FÓRMULA COTANGENT

La trigonometria és una branca important de les matemàtiques que tracta de la relació entre les longituds dels costats i els angles d'un triangle rectangle. El sinus, el cosinus, la tangent, la cosecant, la secant i la cotangent són les sis raons o funcions trigonomètriques. On una relació trigonomètrica es representa com la relació entre els costats d'un triangle rectangle.

sin θ = costat oposat/hipotenusa
cos θ = costat adjacent/hipotenusa
tan θ = costat oposat/costat adjacent
cosec θ = 1/sin θ = hipotenusa/costat oposat
sec θ = 1/cos θ = hipotenusa/costat adjacent
cot θ = 1/tan θ = costat adjacent/costat oposat

Una funció cotangent és una funció recíproca de la funció tangent donada. El valor d'un angle cotangent en un triangle rectangle és la relació entre la longitud del costat adjacent a l'angle donat i la longitud del costat oposat a l'angle donat. Escrivim la funció cotangent com a cot.

Triangle ABC

Ara, la fórmula cotangent per a l'angle θ és,

bressol θ = (costat adjacent)/(costat oposat)

La funció cotangent és positiva al primer i tercer quadrants i negativa al segon i quart quadrants.

bressol (2π + θ) = bressol θ (1^stquadrant)
cot (π – θ) = – cot θ (2^ndquadrant)
bressol (π + θ) = bressol θ (3^rdquadrant)
cot (2π – θ) = – cot θ (4^thquadrant)

La funció cotangent és una funció negativa, ja que la cotangent d'un angle negatiu és la negativa d'un angle positiu cotangent.

bressol (-θ) = – bressol θ

En termes de la funció tangent, la funció cotangent s'escriu com:

cot θ = 1/tan θ

(o)

cot θ = tan (90° – θ) (o) tan (π/2 – θ)

La funció cotangent en termes de funcions sinus i cosinus es pot escriure com,

cot θ = cos θ/sin θ

Sabem que, cot θ = costat adjacent/costat oposat

Ara divideix el numerador i el denominador amb la hipotenusa

⇒ cot θ = (costat adjacent/hipotenusa) / (cost oposat/hipotenusa)

Sabem que, sin θ = costat oposat/hipotenusa

cos θ = costat adjacent/hipotenusa

Per tant, cot θ = cos θ/sin θ

La funció cotangent en termes de funció sinus es pot escriure com,

cot θ = (√1 – sense ² i)/sin i

Sabem que, cot θ = cos θ/sin θ

De les identitats pitagòriques que tenim;

cos²θ + sin²θ = 1
cadena subcadena java

⇒ cos θ = √1 – sense²i

Per tant, cot θ = $frac{sqrt{left(1-sin^{2} heta ight)}}{sin heta}$

La funció cotangent en termes de funció cosinus es pot escriure com,

cot θ = cos θ/(√1 -cos ² i)

Sabem que, cot θ = cos θ/sin θ

De les identitats pitagòriques que tenim;

cos²θ + sin²θ = 1

sense θ = √1 – cos²i

Per tant, cot θ = $frac{cos heta}{sqrt{left(1-cos^{2} heta ight)}}$

La funció cotangent en termes de funcions secants i cosecants es pot escriure com,

cot θ = cosec θ/seg θ

Tenim, cot θ = cos θ/sin θ

Això es pot escriure com, cot θ = (1/sin θ) / (1/cos θ)

⇒ cot θ = cosec θ/seg θ

La funció cotangent en termes de funció cosecant es pot escriure com:

cot θ = √(cosec ² – 1)

De les identitats pitagòriques, tenim,

cosec²θ – bressol²θ = 1

⇒ bressol²θ = 1 – cosec²– 1

Per tant, cot θ = √(cosec²– 1)

La funció cotangent en termes de funció secant es pot escriure com:

cot θ = 1/(√seg ² i - 1)

De les identitats pitagòriques, tenim,

sec²θ – tan²θ = 1

tan θ = √sec²i - 1

Sabem que, cot θ = 1/tan θ

Per tant, bressol θ = $frac{1}{sqrt{left(1-seg^{2} heta ight)}}$

Taula de relacions trigonomètriques

Taula de relacions trigonomètriques

Llei cotangent o llei de cotangents

La llei cotangent s'assembla a la llei del sinus, però aquí implica mig angles. La llei de les cotangents descriu la relació entre les longituds dels costats del triangle i les cotangents de les meitats dels tres angles. Considereu un triangle ABC, on a, b i c són les longituds dels costats del triangle.

