logo

TechCodeview

Triangles semblants

Triangles semblants són triangles amb la mateixa forma però poden tenir mides variables. Els triangles semblants tenen costats corresponents en proporció entre si i angles corresponents iguals entre si. Els triangles similars són diferents dels triangles congruents. Dues figures congruents sempre són semblants, però dues figures semblants no necessiten ser congruents.

Dos triangles es consideren semblants quan els seus angles corresponents coincideixen i els seus costats són proporcionals. Això vol dir que triangles similars tenen la mateixa forma, encara que les seves mides poden diferir. D'altra banda, els triangles es defineixen com a congruents quan no només comparteixen la mateixa forma sinó que també tenen costats corresponents que són idèntics en longitud.



Ara, aprenem-ne més triangles similars i les seves propietats amb exemples resolts i altres en detall en aquest article.

Taula de contingut

Què són semblants Triangles?

Els triangles similars són triangles que s'assemblen entre si, però les seves mides poden ser diferents. Els objectes semblants tenen la mateixa forma però diferents mides. Això implica que formes similars, quan s'amplien o desamplien, s'haurien de sobreposar les unes a les altres. Aquesta propietat de formes semblants es coneix com Similitud .



Hi ha tres teoremes de triangles semblants:

  • AA (o AAA) o Teorema de semblança angle-angle
  • SAS o Teorema de semblança lateral-angle-lateral
  • SSS o Teorema de semblança lateral-lateral

Definició de triangles semblants

Dos triangles s'anomenen triangles semblants si els seus angles corresponents són iguals i els costats corresponents tenen la mateixa proporció. Els angles corresponents de dos triangles semblants han de ser iguals. Els triangles similars poden tenir diferents longituds respectives dels costats del triangle, però la relació de longituds dels costats corresponents ha de ser la mateixa.

Quan dos triangles són semblants implica que:



algorisme de programació round robin
  • Tots els parells d'angles corresponents dels triangles són iguals.
  • Tots els parells de costats corresponents del triangle són proporcionals.

El símbol ~ s'utilitza per representar la semblança entre triangles semblants. Així, quan dos triangles són semblants, ho escrivim com a △ABC ∼ △DEF.

Exemples de triangles semblants

Diversos exemples de triangles semblants són:

  • Si prenem dos triangles que tenen costats en la raó, llavors són triangles semblants.
  • Els pals i les seves ombres representen triangles semblants.

Els triangles que es mostren a la imatge següent són similars i els representem com, △ABC ∼ △PQR.

Triangles semblants

Teorema bàsic de proporcionalitat (teorema de Thales)

El teorema bàsic de proporcionalitat, també conegut com a teorema de Thales, és un concepte fonamental en geometria que es relaciona amb la semblança dels triangles. Afirma que si es dibuixa una recta paral·lela a un costat d'un triangle, divideix els altres dos costats proporcionalment. En termes més senzills, si una recta paral·lela a un costat d'un triangle talla els altres dos costats, divideix aquests costats proporcionalment.

Matemàticament, si es dibuixa una recta DE paral·lela a un costat del triangle ABC, tallant els costats AB i AC en els punts D i E respectivament, aleshores segons el teorema bàsic de proporcionalitat:

BD/DA = CE/HER

Aquest teorema és conseqüència de la semblança dels triangles formats per la recta paral·lela i els costats del triangle original. Concretament, els triangles ADE i ABC, així com els triangles ADC i AEB, són similars perquè els angles corresponents són iguals. En conseqüència, les proporcions dels costats corresponents en triangles similars són iguals, donant lloc a la relació de proporcionalitat descrita pel teorema bàsic de proporcionalitat.

El teorema bàsic de proporcionalitat s'utilitza àmpliament en geometria i trigonometria per resoldre diversos problemes que impliquen rectes i triangles paral·lels. Serveix com a principi fonamental per entendre les propietats de triangles similars i les relacions entre els seus costats i angles corresponents. A més, constitueix la base per a conceptes més avançats en geometria, com ara el teorema de les línies paral·leles i aplicacions en diverses construccions i demostracions geomètriques.

