El determinant és un concepte fonamental en àlgebra lineal utilitzat per trobar un sol valor escalar per a la matriu donada. Aquest article explicarà què és una matriu 3 × 3 i com calcular el determinant d'una matriu 3 × 3 pas a pas, així com les seves aplicacions. Tant si sou un estudiant que aprèn àlgebra lineal com si sou un entusiasta que busca una comprensió més profunda de les operacions de la matriu, entendre el determinant d'una matriu 3 × 3 és una habilitat valuosa per adquirir.

Quin és el determinant de la matriu?

Determinant d'una matriu és un nombre únic calculat a partir d'una matriu quadrada. En el camp de l'àlgebra lineal, els determinants es troben utilitzant els valors dins de la matriu quadrada. Aquest nombre actua com un factor d'escala, que influeix en com es transforma la matriu. Els determinants són valuosos per resoldre sistemes d'equacions lineals, trobar la inversa d'una matriu i diverses operacions de càlcul.

Què és la matriu 3 × 3?

Una matriu 3 × 3 és a matriu en què el nombre de files i columnes són iguals a 3. Com que el nombre de files i columnes són iguals, per tant, 3 × 3 és una matriu quadrada d'ordre 3 × 3. Una matriu és com una taula feta de nombres, organitzada en files i columnes. S'utilitza per emmagatzemar i treballar amb dades en matemàtiques i altres camps. Mentre que, una matriu 3 × 3 és un tipus específic de matriu que consta de tres files i tres columnes. Es pot representar com:

Matriu 3 × 3

Propietats de la matriu 3 × 3

Com altres matrius, les matrius 3 × 3 també tenen algunes propietats importants.

• Matriu quadrada : Una matriu de 3 × 3 té tres files i tres columnes, la qual cosa la converteix en una matriu quadrada.

• Determinant: Una matriu 3 × 3 té un determinant, un valor numèric crucial per resoldre equacions i trobar inverses.

• Multiplicació matricial: Podeu multiplicar una matriu de 3 × 3 per una altra matriu si el nombre de columnes de la primera matriu coincideix amb el nombre de files de la segona.

• Invers: Una matriu 3 × 3 pot tenir una inversa si el seu determinant és diferent de zero. La matriu inversa, quan es multiplica per la matriu original, dóna la matriu identitat.

Determinant de la fórmula matricial 3 × 3

Hi ha diversos mètodes per calcular el determinant d'una matriu. L'enfocament més comú és trencar una matriu 3 × 3 donada en determinants 2 × 2 més petits. Això simplifica el procés de trobar el determinant i s'utilitza àmpliament en àlgebra lineal.

Prenem una matriu quadrada de 3 × 3 que s'escriu com,

Per calcular el determinant de la matriu A, és a dir, |A|.

Amplieu la matriu al llarg dels elements de la primera fila.

Per tant,

Com es troba el determinant d'una matriu 3 × 3?

Entenem el càlcul d'una matriu 3 × 3 amb un exemple. Per a la matriu 3 × 3 donada a continuació.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Pas 1: trieu una fila o una columna de referència

Seleccioneu una fila i una columna per començar, suposem que en aquest exemple prenem el primer element (2) com a referència per calcular el determinant de la matriu 3 × 3.

Així, expandint-se al llarg de la fila R₁

Pas 2: Ratlleu la fila i la columna

Elimina la fila i la columna escollides per simplificar-la en una matriu 2 × 2.

