Determinant de la matriu 4×4: El determinant d'una matriu és un concepte fonamental en àlgebra lineal, essencial per derivar un únic valor escalar de la matriu. 4×4 és una matriu quadrada amb 4 files i 4 columnes el determinant de la qual es pot trobar mitjançant una fórmula que comentarem.
Aquest article explorarà la definició d'una matriu 4 × 4 i guia a través del procés pas a pas de càlcul del determinant de la matriu 4 × 4. A més, explora les aplicacions pràctiques d'aquesta operació matemàtica.
Taula de contingut
- Quin és el determinant d'una matriu?
- Determinant de la matriu 4×4
- Determinant de la fórmula matricial 4 × 4
- Determinant d'exemples de matrius 4×4
- Determinant de les preguntes pràctiques de matriu 4×4
Quin és el determinant d'una matriu?
El determinant d'una matriu és un valor escalar que es pot calcular a partir dels elements de a matriu quadrada . Proporciona informació important sobre la matriu, com ara si és invertible i el factor d'escala de les transformacions lineals representades per la matriu.
Diversos mètodes, com ara cofactor l'expansió o la reducció de fila, es pot utilitzar per trobar el determinant d'una matriu, depenent de la mida i l'estructura de la matriu. Un cop calculat, el determinant es denota amb el símbol det o les barres verticals que tanquen la matriu.
Determinant de la matriu 4×4
Una matriu 4×4 és una matriu rectangular de nombres disposats en quatre files i quatre columnes. Cada element de la matriu s'identifica per la seva posició de fila i columna. La forma general d'una matriu 4×4 té aquest aspecte:
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
On aijrepresenta l'element situat a la ithfila i jthcolumna de la matriu.
Les matrius 4×4 es troben habitualment en diversos camps, com ara els gràfics per ordinador, la física, l'enginyeria i les matemàtiques. S'utilitzen per representar transformacions, resoldre sistemes d'equacions lineals i realitzar operacions en àlgebra lineal.
Propietats de la matriu 4×4
Aquestes són algunes de les propietats d'una matriu 4×4 explicades en termes simplificats:
- Matriu quadrada: Una matriu 4×4 té un nombre igual de files i columnes, la qual cosa la converteix en una matriu quadrada.
- Determinant: El determinant d'una matriu 4×4 es pot calcular mitjançant mètodes com l'expansió del cofactor o la reducció de fila. Proporciona informació sobre la invertibilitat i el factor d'escala de la matriu per a transformacions lineals.
- Invers: Una matriu 4×4 és invertible si el seu determinant és diferent de zero. La inversa d'una matriu 4×4 permet resoldre sistemes d'equacions lineals i desfer transformacions representades per la matriu.
- Transposar: La transposició d'una matriu 4×4 s'obté intercanviant les seves files i columnes. Pot ser útil en determinats càlculs i transformacions.
- Valors propis i vectors propis: Les matrius 4×4 es poden analitzar per trobar-ne valors propis i vectors propis , que representen propietats de la matriu sota transformacions lineals.
- Simetria: Depenent de la matriu específica, pot presentar propietats de simetria com ara ser simètric, simètric asimètric o cap de les dues.
- Operacions de matriu: Es poden realitzar diverses operacions com sumes, restes, multiplicacions i multiplicacions escalars en matrius 4×4 seguint regles i propietats específiques.
Llegeix amb detall: Propietats dels determinants
Determinant de la fórmula matricial 4 × 4
Determinant de qualsevol matriu 4 × 4, és a dir,
it(A) = a 11 · ell (A 11 ) - a 12 · ell (A 12 ) + a 13 · ell (A 13 ) - a 14 · ell (A 14 )
On Aijdenota la submatriu eliminant ithfila i jthcolumna.
Com es troba el determinant d'una matriu 4 × 4?
Per trobar el determinant d'una matriu 4×4, podeu utilitzar diversos mètodes com ara l'expansió per menors, la reducció de files o l'aplicació de propietats específiques.
Un mètode comú és utilitzar l'expansió per menors, on s'expandeix al llarg d'una fila o columna multiplicant cada element pel seu cofactor i sumant els resultats. Aquest procés continua de forma recursiva fins a arribar a una submatriu 2×2, per a la qual podeu calcular directament el determinant. Per entendre com trobar el determinant d'una matriu 4×4 considereu un exemple.
