Quantitats escalars i vectorials s'utilitzen per descriure el moviment d'un objecte. Quantitats escalars es defineixen com a magnituds físiques que només tenen magnitud o mida. Per exemple, distància, velocitat, massa, densitat, etc.
Malgrat això, quantitats vectorials són aquelles magnituds físiques que tenen tant magnitud com direcció com el desplaçament, la velocitat, l'acceleració, la força, etc. Cal tenir en compte que quan una magnitud vectorial canvia la seva magnitud i la seva direcció també canvien de manera similar, quan canvia una magnitud escalar, només canvia la seva magnitud.
Taula de contingut
- Definició de quantitats escalars
- Quantitats vectorials
- Notació vectorial
- Quantitat escalar i vectorial
- Igualtat de Vectors
- Multiplicació de vectors amb escalar
- Addició de Vectors
- Llei del triangle de l'addició vectorial
- Llei del paral·lelogram de l'addició vectorial
- Exemples sobre escalar i vector
Definició de quantitats escalars
Una magnitud escalar és una magnitud física que només té magnitud i no té direcció.
En altres paraules, una quantitat escalar es descriu només per un nombre i una unitat, i no té cap direcció o vector associat.
Exemples de magnituds escalars
Alguns exemples de magnituds escalars inclouen temperatura, massa, temps, distància, velocitat i energia. Aquestes magnituds es poden mesurar amb instruments com termòmetres, bàscules, cronòmetres, regles, velocímetres i wattmetres.
A part d'aquests, alguns escalars més són:
- Àrea
- Volum
- Densitat
- Temperatura
- Càrrega elèctrica
- Força gravitatòria
Les quantitats escalars es poden sumar, restar, multiplicar i dividir mitjançant operacions matemàtiques estàndard. Per exemple, si un cotxe recorre 100 quilòmetres en 2 hores, la seva velocitat mitjana es pot calcular com a 50 quilòmetres per hora (km/h) dividint la distància recorreguda pel temps trigat.
Les magnituds escalars sovint es contrasten amb les magnituds vectorials, que tenen magnitud i direcció, com ara velocitat, acceleració, força i desplaçament. Les magnituds vectorials normalment es representen gràficament mitjançant fletxes per mostrar la seva direcció i magnitud, mentre que les magnituds escalars es representen utilitzant només un nombre i una unitat.
Quantitats vectorials
Una magnitud vectorial és una magnitud física que té magnitud i direcció.
En altres paraules, una magnitud vectorial es descriu per un nombre, una unitat i una direcció.
Per exemple, si un cotxe viatja a una velocitat de 50 km/h cap a l'est, la seva velocitat es pot representar com un vector amb una fletxa apuntant cap a la dreta (est) i una longitud de 50 km/h.
Exemples de quantitats vectorials
Exemples de magnituds vectorials inclouen velocitat, acceleració, força, desplaçament i moment. Aquestes magnituds es representen habitualment gràficament mitjançant fletxes per mostrar tant la seva direcció com la seva magnitud.
Hi ha innombrables exemples de magnituds vectorials a la vida diària. La llista d'alguns d'ells es troba a continuació!
- Força
- Pressió
- Empenta
- Camp elèctric
- Polarització
- Pes
Les quantitats vectorials es poden sumar, restar, multiplicar i dividir mitjançant àlgebra vectorial. Per exemple, si s'aplica una força de 10 N a un objecte en direcció nord i una força de 5 N en direcció est, la força resultant es pot calcular utilitzant l'addició vectorial com una força de √125 N cap a la direcció nord-est.
Les magnituds vectorials s'utilitzen en molts camps de la ciència i l'enginyeria, com ara la mecànica, l'electromagnetisme, la dinàmica de fluids i la mecànica quàntica. Són essencials per descriure el comportament dels sistemes físics i fer prediccions sobre els seus estats futurs.
Notació vectorial
La notació vectorial és una manera o notació utilitzada per representar una magnitud que és un vector, mitjançant una fletxa (⇢) a sobre del seu símbol, tal com es mostra a continuació:
Quantitat escalar i vectorial
Les diferències entre les quantitats escalars i vectorials es mostren a la taula afegida a continuació,
Diferència entre la quantitat escalar i vectorial | |
|---|---|
Escalar | Vector |
| Les magnituds escalars només tenen magnitud o mida. | Les magnituds vectorials tenen magnitud i direcció. |
| Se sap que cada escalar només existeix en una dimensió. | Les magnituds vectorials poden existir en una, dues o tres dimensions. |
| Sempre que hi ha un canvi en una magnitud escalar, també pot correspondre a un canvi en la seva magnitud. | Qualsevol canvi en una magnitud vectorial pot correspondre a un canvi en la seva magnitud o direcció o ambdues. |
| Aquestes quantitats no es poden resoldre en els seus components. | Aquestes magnituds es poden resoldre en els seus components, utilitzant el sinus o el cosinus de l'angle adjacent. |
| Qualsevol procés matemàtic que impliqui més de dues quantitats escalars només donarà escalars. | Les operacions matemàtiques sobre dos o més vectors poden proporcionar com a resultat un escalar o un vector. Per exemple, el producte escalar de dos vectors només produeix un escalar, mentre que el producte creuat, la suma o la resta de dos vectors dóna un vector. |
Alguns exemples de magnituds escalars són:
| Alguns exemples de magnituds vectorials són:
|
Igualtat de Vectors
Es considera que dos vectors són iguals quan tenen la mateixa magnitud i la mateixa direcció. La figura següent mostra dos vectors que són iguals, observeu que aquests vectors són paral·lels entre ells i tenen la mateixa longitud. La segona part de la figura mostra dos vectors desiguals, que encara que tenen la mateixa magnitud, no són iguals perquè tenen direccions diferents.