Matriu 2×2

Pas 3: Trobeu el determinant de la matriu 2 × 2

Troba el determinant de la matriu 2 × 2 mitjançant la fórmula

Determinant = (a × d) – (b × c)

Multiplicació creuada

Aquí, a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

posant aquests valors en la fórmula anterior de determinant, obtenim

Determinant = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinant = 0- (-1)

Determinant = 0+1

∴ Determinant de la matriu 2 × 2 = 1

Pas 4: Multiplica per l'element escollit

Multipliqueu el determinant de la matriu 2 × 2 per l'element escollit de la fila de referència (que és 2,1 i 3 en aquest cas):

primer element = 2 × 1 = 2

Pas 5: repetiu aquest procés per al segon element de la fila de referència escollida

Per al segon element

Trobeu el determinant del segon element 1 posant els valors de la matriu 2×2 a la fórmula

Determinant = (a × d) – (b × c)

Aquí, a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

Determinant = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinant = 8 – 2

Determinant = 6

Ara, multipliqueu el determinant de la matriu 2 × 2 per l'element escollit de la fila de referència (que és 1 en aquest cas):

segon element = 1 × 6 = 6

Pas 6: repetiu aquest procés per al tercer element de la fila de referència escollida

Per al tercer element

Trobeu el determinant del tercer element 3 posant els valors de la matriu 2×2 a la fórmula

Determinant = (a × d) – (b × c)

Aquí, a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Determinant = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinant = -4 – 0

Determinant = -4

Ara, multipliqueu el determinant de la matriu 2×2 per l'element escollit de la fila de referència (que és 3 en aquest cas):

segon element = 3 × (-4) = -12

Pas 7: Ús de la fórmula

Sumeu tots els resultats del pas 4, 5 i 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 és el determinant de la matriu 3 × 3.

Aplicació del determinant d'una matriu 3 × 3

El determinant d'una matriu es pot utilitzar per trobar la inversa i resoldre el sistema d'equacions lineals. Per tant, aprenem a trobar la inversa de la matriu 3 × 3 i també a resoldre un sistema d'equació lineal mitjançant la regla de Cramer que impliquen l'ús del determinant de la matriu 3 × 3.

Inversa de la matriu 3 × 3

La fórmula per trobar la inversa d'una matriu quadrada A és:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

On,

• A-1 és el inversa de la matriu A .
• Det(A) representa el determinant de la matriu A.
• adj(A) significa l'adjugat de la matriu A

En termes senzills, podeu seguir aquests passos per trobar la inversa d'una matriu:

Pas 1. Calcula el determinant de la matriu A.

Pas 2. Trobeu l'adjugat de la matriu A.

Pas 3. Multipliqueu cada element de l'adjugat per 1/det(A).

Aquesta fórmula s'utilitza per a matrius quadrades (matrius amb el mateix nombre de files i columnes) i suposa que el determinant és diferent de zero, la qual cosa és una condició necessària perquè una matriu tingui una inversa.

Regla de Cramer

Regla de Cramer proporciona una fórmula per resoldre un sistema d'equacions lineals mitjançant determinants. Per a un sistema d'equacions lineals amb n variables es donen en forma de

AX=B

On,

• A = Coeficient de la matriu quadrada
• X = Matriu de columnes amb variables
• B = Matriu de columna amb constants

Considereu el següent sistema d'equacions lineals

a₁x + b₁i + c₁z +. . . = d₁

a₂x + b₂i + c₂z +. . . = d₂

. . .

a_nx + b_ni + c_nz +. . . = d_n

Les variables x, y, z, …, es determinen mitjançant les fórmules següents:

• x = D_x/D
• y = D_i/D
• z = D_Amb/D

On:

• D és el determinant de la matriu de coeficients.
• D_xés el determinant de la matriu que s'obté substituint els coeficients de x per les constants del costat dret.
• D_iés el determinant de la matriu que s'obté substituint els coeficients de y
• D_Ambés el determinant de la matriu obtingut substituint els coeficients de z

La regla de Cramer és aplicable quan el determinant de la matriu de coeficients D és diferent de zero. Si D = 0, no es pot aplicar la regla que indica cap solució o infinites solucions segons el cas concret.

