Un cop tingueu la fórmula quadràtica i els fonaments bàsics de les equacions de segon grau, és el moment del següent nivell de la vostra relació amb les paràboles: aprendre sobre les seves forma de vèrtex .

Continueu llegint per obtenir més informació sobre la forma del vèrtex de la paràbola i com convertir una equació quadràtica de la forma estàndard a la forma del vèrtex.

Crèdit d'imatge destacada: SBA73 /Flickr

Per què és útil Vertex Form? Una visió general

El forma de vèrtex d'una equació és una manera alternativa d'escriure l'equació d'una paràbola.

Normalment, veureu una equació quadràtica escrita com a $ax^2+bx+c$, que, quan es representa gràficament, serà una paràbola. Des d'aquesta forma, és prou fàcil trobar les arrels de l'equació (on la paràbola toca l'eix $x$) posant l'equació igual a zero (o utilitzant la fórmula quadràtica).

Tanmateix, si necessiteu trobar el vèrtex d'una paràbola, la forma quadràtica estàndard és molt menys útil. En lloc d'això, voldreu convertir la vostra equació quadràtica en forma de vèrtex.

Què és la forma de vèrtex?

Mentre que la forma quadràtica estàndard és $ax^2+bx+c=y$, la forma vèrtex d'una equació quadràtica és $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

En ambdues formes, $y$ és la coordenada $y$, $x$ és la coordenada $x$ i $a$ és la constant que us indica si la paràbola està cap amunt ($+a$) o cap avall. ($-a$). (Penso en això com si la paràbola fos un bol de compota de poma; si hi ha un $+a$, puc afegir compota de poma al bol; si hi ha un $-a$, puc treure la puré de poma del bol.)

La diferència entre la forma estàndard d'una paràbola i la forma del vèrtex és que la forma del vèrtex de l'equació també us proporciona el vèrtex de la paràbola: $(h,k)$.

Per exemple, mireu aquesta bona paràbola, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Segons el gràfic, el vèrtex de la paràbola sembla una cosa semblant a (-1,5, -2), però és difícil saber exactament on és el vèrtex només a partir del gràfic. Afortunadament, a partir de l'equació $y=3(x+4/3)^2-2$, sabem que el vèrtex d'aquesta paràbola és $(-4/3,-2)$.

Per què el vèrtex és $(-4/3,-2)$ i no $(4/3,-2)$ (a part del gràfic, que deixa clares les coordenades $x$- i $y$-de? els vèrtex són negatius)?

Recordeu: a l'equació de forma de vèrtex, es resta $h$ i s'afegeix $k$ . Si teniu un $h$ negatiu o un $k$ negatiu, haureu d'assegurar-vos de restar el $h$ negatiu i afegir el $k$ negatiu.

En aquest cas, això significa:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

i per tant el vèrtex és $(-4/3,-2)$.

Sempre hauríeu de revisar els vostres signes positius i negatius quan escriviu una paràbola en forma de vèrtex , especialment si el vèrtex no té valors positius $x$ i $y$ (o per als vostres caps de quadrant, si no es troba a quadrant I ). Això és similar a la comprovació que faríeu si resolgués la fórmula quadràtica ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) i calia assegurar-vos que heu mantingut el vostre positiu i negatius directament per als vostres $a$s, $b$s i $c$s.

A continuació es mostra una taula amb més exemples d'algunes altres equacions de forma de vèrtex de paràbola, juntament amb els seus vèrtexs. Observeu en particular la diferència en la part $(x-h)^2$ de l'equació de la forma del vèrtex de la paràbola quan la coordenada $x$ del vèrtex és negativa.

Com convertir de forma quadràtica estàndard a forma de vèrtex

La majoria de les vegades, quan se us demana que convertiu equacions quadràtiques entre diferents formes, passareu de la forma estàndard ($ax^2+bx+c$) a la forma de vèrtex ($a(x-h)^2+k$ ).