Criteris de triangles semblants

Si dos triangles són semblants, han de complir una de les regles següents:

  • Dos parells d'angles corresponents són iguals. (Regla AA)
  • Tres parells de costats corresponents són proporcionals. (Regla SSS)
  • Dos parells de costats corresponents són proporcionals i els angles corresponents entre ells són iguals. (Regla SAS)

Llegeix amb detall: Criteris per a triangles semblants

Fórmula de triangles semblants

En l'últim apartat, hem estudiat dues condicions amb les quals podem comprovar si els triangles donats són semblants o no. Les condicions són quan dos triangles són semblants; els seus angles corresponents són iguals, o els costats corresponents estan en proporció. Utilitzant qualsevol de les condicions, podem demostrar que △PQR i △XYZ són similars a partir del següent conjunt de fórmules triangulars similars.

Fórmula per a triangles similars en geometria

A △PQR i △XYZ si,

  1. ∠P = ∠X , ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
  2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Els dos triangles anteriors són similars, és a dir, △PQR ∼ △XYZ.

Regles de triangles similars

Els teoremes de semblança ens ajuden a trobar si els dos triangles són semblants o no. Quan no tenim la mesura dels angles o els costats dels triangles, fem servir els teoremes de semblança.

Hi ha tres tipus principals de regles de semblança, tal com es descriu a continuació:

  • AA (o AAA) o Teorema de semblança angle-angle
  • SAS o Teorema de semblança lateral-angle-lateral
  • SSS o Teorema de semblança lateral-lateral

Angle-Angle (AA) o Teorema de semblança AAA

El criteri de semblança AA estableix que si dos angles qualsevol d'un triangle són iguals respectivament a dos angles qualsevol d'un altre triangle, llavors han de ser triangles semblants. La regla de semblança AA s'aplica fàcilment quan només coneixem la mesura dels angles i no tenim ni idea de la longitud dels costats del triangle.

A la imatge que es mostra a continuació, si se sap que ∠B = ∠G, i ∠C = ∠F:

I podem dir que pel criteri de semblança AA, △ABC i △EGF són similars o △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF i ∠A = ∠E.

Side-Angle-Side o Teorema de semblança SAS

Segons el teorema de semblança SAS, si dos costats del primer triangle estan en proporció exacta als dos costats del segon triangle juntament amb l'angle format per aquests dos costats dels triangles individuals són iguals, aleshores han de ser triangles semblants. Aquesta regla s'aplica generalment quan només coneixem la mesura de dos costats i l'angle format entre aquests dos costats en els dos triangles respectivament.

A la imatge següent, si se sap que AB/DE = AC/DF, i ∠A = ∠D

I podem dir que pel criteri de semblança SAS, △ABC i △DEF són semblants o △ABC ∼ △DEF.

Teorema de semblança Side-Side-Side o SSS

Segons el teorema de semblança SSS, dos triangles seran semblants entre si si la relació corresponent de tots els costats dels dos triangles són iguals. Aquest criteri s'utilitza habitualment quan només tenim la mesura dels costats del triangle i tenim menys informació sobre els angles del triangle.

java cast char a cadena

A la imatge que es mostra a continuació, si se sap que PQ/ED = PR/EF = QR/DF

I podem dir que pel criteri de semblança SSS, △PQR i △EDF són similars o △PQR ∼ △EDF.

Propietats de triangles semblants

Els triangles similars tenen diverses propietats que s'utilitzen àmpliament per resoldre diversos problemes geomètrics. Algunes de les propietats comunes d'un triangle semblant:

  • La forma dels triangles semblants és fixa, però les seves mides poden ser diferents.
  • Els angles corresponents de triangles semblants són iguals.
  • Els costats corresponents de triangles semblants tenen proporcions comunes.
  • La relació de l'àrea de triangles semblants és igual al quadrat de la relació del costat corresponent.

Com trobar triangles semblants?

