Volum d'una esfera és la quantitat de líquid que pot contenir una esfera. La fórmula del volum de l'esfera es dóna com a 4/3πr³. És l'espai que ocupa una esfera en un espai tridimensional. Es mesura en unitats³és a dir m³, cm³, etc. Una esfera és un objecte sòlid tridimensional amb una forma rodona en geometria.

El volum de l'esfera és l'espai total que ocupa la superfície de l'esfera i és proporcional al cub del radi de l'esfera. En aquest article, coneixerem el volum de l'esfera, la fórmula del volum de l'esfera, els exemples de la fórmula del volum de l'esfera i altres en detall.

• Què és el volum d'una esfera?
• Fórmula del volum de l'esfera
• Volum d'una esfera sòlida
• Volum d'una esfera buida
• Derivació de la fórmula del volum de l'esfera
• Com calcular el volum de l'esfera?

Què és el volum d'una esfera?

El volum d'una esfera és la quantitat d'espai que ocupa dins d'ella. L'esfera és una forma sòlida rodona tridimensional en la qual tots els punts de la seva superfície estan igualment espaiats del seu centre. La distància fixa és el radi de l'esfera i el punt fix és el centre de l'esfera. Observarem un canvi de forma quan es gira el cercle. Com a resultat de la rotació de l'objecte bidimensional conegut com a cercle, s'obté la forma tridimensional d'una esfera.

Aprèn més,

• Esfera
• Superfície de l'esfera

Definició del volum d'una esfera

El volum d'una esfera és la massa total que envolta la superfície de l'esfera. És l'espai 3D dins de l'esfera. Depèn del radi de l'esfera. La imatge afegida a continuació mostra una esfera de radi r i el seu volum.

Fórmula del volum de l'esfera

La fórmula del volum de l'esfera és la fórmula que s'utilitza per trobar el volum de l'esfera quan es dóna el seu radi. La fórmula del volum de l'esfera per a l'esfera de radi R s'afegeix a continuació,

Fórmula del volum de l'esfera = 4/3πr ³

On,

• r és el radi d'una esfera
• Pi és una constant i el seu valor és 22/7

Una esfera es classifica generalment en dues que són,

• Volum de l'esfera sòlida
• Volum de l'esfera buida

Anem a conèixer-los en detall.

Volum d'una esfera sòlida

Una esfera sòlida és una esfera que està completament plena fins a l'interior. és a dir, té massa fins al seu nucli i la seva fórmula per al volum quan el seu radi és r és,

Volum d'una esfera sòlida(V) = (4/3)πr ³

Volum d'una esfera buida

Per a una esfera buida, el seu espai intern és buit i suposem que el seu radi exterior és R i el seu radi interior és r, llavors el seu volum es calcula mitjançant la fórmula,

Volum de l'esfera buida = (4/3)π(R ³ – r ³ )

Derivació de la fórmula del volum de l'esfera

La fórmula del volum de l'esfera es pot derivar mitjançant els mètodes següents:

• Utilitzant la integració
• Utilitzant Arquimedes Relació entre cilindre, con i esfera

Analitzem aquests mètodes en detall de la següent manera:

Volum d'esfera mitjançant la integració

Utilitzant l'enfocament d'integració, podem calcular simplement el volum d'una esfera.

Suposem que el volum de l'esfera està format per una sèrie de discs circulars prims apilats un sobre l'altre, tal com es dibuixa al diagrama anterior. Cada disc prim té un radi de r i un gruix de dy que és la distància y de l'eix x.

Sigui dV el volum d'un disc. El valor de dV ve donat per,

dV = (πr²) vostè

Així, dV = π (R²– i²) vostè

El volum total de l'esfera serà la suma dels volums de tots aquests petits discos. El valor requerit es pot obtenir integrant l'expressió del límit -R a R.

Així, el volum de l'esfera esdevé,

V =int_{y=-R}^{y=R} dV

⇒ V =int_{y=-R}^{y=R}π(R^2 – y^2)dy

⇒ V =pi|(R^2y – frac{y^3}{3})dy|_{y=-R}^{y=R}

⇒ V =pi left[R^3-frac{R^3}{3}-(-R^3+frac{R^3}{3}) ight]

⇒ V =pi left[2R^3-frac{2R^3}{3} ight]

⇒ V =frac{4}{3}pi R^3

Així, es deriva la fórmula del volum de l'esfera.

Volum d'esfera utilitzant relacions d'Arquímedes

Com ja ha demostrat Arquimedes, si un con, una esfera i un cilindre tenen el mateix radi r i la mateixa alçada, els seus volums estan en una proporció d'1:2:3.

Per tant podem dir:

Volum del cilindre = Volum del con + Volum de l'esfera

Així, Volum de l'esfera = Volum del cilindre - Volum del con

Com sabem, aquest volum del cilindre = πr²h i volum del con = (1/3)πr²h

Substituint aquests valors a l'equació, obtenim:

Volum de l'esfera = πr²h – (1/3)πr²h = (2/3)πr²h

Suposem que l'alçada del cilindre és igual al diàmetre de l'esfera, que és 2r. Així:

El volum de l'esfera és (2/3)πr ² h = (2/3)πr ² (2r) = (4/3)πr ³

També, comproveu

• Fórmula de volum de tapa esfèrica
• Fórmula del sector esfèric
• Fórmula del segment esfèric

Com calcular el volum de l'esfera?