El procés de conversió de l'equació de forma quadràtica estàndard a vèrtex implica fer un conjunt de passos anomenat completar el quadrat. (Per obtenir més informació sobre com completar el quadrat, assegureu-vos de llegir aquest article.)

Vegem un exemple de conversió d'una equació de forma estàndard a forma de vèrtex. Començarem amb l'equació $y=7x^2+42x-3/14$.

El primer que voldreu fer és moure la constant o el terme sense $x$ o $x^2$ al costat. En aquest cas, la nostra constant és $-3/14$. (Sabem que ho és negatiu $3/14$ perquè l'equació quadràtica estàndard és $ax^2+bx+c$, no $ax^2+bx-c$.)

Primer, agafarem aquest $-3/14$ i el mourem al costat esquerre de l'equació:

$i+3/14=7x^2+42x$

El següent pas és factoritzar el 7 (el valor $a$ de l'equació) del costat dret, així:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Genial! Aquesta equació s'assembla molt més a la forma del vèrtex, $y=a(x-h)^2+k$.

En aquest punt, potser estareu pensant: 'Tot el que he de fer ara és moure els 3/14$ de nou al costat dret de l'equació, oi?' Ai, no tan ràpid.

Si mireu part de l'equació dins dels parèntesis, notareu un problema: no té la forma de $(x-h)^2$. Hi ha massa $x$s! Així que encara no hem acabat.

El que hem de fer ara és la part més difícil: completar la plaça.

Fem una ullada més de prop a la part $x^2+6x$ de l'equació. Per tal de factoritzar $(x^2+6x)$ en alguna cosa semblant a $(x-h)^2$, haurem d'afegir una constant a l'interior dels parèntesis, i haurem de recordar per afegir aquesta constant també a l'altre costat de l'equació (ja que l'equació ha de mantenir-se equilibrada).

Per configurar-ho (i assegureu-vos que no ens oblidem d'afegir la constant a l'altre costat de l'equació), crearem un espai en blanc on la constant anirà a banda i banda de l'equació:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Tingueu en compte que al costat esquerre de l'equació, ens hem assegurat d'incloure el nostre valor $a$, 7, davant de l'espai on anirà la nostra constant; això és perquè no només estem afegint la constant al costat dret de l'equació, sinó que estem multiplicant la constant per allò que hi ha a l'exterior dels parèntesis. (Si el vostre valor de $a$ és 1, no us haureu de preocupar per això.)

El següent pas és completar el quadrat. En aquest cas, el quadrat que esteu completant és l'equació dins dels parèntesis; afegint una constant, l'estàs convertint en una equació que es pot escriure com un quadrat.

Per calcular aquesta nova constant, pren el valor al costat de $x$ (6, en aquest cas), divideix-lo per 2 i quadrat.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. La constant és 9.

La raó per la qual reduïm a la meitat el 6 i el quadrat és que sabem que en una equació de la forma $(x+p)(x+p)$ (que és al que estem intentant arribar), $px+px= 6x$, per tant $p=6/2$; per obtenir la constant $p^2$, hem de prendre $6/2$ (el nostre $p$) i quadrar-la.

Ara, substituïu l'espai en blanc a banda i banda de la nostra equació per la constant 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$i+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$i+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$i+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

A continuació, factoritzar l'equació dins dels parèntesis. Com que hem completat el quadrat, podreu factoritzar-lo com a $(x+{algun ombre})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Últim pas: moveu el valor que no és $y$ del costat esquerre de l'equació cap al costat dret:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Felicitats! Heu convertit correctament la vostra equació de forma quadràtica estàndard a vèrtex.

Ara, la majoria dels problemes no només us demanaran que convertiu les vostres equacions de forma estàndard a forma de vèrtex; voldran que doneu les coordenades del vèrtex de la paràbola.

Per evitar que enganyin els canvis de signe, escrivim l'equació general de forma de vèrtex directament a sobre de l'equació de forma de vèrtex que acabem de calcular:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

I llavors podem trobar fàcilment $h$ i $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

El vèrtex d'aquesta paràbola es troba a les coordenades $(-3,-{885/14})$.

