Una magnitud que es caracteritza no només per la magnitud sinó també per la seva direcció, s'anomena vector. La velocitat, la força, l'acceleració, el moment, etc. són vectors.

Els vectors es poden multiplicar de dues maneres:

• Producte escalar o producte de punts
• Producte vectorial o producte creuat

Taula de contingut

• Producte escalar/Producte puntual dels vectors
• Projecció d'un vector sobre un altre Vector
• Propietats del producte escalar
• Desigualtats basades en el producte puntual
• Producte creuat/Producte vectorial de vectors
• Propietats del producte creuat
• Producte creuat en forma determinant
• Producte de punt i creu
• Preguntes freqüents sobre productes Dot i Cross en Vectors

Producte escalar/Producte puntual dels vectors

El producte escalar/producte escalar resultant de dos vectors és sempre una quantitat escalar. Considereu dos vectors a i b . El producte escalar es calcula com el producte de les magnituds de a, b i el cosinus de l'angle entre aquests vectors.

Producte escalar = |a||b| cos α

Aquí,

• |a| = magnitud del vector a,
• |b| = magnitud del vector b , i
• α = angle entre els vectors.

Vectors a i b amb un angle α entre ells

Projecció d'un vector sobre un altre Vector

Vector a es pot projectar a la línia l tal com es mostra a continuació:

CD = projecció del vector a sobre el vector b

A la figura anterior queda clar que podem projectar un vector sobre un altre. AC és la magnitud del vector A. A la figura anterior, AD es dibuixa perpendicularment a la recta l. CD representa la projecció del vector a sobre vector b .

Per tant, el triangle ACD és un triangle rectangle i podem aplicar fórmules trigonomètriques.

Si α és la mesura de l'angle ACD, aleshores

cos α = CD/AC

O, CD = AC cos a

A partir de la figura, queda clar que CD és la projecció del vector a sobre el vector b

kat timpf alçada

Així, podem concloure que un vector es pot projectar sobre l'altre vector pel cosinus de l'angle entre ells.

Propietats del producte escalar

• El producte escalar de dos vectors és sempre un nombre real (escalar).
• El producte escalar és commutatiu, és a dir, a.b =b.a= |a||b| cos α
• Si α és 90°, llavors el producte escalar és zero com cos(90) = 0. Així, el producte escalar dels vectors unitaris en les direccions x, y és 0.
• Si α és 0°, el producte escalar és el producte de magnituds de a i b |a||b|.
• El producte escalar d'un vector unitari amb si mateix és 1.
• El producte escalar d'un vector a amb si mateix és |a|²
• Si α és 180⁰, el producte escalar dels vectors a i b és -|a||b|
• El producte escalar és distributiu per sobre de l'addició

a. ( b + c ) = a.b + AC

• Aleshores, per a qualsevol escalar k i m,

l a. (m b ) = km a.b

• Si la forma del component dels vectors es dóna com:

a = a₁x + a₂i + a₃Amb

b = b₁x + b₂i + b₃Amb

aleshores el producte escalar es dóna com

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

• El producte escalar és zero en els casos següents:
  • La magnitud del vector a és zero
  • La magnitud del vector b és zero
  • Els vectors a i b són perpendiculars entre si

Desigualtats basades en el producte puntual

Hi ha diverses desigualtats basades en el producte escalat dels vectors, com ara:

• Desigualtat de Cauchy-Schwartz
• Triangle Desigualtat

Comentem aquests detalls de la següent manera:

Desigualtat de Cauchy-Schwartz

Segons aquest principi, per a dos vectors qualsevol a i b , la magnitud del producte escalat és sempre menor o igual que el producte de magnituds del vector a i del vector b

|a.b| ≤ |a| |b|

Prova:

Ja que, a.b = |a| |b| cos α

Sabem que 0

Per tant, concloem que |a.b| ≤ |a| |b|

Triangle Desigualtat

Per a dos vectors qualsevol a i b , sempre ho hem fet

| a + b | ≤ | a | + | b |

Desigualtat triangular

Prova:

| a + b |²=| a + b || a + b |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | a |²+ 2 a.b +| b |²(El producte puntual és commutatiu)

≤ | a |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

Això demostra que | a + b | ≤ | a | + | b|

com bloquejar els anuncis de youtube a Android

Exemples de Producte Puntual de Vectors

Exemple 1. Considereu dos vectors tals que |a|=6 i |b|=3 i α = 60°. Trobeu el seu producte puntual.