El volum de l'esfera és l'espai que ocupa una esfera. El seu volum es pot calcular mitjançant la fórmula V = 4/3πr ³ .

Els passos necessaris per calcular el volum d'una esfera són:

Pas 1: Marca el valor del radi de l'esfera.

2 de setembre: Troba el cub del radi.

Pas 3: Multiplica el cub del radi per (4/3)π

Pas 4: Afegeix la (unitat)³a la resposta final.

Exemple per calcular el volum d'esfera

Exemple: Troba el volum d'una esfera amb un radi de 7 cm.

Donat, r = 7 cm

V = (4/3)πr³

Volum de l'esfera, V = ((4/3) × π × 7³) cm³

Alçada = 1436,8 cm³

Així, el volum de l'esfera és de 1436,8 cm³

Llegeix més

• Volum de Con
• Volum del cub
• Volum del cilindre

Exemples de volum d'esfera

Exemple 1. Troba el volum de l'esfera el radi de la qual és de 9 cm.

Solució:

Tenim, r = 9

Volum de l'esfera = 4/3 πr³

⇒ Volum de l'esfera = (4/3) (3,14) (9) (9) (9)

⇒ Volum de l'esfera = (4) (3,14) (3) (9) (9)

⇒ Volum de l'esfera = 3052 cm³

Exemple 2. Troba el volum de l'esfera el radi de la qual és de 12 cm.

Solució:

Tenim, r = 12

Volum de l'esfera = 4/3 πr³

⇒ Volum de l'esfera = (4/3) (3,14) (12) (12) (12)

⇒ Volum de l'esfera = (4) (3,14) (4) (12) (12)

⇒ Volum de l'esfera = 7234,56 cm³

Exemple 3. Troba el volum de l'esfera el radi de la qual és de 6 cm.

Solució:

Tenim, r = 6

Volum de l'esfera = 4/3 πr³

⇒ Volum de l'esfera = (4/3) (3,14) (6) (6) (6)

⇒ Volum de l'esfera = (4) (3,14) (2) (6) (6)

⇒ Volum de l'esfera = 904,32 cm³

Exemple 4. Troba el volum de l'esfera el radi de la qual és de 4 cm.

Solució:

Tenim, r = 4

Volum de l'esfera = 4/3 πr3

⇒ Volum de l'esfera = (4/3) (3,14) (4) (4) (4)

⇒ Volum de l'esfera = (1,33) (3,14) (4) (4) (4)

⇒ Volum de l'esfera = 267,27 cm³

Exemple 5. Troba el volum de l'esfera el diàmetre de la qual és de 10 cm.

Solució:

Tenim, 2r = 10

capa de xarxa a les xarxes d'ordinadors

⇒ r = 5

Volum de l'esfera = 4/3 πr³

⇒ Volum de l'esfera = (4/3) (3,14) (5) (5) (5)

⇒ Volum de l'esfera = (1,33) (3,14) (5) (5) (5)

⇒ Volum de l'esfera = 522,025 cm³

Exemple 6. Troba el volum de l'esfera el diàmetre de la qual és de 16 cm.

Solució:

Tenim, 2r = 16

⇒ r = 8

Volum de l'esfera = 4/3 πr³

⇒ Volum de l'esfera = (4/3) (3,14) (8) (8) (8)

⇒ Volum de l'esfera = (1,33) (3,14) (8) (8) (8)

⇒ Volum de l'esfera = 2138,21 cm³

Exemple 7. Troba el volum de l'esfera el diàmetre de la qual és de 14 cm.

Solució:

Tenim, 2r = 14

⇒ r = 7

Volum de l'esfera = 4/3 πr³

⇒ Volum de l'esfera = (4/3) (3,14) (7) (7) (7)

⇒ Volum de l'esfera = (1,33) (3,14) (7) (7) (7)

⇒ Volum de l'esfera = 1432,43 cm³

Volum de preguntes d'esfera-pràctica

Q1: Troba el volum de l'esfera el diàmetre de la qual és de 34 cm.

P2: Troba el volum de l'esfera buida l'interior de la qual és de 4 cm i el radi exterior de 8 cm.

P3: Troba el volum de l'esfera el radi de la qual és de 14 cm.

P4: Quin és el volum de l'esfera el radi de la qual és igual al costat del quadrat amb àrea de 144 m?².

Volum de Sphere-FAQs

Què és el volum d'esfera?

El volum de l'esfera és l'espai que ocupa la superfície de l'esfera.

Quina és la fórmula de l'àrea superficial d'una esfera?

La superfície total de l'esfera de radi r és, Àrea = 4πr ²

Quina és la fórmula del volum d'una esfera?

El volum d'una esfera de radi r és, Volum = 4/3πr ³

Com trobem el volum de l'hemisferi?

El volum d'un hemisferi de radi r és, Volum = 2/3πr ³

Quina és la relació entre el volum de l'esfera i l'hemisferi?

Si una esfera i un hemisferi tenen els mateixos radis, la relació entre el seu volum és:

EN ₁ : EN ₂ = (4/3πr ³ ): (2/3πr ³ ) = 2 : 1

Quina és la unitat de volum d'una esfera?

El volum de l'esfera es mesura en m³, cm³, litres, etc. m ³ és la unitat de mesura estàndard.

Què és el volum de l'esfera quan el seu radi es redueix a la meitat?

Volum de l'esfera = (4/3)πr³= (4/3)π(r/2)³= (4/3)π(r³/8) = Volum/8. Així, el volum de l'esfera és d'una vuitena part.