Fórmula del vèrtex d'una paràbola: El punt on es tallen la paràbola i el seu eix de simetria s'anomena vèrtex d'una paràbola. S'utilitza per determinar les coordenades del punt de l'eix de simetria de la paràbola on la creua. Per a l'equació estàndard d'una paràbola y = ax2+ bx + c, el punt vèrtex és la coordenada (h, k). Si el coeficient de x2a l'equació és positiu (a> 0), llavors el vèrtex es troba a la part inferior, sinó a la part superior.
En aquest article, parlarem el vèrtex d'una paràbola, la seva fórmula, la derivació de la fórmula i els exemples resolts sobre ella.
Taula de contingut
- Propietats del vèrtex d'una paràbola
- Fórmula del vèrtex d'una paràbola
- Derivació del vèrtex d'una fórmula de paràbola
- Exemples de problemes sobre el vèrtex d'una fórmula de paràbola
Vèrtex d'una paràbola
Propietats del vèrtex d'una paràbola
- El vèrtex de cada paràbola és el seu punt d'inflexió.
- La derivada de la funció paràbola al seu vèrtex és sempre zero.
- Una paràbola que està oberta a la part superior o inferior té un màxim o un mínim al seu vèrtex.
- El vèrtex d'una paràbola oberta esquerra o dreta no és ni un màxim ni un mínim de la paràbola.
- El vèrtex és el punt d'intersecció entre la paràbola i el seu eix de simetria.
Fórmula del vèrtex d'una paràbola
Per a la forma vèrtex de la paràbola, y = a(x – h)2+ k, les coordenades (h, k) del vèrtex són,
(h, k) = (-b/2a, -D/4a)
on,
a és el coeficient de x2,
b és el coeficient de x,
D = b2– 4ac és el discriminant de la forma estàndard y = ax2+ bx + c.
Derivació del vèrtex d'una fórmula de paràbola
Suposem que tenim una paràbola amb una equació estàndard com, y = ax2+ bx + c.
Això es pot escriure com,
y – c = ax2+ bx
y – c = a (x2+ bx/a)
Sumar i restar b2/4a2a la RHS, obtenim
y – c = a (x2+ bx/a + b2/4a2– b2/4a2)
y – c = a ((x + b/2a)2– b2/4a2)
y – c = a (x + b/2a)2– b2/4a
y = a (x + b/2a)2– b2/4a + c
y = a (x + b/2a)2– (b2/4a – c)
y = a (x + b/2a)2– (b2– 4ac)/4a
Sabem, D = b2– 4ac, de manera que l'equació esdevé,
y = a (x + b/2a)2– D/4a
Comparant l'equació anterior amb la forma del vèrtex y = a(x – h)2+ k, obtenim
h = -b/2a i k = -D/4a
Això deriva la fórmula per a les coordenades del vèrtex d'una paràbola.
La gent també llegeix:
- Gràfic, propietats, exemples i equació de la paràbola
- Equació estàndard d'una paràbola amb exemples
Exemples de problemes sobre el vèrtex d'una fórmula de paràbola
Problema 1. Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola y = 2x 2 + 4x – 4.
Solució:
Tenim l'equació com, y = 2x2+ 4x – 4.
Aquí, a = 2, b = 4 i c = -4.
Ara, se sap que les coordenades del vèrtex estan donades per, (-b/2a, -D/4a) on D = b2– 4ac.
D = (4)2– 4 (2) (-4)
= 16 + 32
= 48
Així, x – coordenada del vèrtex = -4/2(2) = -4/4 = -1.
y – coordenada del vèrtex = -48/4(2) = -48/8 = -6
Per tant, el vèrtex de la paràbola és (-1, -6).
Problema 2. Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola y = 3x 2 + 5x - 2.
Solució:
Tenim l'equació com, y = 3x2+ 5x - 2.
Aquí, a = 3, b = 5 i c = -2.
Ara, se sap que les coordenades del vèrtex estan donades per, (-b/2a, -D/4a) on D = b2– 4ac.
D = (5)2– 4 (3) (-2)
= 25 + 24
= 49
Així, x – coordenada del vèrtex = -5/2(3) = -5/6
y – coordenada del vèrtex = -49/4(3) = -49/12
Per tant, el vèrtex de la paràbola és (-5/6, -49/12).
Problema 3. Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola y = 3x 2 – 6x + 1.
Solució:
Tenim l'equació com, y = 3x2– 6x + 1.
Aquí, a = 3, b = -6 i c = 1.
Ara, se sap que les coordenades del vèrtex estan donades per, (-b/2a, -D/4a) on D = b2– 4ac.