Dos triangles donats es poden demostrar com triangles similars utilitzant els teoremes anteriors. Podem seguir els passos que s'indiquen a continuació per comprovar si els triangles donats són semblants o no:

Pas 1: Anoteu les dimensions donades dels triangles (costs corresponents o angles corresponents).

Pas 2: Comproveu si aquestes dimensions segueixen alguna de les condicions per a teoremes de triangles similars (AA, SSS, SAS).

Pas 3 : Els triangles donats, si compleixen algun dels teoremes de semblança, es poden representar utilitzant ∼ per indicar semblança.

Això es pot entendre millor amb l'ajuda de l'exemple següent:

Exemple: comproveu si △ABC i △PQR són triangles semblants o no utilitzant les dades donades: ∠A = 65°, ∠B = 70° i ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Utilitzant la mesura d'angles donada, no podem concloure si els triangles donats segueixen el criteri de semblança AA o no. Trobem la mesura del tercer angle i avaluem-la.

Sabem, utilitzant la propietat de la suma d'angles d'un triangle, ∠C en △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

De la mateixa manera, ∠Q en △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Per tant, podem concloure que en △ABC i △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P i ∠C = R

△ABC ～ △QPR

Àrea de triangles semblants – Teorema

El teorema de l'àrea de triangles semblants estableix que per a dos triangles semblants la relació de l'àrea dels triangles és proporcional al quadrat de la relació dels seus costats corresponents. Suposem que ens donen dos triangles semblants, ΔABC i ΔPQR

Segons el teorema del triangle similar:

(Àrea de ΔABC)/(Àrea de ΔPQR) = (AB/PQ) 2 = (BC/QR) 2 = (CA/RP) 2

Diferència entre triangles similars i triangles congruents

Els triangles similars i els triangles congruents són dos tipus de triangles que s'utilitzen àmpliament en geometria per resoldre diversos problemes. Cada tipus de triangle té propietats diferents i la diferència bàsica entre elles es discuteix a la taula següent.

Triangles semblants

Triangles congruents
Els triangles semblants són triangles que tenen els angles corresponents iguals. Els triangles congruents són triangles que tenen els angles corresponents iguals i els costats corresponents iguals.
Els triangles similars tenen la mateixa forma, però les seves mides poden ser o no iguals Els triangles congruents tenen la mateixa mida i la mateixa àrea.
Els triangles similars no són imatges superposades entre si fins que no s'amplien o desamplien. Els triangles congruents són imatges superposades entre si si es disposen en l'orientació adequada.
Triangles similars es representen amb el ‘~’ símbol. Els triangles congruents es representen amb ' ≅ ’ símbol.
Els seus costats corresponents estan en la proporció. Els seus costats corresponents són iguals.

Aplicacions de triangles semblants

Diverses aplicacions del triangle similar que veiem a la vida real són,

  • L'ombra i l'alçada de diversos objectes es calculen utilitzant el concepte de triangles similars.
  • Map Scaling utilitza el concepte de triangle similar.
  • Els dispositius fotogràfics utilitzen les propietats similars del triangle per capturar diverses imatges.
  • Model Making utilitza el concepte de triangles semblants.
  • La navegació i la trigonometria també utilitza l'enfocament de triangle similar per resoldre diversos problemes, etc.

La gent també veu:

Congruència de triangles

Àrea del triangle

Triangle rectangle

Perímetre del triangle

Notes importants sobre triangles similars:

  • La relació de les àrees de triangles semblants és igual al quadrat de la relació dels seus costats corresponents.
  • Tots els triangles congruents són semblants, però tots els triangles semblants poden no ser necessàriament congruents.
  • Aquest ' ~ El símbol s'utilitza per indicar triangles semblants.

Preguntes resoltes sobre triangles semblants

Pregunta 1: A la figura 1 donada, DE || BC. Si AD = 2,5 cm, DB = 3 cm i AE = 3,75 cm. Trobar AC?

Solució:

In △ABC, DE || BC

AD/DB = AE/EC (pel teorema de Thales)

2,5/3 = 3,75/x, on EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

Per tant, AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Pregunta 2: A la figura 1 DE || BC. Si AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm i AC = 9 cm. Trobar AE?

