Agut, obtus, isòsceles, equilàter... Quan es tracta de triangles, hi ha moltes varietats diferents, però només una selecció d'unes poques que són 'especials'. Aquests triangles especials tenen costats i angles que són coherents i predictibles i es poden utilitzar per fer dreceres als vostres problemes de geometria o trigonometria. I un triangle de 30-60-90 —pronunciat 'trenta seixanta noranta'— resulta ser un tipus de triangle molt especial.
En aquesta guia, us explicarem què és un triangle 30-60-90, per què funciona i quan (i com) utilitzar el vostre coneixement. Així que anem-hi!
Què és un triangle 30-60-90?
Un triangle 30-60-90 és un triangle rectangle especial (un triangle rectangle és qualsevol triangle que conté un angle de 90 graus) que sempre té angles de 30 graus, 60 graus i 90 graus. Com que és un triangle especial, també té valors de longitud dels costats que sempre estan en una relació coherent entre si.
La relació bàsica del triangle 30-60-90 és:
Costat oposat a l'angle de 30°: $x$
Costat oposat a l'angle de 60°: $x * √3$
Cara oposada a l'angle de 90°: x$
Per exemple, un triangle de 30-60-90 graus podria tenir longituds laterals de:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
composició de la relació
(Per què el catet més llarg és 3? En aquest triangle, el catet més curt ($x$) és $√3$, per tant, per al catet més llarg, $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. I la hipotenusa és 2 vegades el catet més curt, o √3$)
Etcètera.
El costat oposat a l'angle de 30° és sempre el més petit , perquè 30 graus és l'angle més petit. El costat oposat a l'angle de 60° serà la longitud mitjana , perquè 60 graus és l'angle de mida mitjana en aquest triangle. I, finalment, el costat oposat a l'angle de 90° sempre serà el costat més gran (la hipotenusa) perquè 90 graus és l'angle més gran.
Tot i que pot semblar similar a altres tipus de triangles rectangles, el motiu pel qual un triangle 30-60-90 és tan especial és que només necessiteu tres peces d'informació per trobar totes les altres mesures. Sempre que sàpigues el valor de dues mesures d'angle i la longitud d'un costat (no importa quin costat), saps tot el que necessites saber sobre el teu triangle.
Per exemple, podem utilitzar la fórmula del triangle 30-60-90 per omplir tots els buits d'informació restants dels triangles següents.
Exemple 1
Podem veure que es tracta d'un triangle rectangle en el qual la hipotenusa fa el doble de la longitud d'un dels catets. Això vol dir que ha de ser un triangle de 30-60-90 i el costat donat més petit és oposat als 30°.
Per tant, la cama més llarga ha d'estar oposada a l'angle de 60° i mesurar * √3$, o √3$.
Exemple 2
convertir int en cadena en java
Podem veure que aquest ha de ser un triangle de 30-60-90 perquè podem veure que aquest és un triangle rectangle amb una mesura donada, 30°. L'angle no marcat ha de ser llavors de 60°.
Com que 18 és la mesura oposada a l'angle de 60°, ha de ser igual a $x√3$. Aleshores, la cama més curta ha de mesurar /√3$.
(Tingueu en compte que la longitud de la cama serà en realitat /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ perquè un denominador no pot contenir un radical/arrel quadrada).
I la hipotenusa serà (18/√3)$
(Tingueu en compte que, de nou, no podeu tenir un radical al denominador, de manera que la resposta final serà realment 2 vegades la longitud de la cama de √3$ => √3$).
Exemple 3
De nou, ens donen dues mesures d'angle (90° i 60°), de manera que la tercera mesura serà de 30°. Com que aquest és un triangle de 30-60-90 i la hipotenusa és 30, el catet més curt serà igual a 15 i el catet més llarg serà igual a 15√3.
No cal consultar la bola de vuit màgica: aquestes regles sempre funcionen.
Per què funciona: 30-60-90 Demostració del teorema del triangle
Però, per què aquest triangle especial funciona com ho fa? Com sabem que aquestes regles són legítimes? Anem a veure exactament com funciona el teorema del triangle 30-60-90 i demostrem per què aquestes longituds de costat sempre seran coherents.
Primer, oblidem-nos dels triangles rectangles per un segon i mirem un triangle equilàter.
Un triangle equilàter és un triangle que té tots els costats iguals i tots els angles iguals. Com que els angles interiors d'un triangle sempre sumen 180° i 0/3 = 60$, un triangle equilàter sempre tindrà tres angles de 60°.
