En aquest article, parlarem de la diferència simètrica entre dos conjunts. Aquí també parlarem de les propietats de la diferència simètrica entre dos conjunts.
Espero que aquest article us sigui útil per entendre la diferència simètrica entre dos conjunts.
Què és una diferència simètrica?
Una altra variant de diferència és la diferència simètrica. Suposem que hi ha dos conjunts, A i B. La diferència simètrica entre tots dos conjunts A i B és el conjunt que conté els elements que estan presents en tots dos conjunts excepte els elements comuns.
La diferència simètrica entre dos conjunts també s'anomena com unió disjuntiva . La diferència simètrica entre dos conjunts és un conjunt d'elements que es troben als dos conjunts però no a la seva intersecció. La diferència simètrica entre dos conjunts A i B es representa per A D B o A ? B .
Ho podem entendre amb exemples.
Exemple 1 Suposem que hi ha dos conjunts amb alguns elements.
Conjunt A = {1, 2, 3, 4, 5}
Conjunt B = {3, 5}
Per tant, la diferència simètrica entre els conjunts donats A i B és {1, 2, 4}
O, ho podem dir A Δ B = {1, 2, 4} .
Exemple 2 Suposem que hi ha dos conjunts amb alguns elements.
Conjunt A = {a, b, c, k, m, n}
Conjunt B = {c, n}
Per tant, la diferència simètrica entre els conjunts donats A i B és {a, b, k, m}
O, ho podem dir A Δ B = {a, b, k, m} .
Al diagrama de Venn següent, podeu veure la diferència simètrica entre els dos conjunts.
La part ombrejada amb el color de la pell del diagrama de Venn anterior és la diferència simètrica entre els conjunts donats, és a dir, A D B .
Vegem algunes de les propietats de la diferència simètrica entre dos conjunts.
Propietats
Hi ha algunes de les propietats de la diferència simètrica que s'enumeren a continuació;
- La diferència simètrica es pot representar com la unió dels dos complements relatius, és a dir,
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - La diferència simètrica entre dos conjunts també es pot expressar com la unió de dos conjunts menys la intersecció entre ells -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - La diferència simètrica és commutativa i associativa -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - El conjunt buit és neutre (en matemàtiques, es diu que un element neutre és un tipus especial d'element que, quan es combina amb qualsevol element del conjunt per realitzar una operació binària, deixa l'element sense canvis. També es coneix com a Element d'identitat ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Si el conjunt A és igual al conjunt B, aleshores la diferència simètrica entre ambdós conjunts és -
A Δ B = ∅ {quan A = B}
'Diferència simètrica entre dos conjunts' v/s 'Diferència entre dos conjunts'
Diferència entre dos conjunts
La diferència entre dos conjunts A i B és un conjunt de tots aquells elements que pertanyen a A però no pertanyen a B i es denota per A-B .
Exemple: Sigui A = {1, 2, 3, 4}
i B = {3, 4, 5, 6}
aleshores A - B = {3, 4} i B - A = {5, 6}
Diferència simètrica entre dos conjunts
La diferència simètrica entre dos conjunts, A i B, és el conjunt que conté tots els elements que estan en A o B però no en tots dos. Està representat per A D B o A ? B .
Exemple: Sigui A = {1, 2, 3, 4}
i B = {3, 4, 5, 6}
aleshores A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Ara, vegem alguns exemples per entendre més clarament la diferència simètrica entre dos conjunts.
Pregunta 1 - Suposem que teniu els conjunts A = {10, 15, 17, 19, 20} i B = {15, 16, 18}. Esbrineu la diferència entre els dos conjunts A i B i també esbrineu la diferència simètrica entre ells.
Solució - Donat,
java cast char a cadena
A = {10, 15, 17, 19, 20}
i B = {15, 16, 18}
La diferència entre ambdós conjunts és -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
La diferència simètrica entre ambdós conjunts és -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Pregunta 2 - Suposem que teniu els conjunts A = {2, 4, 6, 8} i B = {2, 5, 7, 8}. Esbrina la diferència simètrica B Δ A. També dibuixa el diagrama de Venn per representar la diferència simètrica entre ambdós conjunts donats.
Solució - Donats, A = {2, 4, 6, 8} i B = {2, 5, 7, 8}
Sabem que, B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Intentem resoldre la pregunta pas a pas. Per tant, el primer pas és trobar la unió del conjunt A i del conjunt B.
Per tant, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Després d'això, hem de calcular la intersecció entre tots dos conjunts.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Ara, hem de trobar la diferència entre la unió i la intersecció dels conjunts A i B, tal com s'indica a la fórmula,
Així, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Per tant, B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Que serà igual a A Δ B, com s'ha dit anteriorment, 'La diferència simètrica és commutativa'. Ara, mostrarem la diferència simètrica entre ambdós conjunts mitjançant el diagrama de Venn.
En el diagrama de Venn, primer, dibuixarem dos cercles que representen els conjunts A i B. Tal com s'ha calculat anteriorment, la intersecció entre tots dos conjunts és {2, 8}, de manera que hem enumerat aquests elements a la regió d'intersecció. Aleshores, enumerem els elements restants en els seus respectius cercles de conjunt, és a dir, {4, 6} al conjunt A i {5, 7} al conjunt B. Després d'ordenar els elements, el diagrama de Venn serà -
Quan observem el diagrama de Venn anterior, hi ha un conjunt universal U. Els dos conjunts A i B són el subconjunt del conjunt universal U. Els elements {2, 8} són els elements que s'intersequen, de manera que es representen a la regió de la intersecció. La regió amb color taronja clar és la unió de conjunts excepte la regió que s'interseca. Aquesta regió és la diferència simètrica entre els dos conjunts A i B, i es representarà com -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Pregunta 3 - Suposem que teniu els conjunts A = {5, 6, 8, 9, 10} i B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Demostreu que la diferència simètrica és commutativa utilitzant els conjunts donats.
Solució - Donats, A = {5, 6, 8, 9, 10} i B = {2, 7, 8, 9, 10}
Provar: A Δ B = B Δ A
Agafeu LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Així, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Ara, agafeu RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Així, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Per tant, A Δ B = B Δ A
Per tant, la diferència simètrica és commutativa.