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
Pas 1: expandeix al llarg de la primera fila:
it(A) = 2 · it(A 11 ) – 1 · el (A 12 ) + 3 · it(A 13 ) – 4 · it(A 14 )
On Aijdenota la submatriu obtinguda eliminant la fila i i la columna j.
Pas 2: Calculeu el determinant de cada submatriu 3×3.
Per a A11
⇒ |A11| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]
⇒ |A11| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |A11| = 10 – 2(-13) + 4
⇒ |A11| = 10 + 26 + 4 = 40
Per a A12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16+ 6= 10
Per a A13
⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1)(8) + 2(11)
⇒ |A13| = 8 + 22 = 30
Per a A14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
Pas 3: Substituïu els determinants de les submatrius 3×3 a la fórmula d'expansió:
(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28
Pas 4: Calculeu el determinant final:
it(A) = 80 – 10 + 90 – 112
it(A) = 48
Per tant, el determinant de la matriu 4×4 donada és 48.
També, comproveu
- Determinant de la matriu 2×2
- Determinant de la matriu 3×3
Determinant d'exemples de matrius 4×4
Exemple 1: A =
Solució:
Primer Expandeix al llarg de la primera fila:
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) Ara, calculeu el determinant de cada submatriu 3×3.
Per (A 11 ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
= -25
Per (A 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(2 )-(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
superíndex en il·lustrador= -14 – 0 – 21
= -35
Per (A 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 )-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
Per (A 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
Ara, substituïu els determinants de les submatrius 3×3 a la fórmula d'expansió:
det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
Per tant, el determinant de la matriu (A) és 24.
Exemple 2: Calcula el determinant de la matriu
Solució:
Per trobar el determinant de la matriu ( A ), utilitzarem el mètode d'expansió per menors al llarg de la primera fila:
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} Ara, calculem els determinants de les submatrius 3×3:
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
Ara, substituïu aquests determinants de nou a la fórmula d'expansió:
it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120
Així, el determinant de la matriu ( A ) és det(A) = -120.
Exemple 3: Trobeu el determinant de la matriu B =
Solució:
Per trobar el determinant de la matriu ( B ), utilitzarem el mètode d'expansió per menors al llarg de la primera fila:
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} Ara, calculem els determinants de les submatrius 3×3:
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
Ara, substituïu aquests determinants de nou a la fórmula d'expansió:
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ qualsevol cosa
= 8 + 9 – 36 + 0
= -19
Així, el determinant de la matriu ( B ) és det(B) = -19
Determinant de les preguntes pràctiques de matriu 4×4
Q1: Calcula el determinant de la següent matriu 4×4:
P2: Troba el determinant de la matriu:
P3: Calcula el determinant de la següent matriu 4×4:
P4: Determineu el determinant de la matriu:
P5: Troba el determinant de la matriu:
Preguntes freqüents sobre el determinant de la matriu 4×4
Com es troba el determinant d'una matriu 4×4?
Per trobar el determinant d'una matriu 4 × 4, podeu utilitzar diversos mètodes com l'expansió del cofactor o les tècniques de reducció de files.
Quin és el determinant d'una matriu d'identitat 4×4?
El determinant d'una matriu d'identitat 4×4 és 1, ja que és un cas especial on tots els elements diagonals són 1 i la resta són 0.
Com trobar el determinant d'una matriu 4 × 4 mitjançant l'expansió del cofactor?
Determinar el determinant d'una matriu de 4 × 4 mitjançant l'expansió del cofactor implica descompondre'l en matrius més petites de 3 × 3, aplicar la fórmula del cofactor i sumar els productes.
Quina és la fórmula del determinant?
La fórmula del determinant consisteix a sumar els productes dels elements i els seus cofactors en cada fila o columna, tenint en compte els seus signes.
Un determinant pot ser negatiu?
Sí, els determinants poden ser negatius, positius o zero, segons la matriu específica i les seves propietats.
Una matriu 4×4 pot tenir una inversa?
Una matriu 4×4 pot tenir una inversa si el seu determinant és diferent de zero; en cas contrari, és singular i no té una inversa.
Com demostres que una matriu 4×4 és invertible?
Per mostrar que una matriu 4×4 és invertible, confirmeu que el seu determinant és diferent de zero, indicant l'existència d'una inversa, i utilitzeu criteris addicionals com la reducció de files per verificar la invertibilitat.