Classe d'equivalència són el conjunt d'elements d'un conjunt basat en una noció específica d'equivalència definida per una relació d'equivalència. Una relació d'equivalència és una relació que compleix tres propietats: reflexivitat, simetria i transitivitat. Les classes d'equivalència divideixen el conjunt S en subconjunts disjunts. Cada subconjunt consta d'elements que estan relacionats entre si sota la relació d'equivalència donada.

En aquest article, parlarem del concepte de classe d'equivalència amb prou detall, incloent la seva definició, exemple, propietats, així com exemples resolts.

Taula de contingut

• Què són les classes d'equivalència?
• Exemples de classe d'equivalència
• Propietats de les classes d'equivalència
• Classes d'equivalència i partició

Què són les classes d'equivalència?

Una classe d'equivalència és el nom que donem al subconjunt de S que inclou tots els elements que són equivalents entre si. L'equivalent depèn d'una relació especificada, anomenada relació d'equivalència. Si hi ha una relació d'equivalència entre dos elements qualsevol, s'anomenen equivalents.

Definició de classe d'equivalència

Donada una relació d'equivalència en un conjunt S, una classe d'equivalència respecte a un element a de S és el conjunt de tots els elements de S que estan relacionats amb a, és a dir,

[a] O x està relacionat amb a

Per exemple, considerem el conjunt de nombres enters ℤ i la relació d'equivalència definida per la congruència mòdul n. Dos nombres enters a i b es consideren equivalents (denotats com (a ≡ b mod(n)) si tenen el mateix residu quan es divideixen per n. En aquest cas, la classe d'equivalència d'un nombre enter a és el conjunt de tots els nombres enters que tenen la mateix residu que a quan es divideix per n.

Què és la relació d'equivalència?

Qualsevol relació R, es diu que és una realitat d'equivalència si i només si, compleix les tres condicions següents:

• Reflexivitat: Per a qualsevol element a, a està relacionat amb si mateix.
• Simetria: Si a està relacionada amb b, aleshores b està relacionada amb a.
• Transitivitat: Si a està relacionada amb b i b està relacionada amb c, aleshores a està relacionada amb c.

Llegeix més sobre Relació d'equivalència .

estructura en l'estructura de dades

Alguns exemples de relació d'equivalència són:

Igualtat en un conjunt: Sigui X qualsevol conjunt, i definiu una relació R sobre X tal que a R b si i només si a = b per a, b ϵ X.

• Reflexivitat: Per cada a ϵ X, a = a (trivialment cert).
• Simetria: Si a = b, aleshores b = a (trivialment cert).
• Transitivitat: Si a = b i b = c, aleshores a = c (trivialment cert).

Congruence modul n: Sigui n un nombre enter positiu, i definiu una relació R sobre els nombres enters ℤ tal que a R b si i només si a – b és divisible per n.

• Reflexivitat: Per cada a ϵ ℤ, a – a = 0 és divisible per n.
• Simetria: Si a – b és divisible per n, llavors -(a – b) = b – a també és divisible per n.
• Transitivitat: Si a – b és divisible per n i b – c és divisible per n, aleshores a – c també és divisible per n.

Exemples de classe d'equivalència

L'exemple conegut d'una relació d'equivalència és la relació igual a (=). En altres paraules, dos elements del conjunt donat són equivalents entre si si pertanyen a la mateixa classe d'equivalència. Les relacions d'equivalència es poden explicar amb els exemples següents:

Relació d'equivalència sobre nombres enters

Relació d'equivalència: Congruència mòdul 5 (a ≡ b [mod(5)] )

• Classe d'equivalència de 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
• Classe d'equivalència 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
• Classe d'equivalència 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
• Classe d'equivalència de 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
• Classe d'equivalència de 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Relació d'equivalència sobre nombres reals

Relació d'equivalència: Diferència absoluta (a ~ b si |a – b| <1)

• Classe d'equivalència de 0: [0] = (-0.5, 0.5)
• Classe d'equivalència 1: [1] = (0.5, 1.5)
• Classe d'equivalència 2: [2] = (1.5, 2.5)
• Classe d'equivalència de 3: [3] = (2.5, 3.5)

Llegeix més,

• Nombres reals
• Nombres enters
• Nombres racionals

Propietats de les classes d'equivalència

Les propietats de les classes d'equivalència són:

• Cada element pertany exactament a una classe d'equivalència.
• Les classes d'equivalència són disjuntes, és a dir, la intersecció de dues classes d'equivalència és un conjunt nul.
• La unió de totes les classes d'equivalència és el conjunt original.
• Dos elements són equivalents si i només si les seves classes d'equivalència són iguals.