D = (-6)2– 4 (3) (1)
= 36 – 12
= 24
Per tant, x – coordenada del vèrtex = 6/2(3) = 6/6 = 1
y – coordenada del vèrtex = -24/4(3) = -24/12 = -2
Per tant, el vèrtex de la paràbola és (1, -2).
Problema 4. Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola y = 3x 2 + 8x – 8.
Solució:
Tenim l'equació com, y = 3x2+ 8x – 8.
Aquí, a = 3, b = 8 i c = -8.
Ara, se sap que les coordenades del vèrtex estan donades per, (-b/2a, -D/4a) on D = b2– 4ac.
D = (8)2– 4 (3) (-8)
= 64 + 96
= 160
Així, x – coordenada del vèrtex = -8/2(3) = -8/6 = -4/3
y – coordenada del vèrtex = -160/4(3) = -160/12 = -40/3
Per tant, el vèrtex de la paràbola és (-4/3, -40/3).
Problema 5. Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola y = 6x 2 + 12x + 4.
Solució:
Tenim l'equació com, y = 6x2+ 12x + 4.
Aquí, a = 6, b = 12 i c = 4.
Ara, se sap que les coordenades del vèrtex estan donades per, (-b/2a, -D/4a) on D = b2– 4ac.
D = (12)2– 4 (6) (4)
= 144 – 96
= 48
Així, x - coordenada del vèrtex = -12/2(6) = -12/12 = -1
y – coordenada del vèrtex = -48/4(6) = -48/24 = -2
Per tant, el vèrtex de la paràbola és (-1, -2).
Problema 6. Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola y = x 2 + 7x – 5.
Solució:
Tenim l'equació com, y = x2+ 7x – 5.
Aquí, a = 1, b = 7 i c = -5.
Ara, se sap que les coordenades del vèrtex estan donades per, (-b/2a, -D/4a) on D = b2– 4ac.
D = (7)2– 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Així, x – coordenada del vèrtex = -7/2(1) = -7/2
y – coordenada del vèrtex = -69/4(1) = -69/4
Per tant, el vèrtex de la paràbola és (-7/2, -69/4).
Problema 7. Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola y = 2x 2 + 10x – 3.
Solució:
Tenim l'equació com, y = x2 + 7x – 5.
Aquí, a = 1, b = 7 i c = -5.
Ara, se sap que les coordenades del vèrtex estan donades per, (-b/2a, -D/4a) on D = b2 – 4ac.
D = (7)2 – 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Així, x – coordenada del vèrtex = -7/2(1) = -7/2
y – coordenada del vèrtex = -69/4(1) = -69/4
Per tant, el vèrtex de la paràbola és (-7/2, -69/4).
Preguntes freqüents sobre la fórmula del vèrtex d'una paràbola
Què vols dir amb el vèrtex d'una paràbola?
El punt on es tallen la paràbola i el seu eix de simetria s'anomena vèrtex d'una paràbola. S'utilitza per determinar les coordenades del punt de l'eix de simetria de la paràbola on la creua.
Com es calcula el vèrtex d'una paràbola?
Per a l'equació estàndard d'una paràbola y = ax2+ bx + c, el punt vèrtex és la coordenada (h, k).
Escriu les propietats del vèrtex d'una paràbola.
1. El vèrtex de cada paràbola és el seu punt d'inflexió.
2. La derivada de la funció paràbola en el seu vèrtex és sempre zero.
3. Una paràbola que està oberta a la part superior o inferior té un màxim o un mínim en el seu vèrtex.
4. El vèrtex d'una paràbola oberta esquerra o dreta no és ni un màxim ni un mínim de la paràbola.
5. El vèrtex és el punt d'intersecció entre la paràbola i el seu eix de simetria.
Es dóna la forma vèrtex d'una paràbola. Com trobaríeu el seu vèrtex?
Per a l'equació estàndard d'una paràbola y = ax2+ bx + c, el punt vèrtex és la coordenada (h, k).
Què entens per focus d'una paràbola?
Una paràbola és el conjunt de tots els punts d'un pla que es troben a la mateixa distància d'un punt donat i d'una línia donada. El punt s'anomena focus de la paràbola.
Com representar una paràbola amb el seu vèrtex?
1. Troba les coordenades x i y.
t ff2. Escriu dos nombres més petits i dos més grans que el focus i marca'ls com a coordenades x.
3. Substitueix el valor de la funció per x i troba les coordenades y.
4.Identificar el focus i el vèrtex de la paràbola i representar-ne les coordenades en un paper gràfic.