Ara anem a baixar una alçada des de l'angle superior fins a la base del triangle.
Ara ho tenim va crear dos angles rectes i dos triangles congruents (iguals).
Com sabem que són triangles iguals? Perquè hem baixat una alçada des d'un equilàter triangle, hem dividit la base exactament per la meitat. Els nous triangles també comparteixen una longitud de costat (l'alçada), i cadascun tenen la mateixa longitud d'hipotenusa. Com que comparteixen tres longituds laterals en comú (SSS), això vol dir els triangles són congruents.
Nota: els dos triangles no només són congruents basant-se en els principis de longituds laterals-laterals, o SSS, sinó que també es basen en mesures de costat-angle-laterals (SAS), angle-angle-lateral (AAS) i angles. angle lateral (ASA). Bàsicament? Definitivament són congruents.
Ara que hem demostrat les congruències dels dos nous triangles, podem veure que els angles superiors han de ser cadascun iguals a 30 graus (perquè cada triangle ja té angles de 90° i 60° i ha de sumar 180°). Això vol dir hem fet dos triangles de 30-60-90.
I com que sabem que tallem la base del triangle equilàter per la meitat, podem veure que el costat oposat a l'angle de 30° (el costat més curt) de cadascun dels nostres triangles 30-60-90 té exactament la meitat de la longitud de la hipotenusa. .
Així doncs, anomenem la nostra longitud lateral original $x$ i la nostra longitud dividida en dos $x/2$.
Ara només ens queda trobar la longitud del costat mitjà que comparteixen els dos triangles. Per fer-ho, podem utilitzar simplement el teorema de Pitàgores.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
com comprovar la mida de la pantalla
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Així que ens quedem amb: $x/2, {x√3}/2, x$
Ara multipliquem cada mesura per 2, només per fer la vida més fàcil i evitar totes les fraccions. D'aquesta manera, ens quedem amb:
$x$, $x√3$, x$
Podem veure, per tant, que un triangle 30-60-90 ho farà sempre tenen longituds laterals consistents de $x$, $x√3$ i x$ (o $x/2$, ${√3x}/2$ i $x$).
Afortunadament per a nosaltres, podem demostrar que les regles del triangle 30-60-90 són certes sense tot... això.
Quan utilitzar les regles del triangle 30-60-90
Conèixer les regles del triangle 30-60-90 us permetrà estalviar temps i energia en una multitud de problemes matemàtics diferents, és a dir, una gran varietat de problemes de geometria i trigonometria.
Geometria
La comprensió adequada dels triangles 30-60-90 us permetrà resoldre qüestions de geometria que serien impossibles de resoldre sense conèixer aquestes regles de proporció o, si més no, necessitarien un temps i un esforç considerables per resoldre el 'camí llarg'.
Amb les proporcions especials dels triangles, podeu esbrinar les altures o les longituds de les cames que falten (sense haver d'utilitzar el teorema de Pitàgores), trobar l'àrea d'un triangle utilitzant la informació que falten d'alçada o de longitud de base i calcular ràpidament els perímetres.
Cada vegada que necessiteu velocitat per respondre una pregunta, us serà útil recordar dreceres com les vostres regles 30-60-90.
Trigonometria
Memoritzar i entendre la proporció de triangles 30-60-90 també us permetrà resoldre molts problemes de trigonometria sense necessitat d'una calculadora ni d'aproximar les vostres respostes en forma decimal.
Un triangle de 30-60-90 té sinus, cosinus i tangents bastant simples per a cada angle (i aquestes mesures sempre seran coherents).
El sinus de 30° sempre serà de /2$.
El cosinus de 60° sempre serà d'1/2 $.
Tot i que els altres sinus, cosinus i tangents són bastant simples, aquests són els dos que són els més fàcils de memoritzar i és probable que es mostrin a les proves. Per tant, conèixer aquestes regles us permetrà trobar aquestes mesures de trigonometria el més ràpidament possible.
Consells per recordar les regles 30-60-90
Sabeu que aquestes regles de ràtio 30-60-90 són útils, però com podeu mantenir la informació al cap? Recordar les regles del triangle 30-60-90 és qüestió de recordar la proporció d'1: √3 : 2, i saber que la longitud del costat més curt sempre és oposada a l'angle més curt (30°) i la longitud del costat més llarg sempre és oposada a la angle més gran (90°).