Solució:

Sigui AE = x cm.

In △ABC, DE || BC

Segons el teorema de Tales tenim,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Per tant, AE = 2,25 cm

Pregunta 3: Demostreu que una línia traçada pel punt mitjà d'un costat d'un triangle (figura 1) paral·lela a un altre costat divideix el tercer costat en dues parts.

algorisme de 'prim'

Solució:

Donat un ΔΑΒC en què D és el punt mitjà de AB i DE || BC, reunió AC a E.

DEMOSTRAR AE = EC.

Prova: Des de DE || BC, pel teorema de Tales, tenim:

AE/AD = EC/DB = 1 (AD = DB, donat)

AE/EC = 1

AE = EC

Pregunta 4: A la figura 2 donada, AD/DB = AE/EC i ∠ADE = ∠ACB. Demostreu que ABC és un triangle isòsceles.

Solució:

Tenim AD/DB = AE/EC DE || BC [per la inversa del teorema de Tales]

∠ADE = ∠ABC (∠s corresponents)

Però, ∠ADE = ∠ACB (donat).

Per tant, ∠ABC = ∠ACB.

Així, AB = AC [costs oposats a angles iguals].

Per tant, △ABC és un triangle isòsceles.

Pregunta 5: Si D i E són punts dels costats AB i AC respectivament de △ABC (figura 2) de manera que AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm i AE = 1,8 cm, mostreu que DE | | BC.

Solució:

Donats, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm i AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 i AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Per tant, per recíproca del teorema de Thales, DE || BC.

Pregunta 6: Demostreu que el segment de línia que uneix els punts mitjans de dos costats qualsevol d'un triangle (figura 2) és paral·lel al tercer costat.

Solució:

A △ABC en què D i E són els punts mitjans de AB i AC respectivament.

Com que D i E són els punts mitjans de AB i AC respectivament, tenim:

AD = DB i AE = EC.

AD/DB = AE/EC (cadascun és igual a 1)

Per tant, per recíproca del teorema de Thales, DE || BC

Enllaços importants relacionats amb les matemàtiques:

  • Què és l'interès simple
  • Fórmula de pèrdua
  • Propietat de suma d'angles
  • Divisibilitat per 11
  • Gràfic de barres
  • Usos de la trigonometria
  • Llista de nombres naturals
  • Model de Pitàgores
  • Projecte de matemàtiques per a la classe 9

Preguntes pràctiques Triangles semblants

Q1. En dos triangles semblants △ABC i △ADE, si DE || BC i AD = 3 cm, AB = 8 cm i AC = 6 cm. Troba AE.

P2. En dos triangles semblants △ABC i △PQR, si QR || BC i PQ = 2 cm, AB = 12 cm i AC = 9 cm. Trobeu PR.

P3. En dos triangles similars ΔABC i ΔAPQ, la longitud dels costats es dóna com AP = 9 cm, PB = 12 cm i BC = 24 cm. Trobeu la relació de les àrees de ΔABC i ΔAPQ.

P4. En dos triangles semblants ΔABC i ΔAPQ, la longitud dels costats es dóna com AP = 3 cm, PB = 4 cm i BC = 8 cm. Trobeu la relació de les àrees de ΔABC i ΔAPQ.

Resum - Triangles semblants

Els triangles similars són figures geomètriques que comparteixen la mateixa forma però difereixen en grandària, caracteritzades per angles corresponents iguals i costats corresponents proporcionals. Teoremes clau com Angle-Angle (AA), Side-Angle-Side (SAS) i Side-Side-Side (SSS) estableixen criteris per a la semblança del triangle.

Aquests principis són fonamentals en camps com l'enginyeria, els gràfics per ordinador i l'arquitectura a causa de la seva capacitat per mantenir la integritat de la forma a escala. El teorema de Thales, o el teorema bàsic de proporcionalitat, il·lustra com una recta paral·lela a un costat d'un triangle divideix els altres dos proporcionalment, demostrant encara més el concepte de semblança en triangles.