La llei de les cotangents diu que,

$frac{cot(frac{A}{2})}{(s-a)} = frac{cot(frac{B}{2})}{(s-b)} = frac{cot(frac{ C}{2})}{(s-c)} = frac{1}{r}$

On s és el semiperímetre del triangle ABC i r és el seu radi del cercle inscrit del triangle.

s = (a + b + c)/2

r = $sqrt{frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$

Exemples de problemes

Problema 1: Trobeu el valor de cot θ si tan θ = 3/4.

Solució:

Donades les dades, tan θ = 3/4

Ho sabem, cot θ = 1/tan θ

⇒ cot θ = 1/(3/4) = 4/3

Així, cot θ = 4/3

Problema 2: Trobeu el valor de cot α, sin α = 1/3 i cos α = 2√2/3.

window.open javascript

Solució:

Donades les dades, sin α = 1/3 i cos α = 2√2/3

Ho sabem, cot α = cos α/sin α

⇒ cot α = (2√2/3) / (1/3) = 2√2

Per tant, el valor de cot α = 2√2

Problema 3: un nen situat a 15 m d'un arbre mira un angle de 30 graus a la part superior de l'arbre. Quina és l'alçada de l'arbre?

Solució:

Diagrama a partir de les dades donades

Donades dades, la distància entre el nen i el peu de l'arbre = 15 m i θ = 30°

Que l'alçada de l'arbre sigui 'h'

Tenim, bressol θ = costat adjacent/costat oposat

⇒ bressol 30° = 15/h

⇒ √3 = 15/h [ja que, bressol 30° = √3]

⇒ h = 15/√3

⇒ h = 5√3 m

Per tant, l'alçada de l'arbre = 5√3 m

Problema 4: Trobeu el valor de cot x si sec x = 6/5.

Solució:

Donades dades, sec x = 6/5

Tenim, sec ² x – tan ² x = 1

⇒ (6/5)²– tan²x = 1

⇒ 36/25 – tan²x = 1

⇒ tan²x = 36/25 – 1

⇒ tan²x = 11/25

⇒ tan x = √(11/25) = √11/5

Ho sabem, cot x = 1/tan x

⇒ bressol x = 1/(√11/5) = 5/√11

Per tant, cot x = 5/√11

Problema 5: Trobeu el valor de cot θ si cosec θ = 25/24.

Solució:

Donades les dades, cosec θ = 25/24

Ho sabem, cot θ = √(cosec ² – 1)

⇒ cot θ = √(25/24)²– 1

⇒ cot θ =√(625 – 576)/576 = √49/576

⇒ cot θ = 7/24

Per tant, el valor de cot θ = 7/24

Problema 6: Trobeu el valor de cot β si sin β = 5/13.

Solució:

Donades les dades, sin β = 5/13

Ho sabem, sense ² β + cos ² β = 1

⇒ (5/13)²+ cos²β = 1

⇒ cos²β = 1 – (5/13)²= 1 – 25/169 = 144/169

⇒ cos β = √144/169 = 12/13

cot β = cosβ/sin β

= (12/13) / (5/13)

⇒ bressol β = 12/5

Per tant, el valor de cot β = 12/5

Problema 7: utilitzant la llei de les cotangents, troba els valors de ∠A, ∠B i ∠C (en graus) si les longituds dels tres costats del triangle ABC són a = 4 cm, b= 3 cm i c= 3 cm.

Solució:

Donats, a = 4 cm, b = 3 cm i c = 3 cm

Triangle ABC

De la llei de cotangents,

$frac{cot(frac{A}{2})}{(s-a)} = frac{cot(frac{B}{2})}{(s-b)} = frac{cot(frac{ C}{2})}{(s-c)} = frac{1}{r}$

s = (a + b + c)/2

⇒ s = (3 + 4 + 3)/2 = 10/2 = 5
c programes

Ara, s – a = 5 – 4 = 1

⇒ s – b = 5 – 3 = 2

⇒ s – c = 5 – 3 = 2

r = $sqrt{frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$

⇒ r = √[(1)(2)(2)/5]

Inradi del triangle r = 2/√5

A partir de l'equació de llei de cotangents,

bressol (A/2)/1 = 1/(2/√5)

⇒ bressol (A/2) = √5/2 ⇒ A/2 = bressol^-1(√5/2)

⇒ (A/2) = 41,8° ⇒ ∠A = 83.6°

bressol(B/2)/2 = 1/(2/√5)

⇒ bressol (B/2)/2 = √5/2 ⇒ bressol (B/2) = √5

⇒ (B/2) = bressol^-1(√5) = 24.1° ⇒ ∠B = 48.2°

bressol (C/2)/2 = 1/(2/√5)

⇒ bressol(C/2) = √5 ⇒ (C/2) = bressol^-1(√5)

⇒ (C/2) = 24,1° ⇒ ∠C = 48.2°

Per tant, els angles del triangle ABC són ∠A = 83,6°, ∠B = 48,2° i ∠C = 48,2°.