Frustum d'un con és una forma especial que es forma quan tallem el con amb un pla paral·lel a la seva base. El con és una forma tridimensional que té una base circular i un vèrtex. Així doncs, el tronc d'un con és un volum sòlid que es forma eliminant una part del con amb un pla paral·lel a la base circular. El tronc no només es defineix per als cons sinó que també es pot definir per als diferents tipus de piràmides (piràmide quadrada, piràmide triangular, etc.).

Algunes de les formes habituals d'un tronc de con que descobrim a la nostra vida diària són galledes, pantalla de llum i altres. Aprenem més sobre el tronc de cons en aquest article.

Què és Frustum of Cone?

Frustum és una paraula llatina, que significa peces, per tant, frustum de con és una peça sòlida del con. Quan un con circular dret es talla per un pla paral·lel a la base del con la forma així obtinguda s'anomena tronc del con. La figura que es mostra a continuació ens mostra com un pla talla el con paral·lel a la seva base per formar el tronc del con.

Ara, el tronc del con es defineix fàcilment com,

Si un con circular dret està tallat per un pla paral·lel a la seva base, la forma de la porció entre el pla de tall i el pla base s'anomena tronc de con.

Xarxa de tros de con

Si es talla una forma tridimensional (3D) i es fa una forma bidimensional, la forma així obtinguda s'anomena xarxa. Es pot suposar que quan la xarxa de la figura es plega correctament d'una manera correcta forma la forma 3D desitjada. La imatge que es mostra a continuació mostra la xarxa del tronc del con.

Propietats d'un tros de con

Les propietats d'un frustum d'un con són molt semblants a les del con, algunes de les propietats importants del frustum de con són:

• Base del con El con original està contingut en el tronc d'un con però el seu vèrtex no està contingut en el tronc.
• Les fórmules de tronc d'un con depenen de la seva alçada i dos radis (corresponents a les bases superior i inferior).
• L'alçada del tronc del con és la distància perpendicular entre els centres de les seves dues bases.

Fórmules de tros de con

Frustum of Cone és una forma que es veu amb freqüència a la nostra vida diària, per exemple, llums de taula, galledes, etc. Les fórmules importants per al frustum d'un con són:

• Volum del tros de con
• Superfície de Frustum of Cone

Anem a conèixer aquestes fórmules en detall a continuació,

Volum del tros de con

Frustum de con és una part tallada d'un con, on s'elimina un con petit del con més gran. Per tant, per calcular el volum del tronc de con, només cal calcular la diferència entre el volum del con més gran i el més petit.

Suposem,

• L'alçada total del con ha de ser H + h
• L'alçada total de la inclinació serà l' + L
• El radi d'un con complet és r
• El radi del con tallat és r'

Com que el volum del con es dóna com a V = 1/3πr²h

Volum del con complet V₁= 1/3πr²(H+h)

Volum del con més petit V₂=1/3πr'²(h)

Ara el volum del tronc de con (V) es pot calcular mitjançant la fórmula,

V=V₁- EN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Utilitzant la propietat de semblança dels triangles de △OCD i △OAB, es pot escriure,

npm esborra la memòria cau

r / (H + h) = r’ / h

r / r' = (H + h) / h

H + h = h / r'

Substitueix aquest valor de (H+h) a l'equació (1) i simplifica,

V = 1/3π[r²(rh / r’) – r’²(h)}

= 1/3π[{h³-h'³} / r’]…(2)

Utilitzant de nou la propietat del triangle similar a △OCD i △OAB, esbrinarem el valor de h

r / (H + h) = r’ / h

r / r' = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

rh = Hr’ + hr’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr' / (r -r')

Substituint aquests valors a l'equació (2),

V = 1/3π[{r³h - r³h} / r']

= 1/3π[{r³-r'³}h/r’]

= 1/3π[{r³-r'³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r'²+rr’)

Així,

Volum del tronc de con = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr')

Superfície de Frustum of Cone

L'àrea superficial del tronc de con es pot calcular per la diferència entre el superfície del con complet i el con més petit (eliminat del con complet). L'àrea superficial del tronc de con es pot calcular mitjançant el diagrama següent, on cal sumar les àrees superficials de les superfícies corbes i les àrees superficials de les superfícies superior i inferior del tronc de con.

De manera similar al volum del tronc de con, l'àrea de superfície corbada també serà igual a la diferència entre les àrees superficials del con més gran i el con més petit.