Els triangles similars són crucials per a aplicacions pràctiques que van des del càlcul d'altures i distàncies en la navegació fins a l'optimització de dissenys en tecnologia i construcció, demostrant la seva rellevància d'ampli abast tant en contextos acadèmics com en el món real.

Triangles similars - Preguntes freqüents

Què són els triangles similars classe 10?

Els triangles similars són els triangles que donen tots els angles iguals i els seus costats tenen una proporció comuna. Tenen una forma semblant però no una àrea semblant.

Què són les fórmules de triangles semblants?

Les fórmules de triangles similars són les fórmules que ens diuen si dos triangles són semblants o no. Per a dos triangles △ABC i △XYZ, la fórmula de triangles semblants és:

  • ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y i ∠C = ∠Z
  • AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Quin símbol s'utilitza per representar triangles semblants?

Els triangles similars es representen amb el símbol '~'. Si dos triangles △ABC i △XYZ són semblants, els representem com, △ABC ~ △XYZ, es llegeix com un triangle ABC similar al triangle XYZ.

Què són 3 teoremes de triangles semblants?

Podem demostrar fàcilment que dos triangles són semblants utilitzant el teorema de tres triangles que són,

diferenciació parcial en làtex
  • AA (o AAA) o Teorema de semblança angle-angle
  • SAS o Teorema de semblança lateral-angle-lateral
  • SSS o Teorema de semblança lateral-lateral

Quines són les propietats dels triangles semblants?

Les propietats importants d'un triangle semblant són:

  • Els triangles similars tenen formes fixes, però les seves mides poden ser diferents.
  • Els angles corresponents són iguals en un triangle semblant.
  • Els costats corresponents tenen proporcions comunes en un triangle similar.

Com saber si dos triangles són semblants?

Si tots els angles d'un triangle són iguals, podem dir fàcilment que els triangles són semblants.

Quins triangles són sempre semblants?

El triangle que sempre és semblant és un triangle equilàter. Com que tots els angles dels triangles equilàters són sempre de 60 graus, qualsevol dels dos triangles equilàters són sempre semblants.

Què és l'àrea de triangles similars?

La relació de l'àrea de dos triangles semblants és sempre igual a la relació de quadrats dels seus costats. Per a dos triangles △ABC i △XYZ, podem dir que,

  • àrea △ABC / àrea △XYZ = (AB / XY)2

Què és un criteri de triangular similar?

Els criteris de triangles similars són els criteris en què podem declarar tres triangles com a triangles semblants i aquests tres criteris són,

  • Criteris AAA (Angle-Angle-Criteri)
  • Criteris SAS (criteri lateral-angle-lateral)
  • Criteris SSS (criteris laterals)

Qui és el pare de triangles semblants?

Euclides, l'antic matemàtic grec conegut sovint com el pare de la geometria, va proporcionar principis fonamentals per entendre triangles similars a la seva obra Elements.

Els triangles semblants són proporcionals?

Sí, triangles semblants són proporcionals. Això vol dir que els costats corresponents de triangles semblants estan en proporció, la qual cosa implica que la relació dels costats corresponents de triangles semblants es manté constant.

Quins triangles són sempre semblants?

Els triangles que tenen els mateixos tres angles són sempre semblants. Aquesta és una propietat fonamental coneguda com a criteri de semblança angle-angle (AA).

Tots els triangles rectangles són semblants?

No, no tots els triangles rectangles són semblants. Mentre que els triangles rectangles amb els mateixos angles aguts són similars, la longitud de la hipotenusa i la relació de longituds dels costats poden diferir, donant lloc a la no semblança entre triangles rectangles.

Quina és la relació de dos triangles semblants?

La relació de dos costats corresponents qualsevol en triangles semblants es manté constant. Això vol dir que si agafeu els costats corresponents de triangles similars i formeu una relació, el resultat sempre serà el mateix, independentment de les longituds de costat específiques escollides.