Vaja, eren molts números remenats! Afortunadament, convertir equacions en l'altra direcció (de vèrtex a forma estàndard) és molt més senzill.

Com convertir de forma de vèrtex a forma estàndard

Convertir equacions de la seva forma de vèrtex a la forma quadràtica regular és un procés molt més senzill: tot el que heu de fer és multiplicar la forma de vèrtex.

Prenem la nostra equació d'exemple d'anterior, $y=3(x+4/3)^2-2$. Per convertir-ho en una forma estàndard, només expandim el costat dret de l'equació:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$i=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$i=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$i=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Heu convertit correctament $y=3(x+4/3)^2-2$ a la seva forma $ax^2+bx+c$.

Pràctica de la forma del vèrtex de la paràbola: preguntes de mostra

Per acabar aquesta exploració de la forma de vèrtex, tenim quatre exemples de problemes i explicacions. Mireu si podeu resoldre els problemes vosaltres mateixos abans de llegir les explicacions!

#1: Quina és la forma del vèrtex de l'equació quadràtica $x^2+ 2.6x+1.2$?

#2: Converteix l'equació $7y=91x^2-112$ en forma de vèrtex. Què és el vèrtex?

#3: Donada l'equació $y=2(x-3/2)^2-9$, quines són les coordenades $x$ d'on es talla aquesta equació amb l'eix $x$?

#4: Trobeu el vèrtex de la paràbola $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Pràctica de forma de vèrtex de paràbola: solucions

#1: Quina és la forma del vèrtex de l'equació quadràtica ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Comenceu separant la variable que no sigui $x$ a l'altre costat de l'equació:

$y-1.2=x^2+2.6x$

Com que el nostre $a$ (com a $ax^2+bx+c$) a l'equació original és igual a 1, no cal que el factoritzem del costat dret aquí (tot i que si voleu, podeu escriure $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

A continuació, divideix el coeficient $x$ (2.6) per 2 i quadrat, després suma el nombre resultant als dos costats de l'equació:

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

$y-1.2+1(1.69)=1(x^2+2.6x+1.69)$

Factoritzar el costat dret de l'equació dins dels parèntesis:

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

Finalment, combineu les constants del costat esquerre de l'equació i, a continuació, moveu-les al costat dret.

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

$y+0.49=(x+1.3)^2$

La nostra resposta és $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Converteix l'equació $7i y=91i x^2-112$ en forma de vèrtex. Què és el vèrtex?

Quan convertiu una equació en forma de vèrtex, voleu que $y$ tingui un coeficient d'1, de manera que el primer que farem és dividir els dos costats d'aquesta equació per 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

A continuació, porta la constant al costat esquerre de l'equació:

$y+16=13x^2$

Factoritza el coeficient del nombre $x^2$ (el $a$) del costat dret de l'equació

$y+16=13(x^2)$

Ara, normalment hauríeu de completar el quadrat del costat dret de l'equació dins dels parèntesis. Tanmateix, $x^2$ ja és un quadrat, de manera que no cal que feu res més que moure la constant des del costat esquerre de l'equació cap al costat dret:

$y=13(x^2)-16$.

Ara per trobar el vèrtex:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, per tant $h=0$

$+k=-16$, per tant $k=-16$

El vèrtex de la paràbola és a $(0, -16)$.

#3: Donada l'equació $i y=2(i x-3/2)^2-9$, quina és (són) la(s) coordenada(s) $i x$ d'on es talla aquesta equació amb la $i x$-eix?

Com que la pregunta us demana que trobeu les intercepcions $x$ de l'equació, el primer pas és establir $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Ara, hi ha un parell de maneres d'anar des d'aquí. La manera furtiva és utilitzar el fet que ja hi ha un quadrat escrit a l'equació de la forma del vèrtex al nostre avantatge.

Primer, mourem la constant cap al costat esquerre de l'equació:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

A continuació, dividirem els dos costats de l'equació per 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Ara, la part furtiva. Preneu l'arrel quadrada dels dos costats de l'equació:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±