A la figura anterior, els triangles OAB i OCD són semblants. Per tant, utilitzant els criteris de semblança, es pot escriure,

l’/l = r’/r…(1)

Com que l’ = l – L, per tant, de l’equació (1),

(l – L) / l = r’ / r

Després de la multiplicació creuada,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

L'àrea de la superfície corba d'un con complet = πrl

La superfície corbada del con menor = πr’l’

Diferència entre les superfícies corbes del con complet i del con més petit = π (rl – r’l’)

Així, l'àrea de superfície corba (CSA) del tronc de con = πl (r - r'l'/l)

Utilitzeu l'equació (1) per substituir el valor de l'/l a l'equació anterior i simplifiqueu,

CSA del tronc de con = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²-r'²)/r

Ara, substituïu el valor de l de l'equació (2) i simplifiqueu,

CSA del tronc de con = πlr/(r – r’)× (r²-r'²)/r = πl (r + r')

Així, es pot escriure,

Àrea de la superfície corba del tronc de con = πl (r + r’)

Ara, calculem l'àrea superficial de les bases superior i inferior del tronc del con, de manera que,

L'àrea superficial de la base superior del tronc de con té un radi r' = πr'²

La superfície de la base inferior del tronc de con que té un radi r = πr²

Tan,

Superfície total del tronc de con = àrea de superfície corbada del tronc de con + àrea de superfície de la base superior + àrea de superfície de la base inferior

Per tant,

La superfície total del tronc de con = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Així, la superfície total del tronc de con és = πl (r + r’) + π (r²+ r'²)

Aquesta fórmula també es pot escriure com,

La superfície total del tronc de con és = πl (r²-r'²)/r + π (r²+ r'²)

Per tant, es pot escriure,

Àrea de superfície total del tronc de con = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

o

Àrea de superfície total del tronc de con = πl (r ² -r' ² )/r + π (r ² + r' ² )

Tingueu en compte que l és l'alçada inclinada del con més petit que es pot donar com a

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Llegeix més

• Volum de Con
• Volum del cilindre
• Volum de l'esfera

Exemples resolts sobre fragment de con

Exemple 1: Esbrineu el volum d'un tronc d'un con que fa 15 cm d'alçada i els radis de les dues bases són de 5 cm i 8 cm.

Solució:

Utilitzant la fórmula estudiada anteriorment, es pot escriure,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

Donat,

H = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Exemple 2: Esbrineu la superfície i la superfície total d'un tronc d'un con que fa 10 cm d'alçada i els radis de les dues bases són de 4 cm i 8 cm.

Solució:

Coneixem la fórmula de la superfície i la superfície total del tronc. Hem de connectar els valors requerits.

Superfície corbada del tronc = πl(r+r’)

on,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Donat,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Calculant el valor de L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Àrea de superfície corba de Frustum = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Superfície total = Superfície corba de Frustum + Àrea de les dues bases

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Exemple 3: Suposem que tenim una galleda metàl·lica oberta l'alçada del qual és de 50 cm i els radis de les bases són de 10 cm i 20 cm. Troba l'àrea de la làmina metàl·lica utilitzada per fer la galleda.

Solució:

La galleda té forma de tronc que es tanca des del fons. Hem de calcular la superfície total d'aquest tronc.

Donat
H = 50 cm
r ‘= 10 cm
r = 20 cm

Àrea de superfície corba de Frustum = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

exemples de programació de Python

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Àrea de superfície corba de Frustum = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Superfície total = Superfície corba de Frustum + Àrea de les dues bases

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Exemple 4: Trobeu l'expressió del volum d'un tronc si la seva alçada és 6y i els seus radis són y i 2y respectivament.

Solució:

Utilitzant la fórmula estudiada anteriorment,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

Donat,

H = 6y
r’= i
r = 2y

V = 1/3 π6[(2y)²+ (i)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³unitat³

Preguntes freqüents sobre Piece of Cone

Pregunta 1: Què és el frustum d'un con?

Resposta:

Quan tallem un con de tal manera que el pla de tall sigui paral·lel a la base del con. La figura resultant així obtinguda s'anomena Frustum del Con.

Pregunta 2: Quins són el Frustum de les fórmules de con?

Resposta:

Les fórmules del tronc d'un con es discuteixen a continuació. Prenem un tronc de radi base 'R' i radi superior 'r', alçada 'H' i alçada inclinada, aleshores,

• Volum de la peça d'un con (V) = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)
• Superfície total del tronc d'un con = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Pregunta 3: Quin és el CSA d'un frustum?

Resposta:

L'àrea de la superfície corba del tronc d'un con es calcula mitjançant la fórmula,

CSA = πl (r + r')

on,
r' és el radi del cercle superior del tronc
r és la base del radi
l és l'alçada inclinada

Pregunta 4: Quina és la superfície de Frustum of Cone?

Resposta:

L'àrea superficial del tronc d'un con es calcula mitjançant la fórmula,

• CSA del tros de con = πl [ (r²-r'²)/r’]
• TSA de tronc de con = π (r²+ r'²) + πl [ (r²-r'²) / r’]

Pregunta 5: Quin és el volum del Frustum de Con?

Resposta:

El volum del tronc d'un con es calcula mitjançant la fórmula,

• V = 1/3πh[ (r³-r'³) / r’]
• V = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)