts a la inversa de la matriu 3 × 3

Exemple 1: Trobeu la inversa de

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Solució:

Matriu menor de D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Matriu menor de D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Cofactor de matriu, és a dir, X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transposició de la matriu X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Ara, trobarem el determinant de D utilitzant la primera fila:

Que D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Que D = 6+0+14

⇒ Que D = 20

Inversa de la matriu D o D^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Exemple 2: Trobeu la inversa de

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Menor de la matriu E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Cofactor de la matriu E, és a dir, X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Trobem ara el determinant de la matriu E utilitzant la primera fila:

Que E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Que E= -1 + 0 + 1

Que E = 0

∴ Com que el determinant de la matriu E és equivalent a 0, la inversa de la matriu E o E^-1no és possible.

Preguntes pràctiques sobre la matriu inversa de 3 × 3

Q1. Calcula la inversa de la següent matriu 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

P2. Trobeu la inversa de la matriu B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

P3. Determineu si la matriu C és invertible i, si és així, trobeu la seva inversa:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

P4. Calculeu la inversa de la matriu D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

P5. Per a la matriu E, comproveu si és invertible i, si ho és, troba la seva inversa:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inverse of 3×3 Matrix - Preguntes freqüents

1. Què és la inversa d'una matriu 3×3?

La inversa d'una matriu 3×3 és una altra matriu que, quan es multiplica per la matriu original, dóna la matriu identitat.

2. Per què és important trobar la inversa?

És essencial per resoldre sistemes d'equacions lineals, transformacions i diverses operacions matemàtiques.

3. Com es calcula la inversa d'una matriu 3×3?

Normalment trobareu la matriu adjunta, comproveu el valor diferent de zero del determinant i apliqueu una fórmula específica.

4. Quan no existeix la inversa d'una matriu 3×3?

No existeix quan el determinant de la matriu és zero, la qual cosa la fa singular.

5. Qualsevol matriu 3×3 pot tenir una inversa?

No, només les matrius no singulars amb un determinant diferent de zero tenen inverses.

6. Quin és el paper de la matriu adjunta per trobar la inversa?

La matriu adjunta ajuda a calcular la inversa proporcionant cofactors per a cada element.

7. En quins camps s'utilitza àmpliament el concepte d'inversió de matriu 3×3?

El concepte d'inversió de matrius 3×3 s'utilitza en enginyeria, física, gràfics per ordinador i diverses disciplines matemàtiques.

8. Com obtenir la matriu inversa de 3×3?

Per trobar la inversa d'una matriu 3×3, podeu seguir aquests passos:

• En primer lloc, calculeu el determinant de la matriu.
• Si el determinant no és igual a 0, aneu al pas següent. Si és 0, la matriu no té una inversa.
• Trobeu la matriu de menors creant matrius 3×3 per a cada element de la matriu original, excloent la fila i la columna de l'element en què us centreu.
• Calcula la matriu de cofactors aplicant un patró de signes més i menys als elements de la matriu de menors.
• Transposeu la matriu de cofactors intercanviant files per columnes.
• Finalment, divideix la matriu transposada de cofactors pel determinant per obtenir la inversa de la matriu 3×3.