Algunes persones memoritzen la proporció pensant: ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' perquè la successió '1, 2, 3' normalment és fàcil de recordar. L'única precaució per utilitzar aquesta tècnica és recordar que el costat més llarg és en realitat el x$, no el $x$ vegades $√3$.
Una altra manera de recordar les vostres proporcions és Utilitzeu un joc de paraules mnemotècnic en la proporció 1: arrel 3: 2 en el seu ordre correcte. Per exemple, 'Jackie Mitchell va posar fora a Lou Gehrig i 'també va guanyar a Ruthy': un, arrel tres, dos. (I és un veritable fet de la història del beisbol!)
establir el delimitador java
Juga amb els teus propis dispositius mnemotècnics si no t'agraden: canta la proporció a una cançó, troba les teves pròpies frases 'un, arrel tres, dos' o crea un poema de raó. Fins i tot podeu recordar que un triangle de 30-60-90 és mig equilàter i calcular-ne les mesures a partir d'aquí si no us agrada memoritzar-les.
Tanmateix, té sentit recordar aquestes regles 30-60-90, manteniu aquestes proporcions al cap per a les vostres futures preguntes de geometria i trigonometria.
La memorització és el teu amic, però pots fer-ho realitat.
Exemple 30-60-90 Preguntes
Ara que hem mirat el com i el perquè de 30-60-90 triangles, anem a treballar amb alguns problemes de pràctica.
Geometria
Un treballador de la construcció recolza una escala de 40 peus contra el costat d'un edifici en un angle de 30 graus respecte del terra. El terreny és pla i el costat de l'edifici és perpendicular al terra. A quina distància de l'edifici arriba l'escala, fins al peu més proper?
Sense conèixer les nostres regles especials del triangle 30-60-90, hauríem d'utilitzar la trigonometria i una calculadora per trobar la solució a aquest problema, ja que només tenim una mesura lateral d'un triangle. Però perquè sabem que això és un especial triangle, podem trobar la resposta en pocs segons.
Si l'edifici i el sòl són perpendiculars entre si, això ha de significar que l'edifici i el sòl formen un angle recte (90°). També és un fet que l'escala es troba amb el terra en un angle de 30°. Per tant, podem veure que l'angle restant ha de ser de 60°, la qual cosa fa que aquest sigui un triangle de 30-60-90.
cadena booleana java
Ara sabem que la hipotenusa (costat més llarg) d'aquest 30-60-90 és de 40 peus, el que significa que el costat més curt tindrà la meitat d'aquesta longitud. (Recordeu que el costat més llarg sempre és el doble—x$—més llarg que el costat més curt.) Com que el costat més curt és oposat a l'angle de 30°, i aquest angle és la mesura en graus de l'escala des del terra, això vol dir que la part superior de l'escala colpeja l'edifici a 20 peus del terra.
La nostra resposta final és 20 peus.
Trigonometria
Si, en un triangle rectangle, sin Θ = /2$ i la longitud del catet més curt és 8. Quina és la longitud del costat que falta que NO és la hipotenusa?
Com que coneixeu les vostres regles 30-60-90, podeu resoldre aquest problema sense necessitat ni del teorema de Pitàgores ni d'una calculadora.
Ens van dir que aquest és un triangle rectangle, i sabem per les nostres regles especials de triangle rectangle que sinus 30° = /2$. L'angle que falta ha de ser, per tant, de 60 graus, la qual cosa fa que aquest sigui un triangle de 30-60-90.
I com que aquest és un triangle de 30-60-90, i ens van dir que el costat més curt és 8, la hipotenusa ha de ser 16 i el costat que falta ha de ser * √3$, o √3$.
La nostra resposta final és 8√3.
Els Take-Aways
Recordant el les regles per a 30-60-90 triangles us ajudaran a fer dreceres a través d'una varietat de problemes matemàtics . Però tingueu en compte que, tot i que conèixer aquestes regles és una eina útil per tenir al vostre cinturó, encara podeu resoldre la majoria dels problemes sense elles.
Feu un seguiment de les regles de $x$, $x√3$, x$ i 30-60-90 de la manera que us convingui i intenteu mantenir-les clares si podeu, però no us espanteu si us sembla. esborra quan arriba el moment de la crisi. Sigui com sigui, tens això.
I, si necessiteu més pràctica, feu una ullada a això Test de triangle 30-60-90 . Feliç presa de proves!