Llegeix més,

• Unió de Conjunts
• Intersecció de conjunts
• Conjunts discontinus

Classes d'equivalència i partició

Els grups d'elements d'un conjunt relacionats per una relació d'equivalència, mentre que una col·lecció d'aquestes classes d'equivalència, que cobreix tot el conjunt sense solapaments, s'anomena partició.

Diferència entre classes d'equivalència i partició

La diferència clau entre les classes d'equivalència i la partició es donen a la taula següent:

Exemples resolts sobre classe d'equivalència

Exemple 1: Demostreu que la relació R és un tipus d'equivalència en el conjunt P= { 3, 4, 5,6 } donat per la relació R = (p, q):.

Solució:

Donat: R = (p, q):. On p, q pertany a P.

Propietat reflexiva

A partir de la relació proporcionada |p – p| = | 0 |=0.

xor en c++

• I 0 sempre és parell.
• Per tant, |p – p| és parell.
• Per tant, (p, p) es relaciona amb R

Per tant, R és reflexiu.

Propietat simètrica

A partir de la relació donada |p – q| = |q – p|.

• Sabem que |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
• Per tant |p – q| és parell.
• Següent |q – p| també és parell.
• En conseqüència, si (p, q) ∈ R, aleshores (q, p) també pertany a R.

Per tant R és simètric.

Propietat transitiva

• Si |p – q| és parell, aleshores (p-q) és parell.
• De la mateixa manera, si |q-r| és parell, llavors (q-r) també és parell.
• La suma de nombres parells és massa parell.
• Per tant, podem abordar-ho com p – q+ q-r és parell.
• A continuació, p – r és més parell.

D'acord amb,

• |p – q| i |q-r| és parell, aleshores |p – r| és parell.
• En conseqüència, si (p, q) ∈ R i (q, r) ∈ R, aleshores (p, r) també es refereix a R.

Per tant, R és transitiva.

Exemple 2: considereu A = {2, 3, 4, 5} i R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Solució:

Donat: A = {2, 3, 4, 5} i

Relació R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.

Perquè R sigui una relació d'equivalència, R ha de satisfer tres propietats, és a dir, reflexiva, simètrica i transitiva.

Reflexiu : La relació R és reflexiva perquè (5, 5), (2, 2), (3, 3) i (4, 4) ∈ R.

Simètric : La relació R és simètrica com sempre que (a, b) ∈ R, (b, a) també es relaciona amb R, és a dir, (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Transitiu : La relació R és transitiva com sempre que (a, b) i (b, c) es relacionen amb R, (a, c) també es relaciona amb R, és a dir, (3, 5) ∈ R i (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

En conseqüència, R és reflexiu, simètric i transitiu.

llista d'usuaris mysql

Per tant, R és una relació d'equivalència.

Pràctica de problemes sobre classe d'equivalència

Problema 1: aRb si a+b és parell. Determina si és una relació d'equivalència i les seves propietats.

Problema 2: xSy si x i y tenen el mateix mes de naixement. Analitza si es tracta d'una relació d'equivalència.

Problema 3: Considereu A = {2, 3, 4, 5} i R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) ), (4, 2), (4, 4)}. Confirmeu que R és un tipus de relació d'equivalència.

Problema 4: Demostreu que la relació R és un tipus d'equivalència en el conjunt P= { 3, 4, 5,6 } donat per la relació R = és parell .

Classe d'equivalència: preguntes freqüents

1. Què és la classe d'equivalència?

Una classe d'equivalència és un subconjunt dins d'un conjunt, format agrupant tots els elements que són equivalents entre si sota una relació d'equivalència determinada. Representa tots els membres que es consideren iguals per aquesta relació.

2. Quin és el símbol de la classe d'equivalència?

El símbol d'una classe d'equivalència s'escriu normalment com [a], on a és un element representatiu de la classe. Aquesta notació denota el conjunt de tots els elements equivalents a a sota una relació d'equivalència específica.

3. Com es troba la classe d'equivalència d'un conjunt?

Per trobar la classe d'equivalència d'un conjunt, seguiu aquests passos:

Pas 1: Definir una relació d'equivalència.

Pas 2: Seleccioneu un element del conjunt.

Pas 3: Identificar elements equivalents als elements seleccionats.

diferència entre el gel i la neu

Pas 4: Formeu la classe d'equivalència que conté tots els elements equivalents a l'element seleccionat.

4. Quina diferència hi ha entre la classe d'equivalència i la partició?

Les classes d'equivalència són subconjunts formats per una relació d'equivalència, mentre que les particions són subconjunts no superposats que cobreixen tot el conjunt. Cada classe d'equivalència és un subconjunt d'una partició, però no totes les particions sorgeixen d'una relació d'equivalència.

5. Què és una relació d'equivalència?

Una relació que és reflexiva, simètrica i transitiva, que divideix un conjunt en subconjunts disjunts.