Multiplicació de vectors amb escalar
La multiplicació d'un vector a amb un escalar k constant dóna un vector la direcció del qual és la mateixa però la magnitud es modifica per un factor de k. La figura mostra el vector després i abans de multiplicar-lo per la constant k. En termes matemàtics, això es pot reescriure com,
|kvec{v}| = k|vec{v}| si k> 1, la magnitud del vector augmenta mentre que disminueix quan la k <1.
Addició de Vectors
Els vectors no es poden afegir per regles algebraiques habituals. En sumar dos vectors, cal tenir en compte la magnitud i la direcció dels vectors.
Llei del triangle s'utilitza per sumar dos vectors, el diagrama següent mostra dos vectors a i b i la resultant es calcula després de la seva suma. L'addició de vectors segueix la propietat commutativa, això vol dir que el vector resultant és independent de l'ordre en què s'afegeixen els dos vectors.
vec{a} + vec{b} = vec{c}
vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a} – (Propietat commutativa)
Llei del triangle de l'addició vectorial
Considereu els vectors indicats a la figura anterior. La recta PQ representa el vector p, i QR representa el vector q. La recta QR representa el vector resultant. La direcció de AC és de A a C.
La línia AC representa,
vec{p} + vec{q} La magnitud del vector resultant ve donada per,
sqrtcos( heta) θ representa l'angle entre els dos vectors. Sigui φ l'angle format pel vector resultant amb el vector p.
tan (phi) = dfrac{qsin heta}{p + qcos heta} La fórmula anterior es coneix com la Llei del Triangle de l'addició vectorial.
Llei del paral·lelogram de l'addició vectorial
Aquesta llei és només una altra manera d'entendre l'addició vectorial. Aquesta llei estableix que si dos vectors que actuen sobre el mateix punt es representen pels costats del paral·lelogram, aleshores el vector resultant d'aquests vectors es representa amb les diagonals dels paral·lelograms.
La figura següent mostra aquests dos vectors representats al costat del paral·lelogram.
A més, comproveu:
- Àlgebra vectorial
- Punt i producte creuat de vectors
Exemples sobre escalar i vector
Exemple 1: Trobeu la magnitud de v = i + 4j.
Solució:
|en| =
sqrt{a^2 + b^2} a = 1, b = 4
|en| =
sqrt{1^2 + 4^2} |en| =
sqrt{1^2 + 4^2} |en| = √17
Exemple 2: Un vector ve donat per, v = i + 4j. Trobeu la magnitud del vector quan s'escala amb una constant de 5.
Solució:
|en| =
sqrt{a^2 + b^2} 5|v| = |5v|
a = 1, b = 4
|5v|
|5(i + 4j)|
|5i + 20j|
|en| =
sqrt{5^2 + 20^2} |en| =
sqrt{25 + 400} |en| = √425
Exemple 3: Un vector ve donat per, v = i + j. Trobeu la magnitud del vector quan s'escala amb una constant de 0,5.
Solució:
|en| =
sqrt{a^2 + b^2} 0,5|v| = |0,5v|
a = 1, b = 1
|0,5v|
|0,5(i + j)|
|0,5i + 0,5j|
|en| =
sqrt{0.5^2 + 0.5^2} |en| =
sqrt{0.25 + 0.25} una classe pot estendre diverses classes|en| = √0,5
Exemple 4: Dos vectors amb magnituds 3 i 4. Aquests vectors tenen un angle de 90° entre ells. Trobeu la magnitud dels vectors resultants.
Solució:
Sigui els dos vectors donats per p i q. Aleshores el vector resultant r ve donat per,
|r| = sqrtp |p| = 3, |q| = 4 i
heta = 90^o
|r| = sqrtp
|r| = sqrt^2 + 2
|r| = sqrt^2
|r| = sqrt{9 + 16}
|r| = sqrt{9 + 16} |r| = 5
Exemple 5: Dos vectors amb magnituds 10 i 9. Aquests vectors tenen un angle de 60° entre ells. Trobeu la magnitud dels vectors resultants.
Solució:
Sigui els dos vectors donats per p i q. Aleshores el vector resultant r ve donat per,
|r| = sqrtp |p| = 10, |q| = 9 i
heta = 60^o
|r| = sqrtp
|r| = sqrt
|r| = sqrt^2 +
|r| = sqrt{100 + 81 + 90}
|r| = sqrt{271}
Escalars i Vectors-Preguntes freqüents
Què entens per escalars i vectors, en física?
Els escalars són les magnituds físiques que només tenen magnitud o mida. Mentre que els vectors són les magnituds físiques que tenen magnitud i direcció.
Quins són exemples de quantitats vectorials?
Aquests són alguns exemples importants de quantitats vectorials:
- Velocitat
- Força
- Pressió
- Desplaçament
- Acceleració
- Empenta
Quines són algunes quantitats escalars?
Aquests són alguns exemples importants d'escalars:
- missa
- Velocitat
- Distància
- Temps
- Àrea
- Volum
La força és una quantitat escalar o vectorial?
Com que la força és una magnitud física que té magnitud i direcció. Per tant, és una magnitud vectorial.
Quina diferència hi ha entre la distància i el desplaçament?
La diferència principal entre distància i desplaçament és que la distància només té magnitud i és una quantitat escalar. Tanmateix, el desplaçament té magnitud i direcció, per la qual cosa és una magnitud vectorial.