Derivada de la funció arc tangent es denota com a bronzejat^-1(x) o arctan(x). És igual a 1/(1+x ² ) . Derivada de la funció arc tangent es troba determinant la velocitat de canvi de la funció arc tan respecte a la variable independent. La tècnica per trobar derivades de funcions trigonomètriques es coneix com a diferenciació trigonomètrica.

Derivat d'Arctan

En aquest article, coneixerem la derivada de l'arc tan x i la seva fórmula, inclosa la demostració de la fórmula. A part d'això, també hem proporcionat alguns exemples resolts per a una millor comprensió.

Derivada d'Arctan x

La derivada de la funció arctangent o arctan(x) és 1/(1+x ² ). L'arctan x representa l'angle la tangent del qual és x. En altres paraules, si y = arctan(x), aleshores tan(y) = x.

La derivada d'una funció es pot trobar utilitzant la regla de la cadena. Si teniu una funció composta com arctan(x), diferencieu la funció externa respecte a la funció interna i després multipliqueu per la derivada de la funció interna.

Derivat de la fórmula Arctan x

La fórmula per a la derivada de la inversa de tan x ve donada per:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Consulteu també :

string.format java

• Arctan: fórmula, gràfic, identitats, domini, rang i preguntes freqüents
• Càlcul en matemàtiques
• Invers Funció trigonomètrica

Prova de la derivada d'Arctan x

La derivada de la inversa de tan x es pot demostrar mitjançant les maneres següents:

• Utilitzant Regla de la cadena
• Utilitzant Mètode de diferenciació implícita
• Ús dels primers principis de derivades

Derivada d'Arctan x per regla de la cadena

Per demostrar la derivada d'Arctan x mitjançant la regla de la cadena, utilitzarem la fórmula bàsica trigonomètrica i trigonomètrica inversa:

• sec²y = 1 + tan²i
• tan (arctan x) = x

Aquí teniu la demostració de la derivada d'arctan x:

Suposem, y = arctan(x)

Prenent bronzejat per ambdós costats obtenim:

tan i = tan(arctan x)

tan y = x [as tan (arctan x) = x]

Ara diferencia ambdós costats respecte a x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [com d/dx(x) = 1]

Aplicant la regla de la cadena per diferenciar tan y respecte a x obtenim

d/dx(tan y) = sec²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/s²i

dy/dx = 1/ 1 + tan²y [com sec²y = 1 + tan²i]

Ara, sabem tan y = x, substituint el valor de l'equació anterior que obtenim

dy/dx = 1/ 1 + x²

Derivada d'Arctan x per mètode de diferenciació implícita

El derivat de l'arctan x es pot demostrar mitjançant el mètode de diferenciació implícita. Utilitzarem fórmules trigonomètriques bàsiques que s'enumeren a continuació:

• sec²x = ( 1 + tan²x)

• If y = arctan x ⇒ x = tan i and x²= tan²i

Comencem la demostració de la derivada d'arctan x , assumeix f(x) = y = arctan x

matemàtiques java

Mitjançant el mètode de diferenciació implícita

f(x) = y = arctan x

⇒ x = tan y

Prenent la derivada dels dos costats respecte a x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Multiplicant i dividint el costat dret per dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × di/di

⇒ 1 = d/di[tan y] × di/dx

⇒ 1 = seg²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Com seg²x = ( 1 + tan²x)]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²i )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Per tant f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Derivada d'Arctan x pel primer principi

Per demostrar la derivada d'arctan x utilitzant el primer principi de la derivada, utilitzarem límits bàsics i fórmules trigonomètriques que s'enumeren a continuació:

• lim_h→0arctan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Comencem la demostració de la derivada d'arctan x

tenim arctan(x) = y

Apliqueu la definició de derivada que obtenim

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Consulteu també

• Derivada de funcions trigonomètriques inverses
• Fórmules de diferenciació
• Identitats trigonomètriques inverses

Exemples sobre la derivada d'Arctan x

Exemple 1: Trobeu la derivada de la funció f(x) = arctan(3x).

Solució:

Utilitzarem la regla de la cadena, que diu que si g(x) és diferenciable en x i f(x) = arctan (g(x)), aleshores la derivada f'(x) ve donada per:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

En aquest cas, g(x) = 3x, per tant g'(X) = 3. Aplicant la fórmula de la regla de la cadena:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Exemple 2: Trobeu la derivada de la funció h(x) = tan ^-1 (x/2)

Solució:

Utilitzarem la regla de la cadena, segons la qual f(x) = tan^-1(g(x)), aleshores la derivada f'(x) ve donada per:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

En aquest cas, g(x) = x/2, per tant g'(X) = 1/2. Aplicant la fórmula de la regla de la cadena:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

travessa de comanda prèvia

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Simplificant aconseguim,

f'(x) = 2/(4+x²)

Exemple 3: Trobeu la derivada de f(x) = arctan (2x ² )

Solució:

Utilitzarem la regla de la cadena, que diu que si g(x) és diferenciable en x i f(x) = arctan (g(x)), aleshores la derivada f'(x) ve donada per:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

En aquest cas, g(x) = 2x², per tant g'(X) = 4x.

objecte a json a java

Aplicant la fórmula de la regla de la cadena:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arctan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Preguntes pràctiques sobre la derivada d'Arctan x

P.1: Trobeu la derivada de la funció f(x) = x ² arcà (2x)

P.2: Trobeu la derivada de la funció k(x) = arctan (x ³ +2x)

P.3: Trobeu la derivada de la funció p(x) = x arctan(x ² +1)

P.4: Trobeu la derivada de la funció f(x) = arctan (x)/1+x

P.5: Trobeu la derivada de la funció r(x) = arctan (4x)

Llegeix més,

• Derivada en matemàtiques
• Derivada de tan inversa x
• Arctan

Derivada d'Arctan x - Preguntes freqüents

Què és la derivada en matemàtiques?

En matemàtiques, les derivades mesuren com canvia una funció a mesura que canvia la seva entrada (variable independent). La derivada d'una funció f(x) es denota com f'(x) o (d /dx)[f(x)].

Què és la derivada de tan ^-1 (x)?

Derivat del bronzejat^-1(x) respecte a x és 1/1+x²

Què és la inversa de tan x?

Arctan és la funció inversa de tan i és una de les funcions trigonomètriques inverses. També es coneix com a funció arctan.

Què és la regla de la cadena a Arctan (x)?

La regla de la cadena és una regla de diferenciació. Per arctan (u), la regla de la cadena estableix que si f(x) = arctan(u), aleshores f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. Aplicant això a arctan(x), on u=x, dóna 1/1+x²

Quina és la derivada de f(x) = x tan ^-1 (x)?

Derivada de f(x) = xtan^-1(x) es pot trobar utilitzant la regla del producte. El resultat és tan ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Què és l'antiderivat d'Arctan x?

La antiderivada d'arctan x ve donada per ∫tan^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Què és la derivada?

La derivada de funció es defineix com la taxa de canvi de la funció respecte a una variable independent.