Solució:

a.b = |a| |b| cos α

Tan, a.b = 6,3.cos (60°)

=18(1/2)

linux mint canyella vs mate

a.b = 9

Exemple 2. Demostreu que els vectors a = 3i+j-4k i el vector b = 8i-8j+4k són perpendiculars.

Solució :

Sabem que els vectors són perpendiculars si el seu producte escalat és zero

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Com que el producte escalar és zero, podem concloure que els vectors són perpendiculars entre si.

Producte creuat/Producte vectorial de vectors

Els lectors ja estan familiaritzats amb un sistema de coordenades rectangulars tridimensionals a la dreta. En aquest sistema, una rotació en sentit contrari a les agulles del rellotge de l'eix X cap a l'eix Y positiu indica que un cargol dret (estàndard) avançaria en la direcció de l'eix Z positiu tal com es mostra a la figura.

Sistema de coordenades rectangulars 3D

El producte vectorial o producte creuat, de dos vectors a i b amb un angle α entre ells es calcula matemàticament com

a × b = |a| |b| sense α

Cal tenir en compte que el producte creuat és un vector amb una direcció especificada. La resultant és sempre perpendicular tant a a com a b.

A més, si es donen dos vectors,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)imathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), el seu producte creuat, indicat per a × b, es calcula com:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

En el cas que a i b siguin vectors paral·lels, la resultant serà zero com sin(0) = 0

Propietats del producte creuat

• El producte creuat genera una quantitat vectorial. La resultant és sempre perpendicular tant a a com a b.
• El producte creuat de vectors paral·lels/vectors colineals és zero com sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• El producte creuat de dos vectors mútuament perpendiculars amb magnitud unitària cadascun és unitat. (Com que sin(0)=1)
• El producte creuat no és commutatiu.

a × b no és igual a b × a

• El producte creuat és distributiu per sobre de l'addició

a × ( b + c ) = a × b + a × c

• Si k és un escalar, aleshores,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• En moure's en el sentit de les agulles del rellotge i agafar el producte creuat de dos parells qualsevol dels vectors unitaris, obtenim el tercer i en sentit contrari a les agulles del rellotge, obtenim la resultant negativa.

Creuar el producte en sentit horari i antihorari

Es poden establir els següents resultats:

Producte creuat en forma determinant

Si el vector a es representa com a = a1x + a2y + a3z i vector b es representa com b = b1x + b2y + b3z

Després el producte creuat a × b es pot calcular mitjançant la forma determinant

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Llavors, a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + i(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Si a i b són els costats adjacents del paral·lelogram OXYZ i α és l'angle entre els vectors a i b.

Aleshores l'àrea del paral·lelogram ve donada per | a × b | = |a| |b|sin.a

Vectors a i b com a costats adjacents d'un paral·lelogram

Exemples de C producte vermell de Vectors

Exemple 1. Trobeu el producte creuat de dos vectors a i b si les seves magnituds són 5 i 10 respectivament. Tenint en compte que l'angle entre llavors és de 30°.

Solució:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 perpendicular to a i b

Exemple 2. Trobeu l'àrea d'un paral·lelogram els costats adjacents del qual són

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

Solució :

L'àrea es calcula trobant el producte creuat dels costats adjacents

a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + i(a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

mapa_desordenat c++

= -5i +10j

Per tant, la magnitud de l'àrea éssqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Producte de punt i creu

Algunes de les diferències comunes entre el punt i el producte creuat dels vectors són:

Llegeix més,

• Àlgebra vectorial
• Escalar i Vectorial
• Producte escalar de dos vectors
• Producte de Vectors

Preguntes freqüents sobre productes Dot i Cross en Vectors

Què representa geomètricament el producte escalat?

El producte escalat de dos vectors representa la projecció d'un vector sobre l'altre, escalat per les seves magnituds i el cosinus de l'angle entre ells.

Com s'utilitza el producte puntual en geometria?

S'utilitza per trobar angles entre vectors, determinar vectors ortogonals, calcular projeccions i mesurar la semblança entre vectors.

Què passa si el producte escalat de dos vectors és zero?

Si el producte escalat és zero, vol dir que els vectors són ortogonals (perpendiculars) entre si.

Què representa geomètricament el producte creuat?

El producte creuat de dos vectors representa un vector perpendicular al pla que conté els vectors originals. La seva magnitud és igual a l'àrea del paral·lelogram format pels vectors.

Com trobeu la direcció del producte creuat?

Utilitzeu la regla de la mà dreta: apunta el polze dret en la direcció del primer vector, el dit índex en la direcció del segon vector i el dit mitjà apuntarà en la direcció del producte creuat.