També, comproveu

• Tipus de matrius
• Sistema d'equacions lineals amb tres variables
• Operacions matricials

Determinant de 3 × 3 Matrix Exemples resolts

Exemple 1: Trobeu el determinant de la matriu A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinant de A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinant de A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinant de A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinant de A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinant de A =-44+11

∴ Determinant de A és a dir, |A| = (-33)

Exemple 2: Trobeu el determinant de la matriu B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Determinant de B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinant de B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinant de B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinant de B =6-12

⇒ Determinant de B = (-6)

∴ Determinant de B és a dir, |B| = 6

Exemple 3: Trobeu el determinant de la matriu C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinant de la matriu C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinant de C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinant de C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinant de C = 24 + 10 -8

⇒ Determinant de C = 26

∴ Determinant de C és a dir, |C| = 26

Exemple 4: Resol el sistema d'equacions donat utilitzant la regla de Cramer

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Solució:

Pas 1: Primer, troba el determinant D de la matriu de coeficients.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

En resoldre aquest determinant D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Pas 2: Ara, trobeu els determinants de D_x, D_ii D_Amb

Per D_x, substituïm els coeficients de x per les constants del costat dret:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Per D_i, substituïm els coeficients de y per les constants:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Per D_Amb, substituïm els coeficients de z per les constants:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

En resoldre el determinant D_x

D_x= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_x= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_x= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_x= -49 + 42 + 28

Així, D_x= 21

En resoldre el determinant D_i

D_i= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_i= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_i= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_i= -68 + 14 + 24

⇒ D_i= -30

En resoldre el determinant D_Amb

D_Amb= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_Amb= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_Amb= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Amb= 20 – 6 – 98

⇒ D_Amb= -84

Pas 3: Ara posant els valors de D, D_x, D_ii D_Amba la fórmula de la regla de Carmer per trobar els valors de x,y i z.

x = D_x/D = 21/(-19)

jframe

y = D_i/D = (-30)/(-19)

z = D_Amb/D = (-84)/(-19)

Preguntes pràctiques sobre el determinant de la matriu 3 × 3

Q1. Calcula el determinant de la matriu identitat:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

P2. Troba el determinant de la matriu:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

P3. Determineu el determinant de la matriu:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

P4. Calcula el determinant de la matriu:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

P5. Troba el determinant de la matriu:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

P6. Determineu el determinant de la matriu:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinant de la matriu 3 × 3 - Preguntes freqüents

1. Què és una matriu?

Una matriu és una disposició rectangular de nombres o elements organitzats en files i columnes. S'utilitza en diversos camps per representar i resoldre problemes matemàtics, científics i d'enginyeria.

2. Quina importància té el determinant d'una matriu 3 × 3?

El determinant d'una matriu 3 × 3 és significatiu perquè proporciona informació sobre les propietats de la matriu. Ajuda a determinar si un sistema d'equacions lineals té una solució única, entre altres aplicacions.

3. Quina és la definició de determinant de la matriu?

El determinant d'una matriu és un valor escalar calculat a partir dels elements de la matriu, proporcionant informació sobre les seves propietats. S'utilitza per resoldre sistemes d'equacions lineals, trobar inverses i molt més.

4. Què passa si el determinant d'una matriu 3 × 3 és zero?

Si el determinant d'una matriu 3 × 3 és zero, vol dir que la matriu és singular i no té cap inversa. En termes geomètrics, indica que la transformació representada per la matriu col·lapsa l'àrea o el volum a zero. determinant sempre és zero. Això és aplicable a matrius de qualsevol mida.

5. Pot ser negatiu el determinant d'una matriu 3 × 3?

Sí, el determinant pot ser negatiu. El signe del determinant depèn de la disposició dels elements de la matriu i de si donen lloc a un valor positiu o negatiu segons el mètode de càlcul.

6. Quines són algunes aplicacions pràctiques per trobar el determinant d'una matriu 3 × 3?

Els determinants s'utilitzen en diversos camps, com ara la física, l'enginyeria, els gràfics per ordinador i l'economia. Ajuden a resoldre sistemes d'equacions lineals, analitzar transformacions geomètriques i determinar l'estabilitat dels sistemes dinàmics.